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Luise Malsch
3.12.2025
Mathe
Kurvendisskusion (inkl. höhere Ableitungen)
449
•
3. Dez. 2025
•
Luise Malsch
@luisemalsch_a0e026
Die Kurvendiskussion ist dein Werkzeug, um Funktionen komplett zu analysieren... Mehr anzeigen
Eine Kurvendiskussion bedeutet, dass du den Graphen einer Funktion auf alle geometrischen Eigenschaften untersuchst. Du findest dabei charakteristische Punkte, die dir zeigen, wie die Funktion "tickt".
Die wichtigsten Punkte sind Schnittpunkte mit den Achsen, Hochpunkte (wo die Funktion vom Steigen zum Fallen wechselt), Tiefpunkte (vom Fallen zum Steigen) und Wendepunkte (wo sich die Krümmung ändert).
Das Ganze läuft immer nach dem gleichen Schema ab: Definitionsbereich, Achsenschnittpunkte, Symmetrie, Verhalten im Unendlichen, Extrempunkte, Monotonie, Wendepunkte, Wertebereich und schließlich den Graphen skizzieren.
Merktipp: Eine systematische Kurvendiskussion ist wie ein Steckbrief für Funktionen - du sammelst alle wichtigen "Persönlichkeitsmerkmale"!
Die erste Ableitung f'(x) zeigt dir die Steigung der Funktion an jeder Stelle. Das ist mega wichtig für die Monotonie: Ist f'(x) > 0, steigt die Funktion; ist f'(x) < 0, fällt sie.
Die zweite Ableitung f''(x) beschreibt das Steigungsverhalten der ersten Ableitung. Sie verrät dir die Krümmung: f''(x) > 0 bedeutet linksgekrümmt (wie ein Lächeln), f''(x) < 0 bedeutet rechtsgekrümmt.
Für höhere Ableitungen leitest du einfach immer weiter ab. Bei einer Funktion wie f(x) = x³ bekommst du f'(x) = 3x², dann f''(x) = 6x, dann f'''(x) = 6, und schließlich f⁽⁴⁾(x) = 0.
Pro-Tipp: Die Ableitungen sind deine "Detektive" - sie verraten dir, was die ursprüngliche Funktion vorhat!
Bei der Polynomfunktion f(x) = 3x³ + ½x² - x startest du mit dem Definitionsbereich - hier einfach alle reellen Zahlen.
Für Achsenschnittpunkte setzt du bei der y-Achse x = 0 ein: f(0) = 0, also Sy(0|0). Bei der x-Achse löst du f(x) = 0 und findest die Nullstellen x₁ = -1, x₂ = 0, x₃ = ½.
Symmetrie checkst du, indem du f berechnest und mit f(x) oder -f(x) vergleichst. Bei Polynomfunktionen gilt: nur gerade Exponenten = Achsensymmetrie, nur ungerade = Punktsymmetrie.
Clever: Nutze deinen Taschenrechner für die Berechnungen, aber verstehe, was du tust!
Für Extrempunkte brauchst du zwei Bedingungen: notwendig ist f'(x) = 0, hinreichend ist das Vorzeichen von f''(x) an dieser Stelle.
Bei unserem Beispiel ist f'(x) = 9x² + x - 1. Die Gleichung f'(x) = 0 liefert dir x₁ ≈ -0,39 und x₂ ≈ 0,29.
Jetzt prüfst du mit f''(x) = 18x + 1: f''(-0,39) < 0 bedeutet Hochpunkt, f''(0,29) > 0 bedeutet Tiefpunkt. Die y-Werte berechnest du durch Einsetzen in die ursprüngliche Funktion.
Das Verhalten im Unendlichen bestimmt die höchste Potenz - hier 3x³, also geht f(x) → +∞ für x → +∞ und f(x) → -∞ für x → -∞.
Achtung: Bei f''(x) = 0 könnte ein Sattelpunkt vorliegen - dann brauchst du weitere Tests!
Die Monotonie untersuchst du intervallweise zwischen den Extremstellen. Du testest das Vorzeichen von f'(x) in jedem Intervall durch Einsetzen von Testwerten.
Hier: f(x) steigt für x < -0,39, fällt zwischen -0,39 und 0,29, und steigt wieder für x > 0,29.
Wendepunkte findest du über f''(x) = 0. Bei f''(x) = 18x + 1 ergibt sich xw = -1/18 ≈ -0,056. Da f'''(x) = 18 > 0 ist, liegt definitiv ein Wendepunkt vor.
Das Krümmungsverhalten wechselt am Wendepunkt: links davon rechtsgekrümmt, rechts davon linksgekrümmt.
Merkregel: Wendepunkte sind wie "Richtungswechsel" der Krümmung - die Funktion "dreht" sich!
Für den Wertebereich kombinierst du das Verhalten im Unendlichen mit den Extrempunkten. Da f(x) → ±∞ geht, ist der Wertebereich alle reellen Zahlen.
Beim Graphen skizzieren trägst du alle gefundenen Punkte ein: Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkt. Dann verbindest du diese entsprechend dem Monotonie- und Krümmungsverhalten.
Dein Graph sollte durch alle charakteristischen Punkte verlaufen und das richtige Steig- und Krümmungsverhalten zeigen. Kontrolliere immer: Stimmt der Verlauf mit deinen berechneten Eigenschaften überein?
Erfolgstipp: Ein sauberer Graph ist das Ergebnis aller deiner Berechnungen - er zeigt, ob alles stimmt!
