Gleichungssysteme lösen

Du kennst das Problem: Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte - aber wie kommst du zur Lösung? Hier sind die beiden wichtigsten Verfahren, die du perfekt beherrschen solltest.

Beim Einsetzungsverfahren stellst du eine Gleichung nach einer Variable um und setzt sie in die andere ein. Beispiel: Aus 3x - y = 2 wird y = 3x - 2, das setzt du dann in 2x + 4y = 20 ein. So hast du nur noch eine Variable und kannst x berechnen.

Das Gleichsetzungsverfahren funktioniert anders: Du stellst beide Gleichungen nach derselben Variable um. Wenn beide gleich x sind, kannst du sie gleichsetzen. Aus x = 5 - 2y und x = 4 - y wird dann 5 - 2y = 4 - y.

Tipp: Wähle immer das Verfahren, bei dem die Umformungen einfacher aussehen. Manchmal sparst du dir so viel Rechenarbeit!

Ganzrationale Funktionen bestimmen

Stell dir vor, du kennst nur ein paar Eigenschaften einer Funktion und sollst die komplette Gleichung finden. Das ist wie ein mathematisches Puzzle - und mit der richtigen Methode total lösbar.

Zuerst legst du die allgemeine Funktionsgleichung fest. Bei einer kubischen Funktion ist das f$x$ = ax³ + bx² + cx + d. Dann stellst du die Ableitungen auf: f'$x$ = 3ax² + 2bx + c und f''$x$ = 6ax + 2b.

Jetzt übersetzt du die gegebenen Bedingungen in Gleichungen. Punkte werden zu f$x$ = y, Extremstellen zu f'$x$ = 0, Wendepunkte zu f''$x$ = 0. Am Ende hast du ein Gleichungssystem mit so vielen Gleichungen wie Unbekannten.

Den GTR verwendest du im EQUA-Menü für lineare Gleichungssysteme. Das spart Zeit und Rechenfehler. Alternativ kannst du auch eine Regression verwenden, wenn du mehrere Punkte hast.

Merke: Die Anzahl der Unbekannten muss gleich der Anzahl der Bedingungen sein!

Trassierung - Kurven geschickt verbinden

Beim Autofahren merkst du es sofort, wenn Straßenstücke schlecht verbunden sind: Es ruckelt und schüttelt. In der Mathematik lösen wir das mit Trassierung - dem geschickten Verbinden von Funktionsgraphen.

Für einen sprungfreien Anschluss muss an der Übergangsstelle x₁ gelten: g(x₁) = f(x₁). Die Funktionswerte müssen also gleich sein. Sonst entsteht ein Sprung im Graphen.

Ein knickfreier Anschluss braucht zusätzlich gleiche Steigungen: g'(x₁) = f'(x₁). Denk an eine Achterbahn - ohne gleiche Steigungen würdest du einen harten Ruck spüren.

Für krümmungsruckfreien Anschluss müssen auch die zweiten Ableitungen gleich sein: g''(x₁) = f''(x₁). Das sorgt für superweiche Übergänge, wie du sie beim Durchfahren von Kurven brauchst.

Praxistipp: Trassierung wird beim Straßenbau und bei Achterbahnen wirklich so angewendet!

Abschnittsweise definierte Funktionen

Manchmal verhält sich eine Funktion in verschiedenen Bereichen völlig unterschiedlich. Wie ein Chamäleon, das je nach Umgebung die Farbe wechselt - nur mathematisch präziser.

Eine abschnittsweise definierte Funktion setzt sich aus mehreren Teilfunktionen zusammen. Jede gilt nur in ihrem eigenen Intervall. Das Spannende passiert an den Übergangsstellen.

Stetigkeit bedeutet "sprungfrei": Der Grenzwert von links muss gleich dem von rechts und gleich dem Funktionswert sein. Mathematisch: lim(x→x₀) f$x$ = f(x₀). Du prüfst das, indem du die x-Werte der Übergangsstelle in beide benachbarten Teilfunktionen einsetzt.

Differenzierbarkeit bedeutet "knickfrei": Die Steigungen der Teilfunktionen müssen an der Übergangsstelle gleich sein. Du bildest die Ableitungen und setzt wieder ein. Unterschiedliche Ergebnisse = Knick im Graphen.

Eselsbrücke: Stetig = kein Sprung, differenzierbar = kein Knick!

Funktionenscharen verstehen

Eine Funktionenschar ist wie eine ganze Familie von Funktionen, die alle einen gemeinsamen "Familiennamen" (Parameter) haben. Statt einer einzelnen Funktion untersuchst du unendlich viele auf einmal.

Bei fa$x$ = x³ + ax² hängen die Nullstellen vom Parameter a ab. Du löst x³ + ax² = 0 durch Ausklammern: x²$x + a$ = 0. Das ergibt x₁,₂ = 0 (doppelte Nullstelle) und x₃ = -a.

Für Extrempunkte setzt du fa'$x$ = 3x² + 2ax = 0. Das gibt dir x$3x + 2a$ = 0, also xE₁ = 0 und xE₂ = -⅔a. Die Art der Extremstelle (Hoch- oder Tiefpunkt) hängt vom Vorzeichen von a ab.

Wendepunkte findest du mit fa''$x$ = 6x + 2a = 0, was xw = -⅓a ergibt. Da fa'''$x$ = 6 ≠ 0 ist, ist die hinreichende Bedingung immer erfüllt.

Durchblick: Der Parameter a bestimmt, wie sich die ganze Kurvenschar verhält!

Ortslinien und Schnittpunkte von Scharen

Das Coolste an Funktionenscharen sind die Ortslinien - Kurven, auf denen alle besonderen Punkte liegen. Es ist wie eine unsichtbare Straße, auf der sich alle Extrempunkte bewegen.

Für eine Ortslinie brauchst du "mobile" Punkte, deren Koordinaten vom Parameter abhängen. Bei Ea$-⅔a | 4/27 a³$ löst du die x-Koordinate nach a auf: a = -3/2 x. Das setzt du in die y-Koordinate ein und erhältst die Ortslinie O$x$ = -½x³.

Schnittpunkte verschiedener Scharkurven findest du, indem du zwei Funktionen mit unterschiedlichen Parametern gleichsetzt. Bei fa$x$ = ax² - 2x - a ergibt das a₁x² - 2x - a₁ = a₂x² - 2x - a₂.

Nach dem Vereinfachen bleibt x²$a₁ - a₂$ = a₁ - a₂. Da a₁ ≠ a₂, kannst du durch $a₁ - a₂$ teilen und erhältst x² = 1. Die gemeinsamen Punkte liegen also bei x = 1 und x = -1.

Aha-Moment: Alle Scharkurven schneiden sich in denselben Punkten - egal welche Parameter du wählst!