Beim Vorzeichenwechseltest untersuchst du, ob f'(x) das Vorzeichen um eine Nullstelle wechselt. Das ist besonders wichtig, wenn f''(x) = 0 ist und du unsicher bist.
Bei f'(x) = 4x³ mit der Nullstelle x = 0 testest du links und rechts: f'(-1) = -4 < 0 und f'(1) = 4 > 0. Es gibt einen Vorzeichenwechsel von - nach +, also liegt ein Tiefpunkt vor.
Diese Methode ist deine Backup-Strategie, wenn die zweite Ableitung nicht eindeutig ist. Sie funktioniert immer und gibt dir absolute Sicherheit.
Dasselbe Prinzip wendest du bei Wendepunkten an: Testest das Vorzeichen von f''(x) links und rechts der Nullstelle.
Profi-Trick: Der Vorzeichenwechseltest ist deine Versicherung - er funktioniert auch in kniffligen Situationen!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Luise Malsch
@luisemalsch_a0e026
Die Kurvendiskussion ist dein Werkzeug, um Funktionen komplett zu analysieren und ihre Graphen zu verstehen. Du untersuchst dabei systematisch alle wichtigen Eigenschaften einer Funktion - von Nullstellen bis hin zu Wendepunkten.
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Eine Kurvendiskussion bedeutet, dass du den Graphen einer Funktion auf alle geometrischen Eigenschaften untersuchst. Du findest dabei charakteristische Punkte, die dir zeigen, wie die Funktion "tickt".
Die wichtigsten Punkte sind Schnittpunkte mit den Achsen, Hochpunkte (wo die Funktion vom Steigen zum Fallen wechselt), Tiefpunkte (vom Fallen zum Steigen) und Wendepunkte (wo sich die Krümmung ändert).
Das Ganze läuft immer nach dem gleichen Schema ab: Definitionsbereich, Achsenschnittpunkte, Symmetrie, Verhalten im Unendlichen, Extrempunkte, Monotonie, Wendepunkte, Wertebereich und schließlich den Graphen skizzieren.
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Die erste Ableitung f'(x) zeigt dir die Steigung der Funktion an jeder Stelle. Das ist mega wichtig für die Monotonie: Ist f'(x) > 0, steigt die Funktion; ist f'(x) < 0, fällt sie.
Die zweite Ableitung f''(x) beschreibt das Steigungsverhalten der ersten Ableitung. Sie verrät dir die Krümmung: f''(x) > 0 bedeutet linksgekrümmt (wie ein Lächeln), f''(x) < 0 bedeutet rechtsgekrümmt.
Für höhere Ableitungen leitest du einfach immer weiter ab. Bei einer Funktion wie f(x) = x³ bekommst du f'(x) = 3x², dann f''(x) = 6x, dann f'''(x) = 6, und schließlich f⁽⁴⁾(x) = 0.
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Symmetrie checkst du, indem du f berechnest und mit f(x) oder -f(x) vergleichst. Bei Polynomfunktionen gilt: nur gerade Exponenten = Achsensymmetrie, nur ungerade = Punktsymmetrie.
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Für Extrempunkte brauchst du zwei Bedingungen: notwendig ist f'(x) = 0, hinreichend ist das Vorzeichen von f''(x) an dieser Stelle.
Bei unserem Beispiel ist f'(x) = 9x² + x - 1. Die Gleichung f'(x) = 0 liefert dir x₁ ≈ -0,39 und x₂ ≈ 0,29.
Jetzt prüfst du mit f''(x) = 18x + 1: f''(-0,39) < 0 bedeutet Hochpunkt, f''(0,29) > 0 bedeutet Tiefpunkt. Die y-Werte berechnest du durch Einsetzen in die ursprüngliche Funktion.
Das Verhalten im Unendlichen bestimmt die höchste Potenz - hier 3x³, also geht f(x) → +∞ für x → +∞ und f(x) → -∞ für x → -∞.
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Die Monotonie untersuchst du intervallweise zwischen den Extremstellen. Du testest das Vorzeichen von f'(x) in jedem Intervall durch Einsetzen von Testwerten.
Hier: f(x) steigt für x < -0,39, fällt zwischen -0,39 und 0,29, und steigt wieder für x > 0,29.
Wendepunkte findest du über f''(x) = 0. Bei f''(x) = 18x + 1 ergibt sich xw = -1/18 ≈ -0,056. Da f'''(x) = 18 > 0 ist, liegt definitiv ein Wendepunkt vor.
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Beim Vorzeichenwechseltest untersuchst du, ob f'(x) das Vorzeichen um eine Nullstelle wechselt. Das ist besonders wichtig, wenn f''(x) = 0 ist und du unsicher bist.
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Erfahren Sie, wie man Hoch-, Tief- und Sattelpunkte von Funktionen bestimmt. Diese Präsentation behandelt die notwendigen und hinreichenden Bedingungen zur Identifizierung lokaler und globaler Extrema sowie die Anwendung der Differentiation. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse in der Funktionsuntersuchung vertiefen möchten.
MatheDiese Übungsklausur behandelt die Ableitung von Funktionen und die Analyse von Extremstellen sowie Wendepunkten. Sie umfasst Aufgaben zur Bestimmung von Schnittpunkten, Monotonie und die Bedeutung der Ableitungen im Kontext von Funktionengraphen. Ideal für Schüler der 10. Klasse im Fach Mathematik.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
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Samantha Klich
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