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Janien
10.12.2025
Mathe
Kurvenanpassung - Abitur 2022
1.660
•
10. Dez. 2025
•
Janien
@janien.rdm
Kurvenanpassung beschäftigt sich mit verschiedenen Methoden, um mathematische Funktionen zu... Mehr anzeigen
Du kennst das Problem: Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte - aber wie kommst du zur Lösung? Hier sind die beiden wichtigsten Verfahren, die du perfekt beherrschen solltest.
Beim Einsetzungsverfahren stellst du eine Gleichung nach einer Variable um und setzt sie in die andere ein. Beispiel: Aus 3x - y = 2 wird y = 3x - 2, das setzt du dann in 2x + 4y = 20 ein. So hast du nur noch eine Variable und kannst x berechnen.
Das Gleichsetzungsverfahren funktioniert anders: Du stellst beide Gleichungen nach derselben Variable um. Wenn beide gleich x sind, kannst du sie gleichsetzen. Aus x = 5 - 2y und x = 4 - y wird dann 5 - 2y = 4 - y.
Tipp: Wähle immer das Verfahren, bei dem die Umformungen einfacher aussehen. Manchmal sparst du dir so viel Rechenarbeit!
Stell dir vor, du kennst nur ein paar Eigenschaften einer Funktion und sollst die komplette Gleichung finden. Das ist wie ein mathematisches Puzzle - und mit der richtigen Methode total lösbar.
Zuerst legst du die allgemeine Funktionsgleichung fest. Bei einer kubischen Funktion ist das f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Dann stellst du die Ableitungen auf: f'(x) = 3ax² + 2bx + c und f''(x) = 6ax + 2b.
Jetzt übersetzt du die gegebenen Bedingungen in Gleichungen. Punkte werden zu f(x) = y, Extremstellen zu f'(x) = 0, Wendepunkte zu f''(x) = 0. Am Ende hast du ein Gleichungssystem mit so vielen Gleichungen wie Unbekannten.
Den GTR verwendest du im EQUA-Menü für lineare Gleichungssysteme. Das spart Zeit und Rechenfehler. Alternativ kannst du auch eine Regression verwenden, wenn du mehrere Punkte hast.
Merke: Die Anzahl der Unbekannten muss gleich der Anzahl der Bedingungen sein!
Beim Autofahren merkst du es sofort, wenn Straßenstücke schlecht verbunden sind: Es ruckelt und schüttelt. In der Mathematik lösen wir das mit Trassierung - dem geschickten Verbinden von Funktionsgraphen.
Für einen sprungfreien Anschluss muss an der Übergangsstelle x₁ gelten: g(x₁) = f(x₁). Die Funktionswerte müssen also gleich sein. Sonst entsteht ein Sprung im Graphen.
Ein knickfreier Anschluss braucht zusätzlich gleiche Steigungen: g'(x₁) = f'(x₁). Denk an eine Achterbahn - ohne gleiche Steigungen würdest du einen harten Ruck spüren.
Für krümmungsruckfreien Anschluss müssen auch die zweiten Ableitungen gleich sein: g''(x₁) = f''(x₁). Das sorgt für superweiche Übergänge, wie du sie beim Durchfahren von Kurven brauchst.
Praxistipp: Trassierung wird beim Straßenbau und bei Achterbahnen wirklich so angewendet!
Manchmal verhält sich eine Funktion in verschiedenen Bereichen völlig unterschiedlich. Wie ein Chamäleon, das je nach Umgebung die Farbe wechselt - nur mathematisch präziser.
Eine abschnittsweise definierte Funktion setzt sich aus mehreren Teilfunktionen zusammen. Jede gilt nur in ihrem eigenen Intervall. Das Spannende passiert an den Übergangsstellen.
Stetigkeit bedeutet "sprungfrei": Der Grenzwert von links muss gleich dem von rechts und gleich dem Funktionswert sein. Mathematisch: lim(x→x₀) f(x) = f(x₀). Du prüfst das, indem du die x-Werte der Übergangsstelle in beide benachbarten Teilfunktionen einsetzt.
Differenzierbarkeit bedeutet "knickfrei": Die Steigungen der Teilfunktionen müssen an der Übergangsstelle gleich sein. Du bildest die Ableitungen und setzt wieder ein. Unterschiedliche Ergebnisse = Knick im Graphen.
Eselsbrücke: Stetig = kein Sprung, differenzierbar = kein Knick!
Eine Funktionenschar ist wie eine ganze Familie von Funktionen, die alle einen gemeinsamen "Familiennamen" (Parameter) haben. Statt einer einzelnen Funktion untersuchst du unendlich viele auf einmal.
Bei fa(x) = x³ + ax² hängen die Nullstellen vom Parameter a ab. Du löst x³ + ax² = 0 durch Ausklammern: x² = 0. Das ergibt x₁,₂ = 0 (doppelte Nullstelle) und x₃ = -a.
Für Extrempunkte setzt du fa'(x) = 3x² + 2ax = 0. Das gibt dir x = 0, also xE₁ = 0 und xE₂ = -⅔a. Die Art der Extremstelle hängt vom Vorzeichen von a ab.
Wendepunkte findest du mit fa''(x) = 6x + 2a = 0, was xw = -⅓a ergibt. Da fa'''(x) = 6 ≠ 0 ist, ist die hinreichende Bedingung immer erfüllt.
Durchblick: Der Parameter a bestimmt, wie sich die ganze Kurvenschar verhält!
Das Coolste an Funktionenscharen sind die Ortslinien - Kurven, auf denen alle besonderen Punkte liegen. Es ist wie eine unsichtbare Straße, auf der sich alle Extrempunkte bewegen.
Für eine Ortslinie brauchst du "mobile" Punkte, deren Koordinaten vom Parameter abhängen. Bei Ea löst du die x-Koordinate nach a auf: a = -3/2 x. Das setzt du in die y-Koordinate ein und erhältst die Ortslinie O(x) = -½x³.
Schnittpunkte verschiedener Scharkurven findest du, indem du zwei Funktionen mit unterschiedlichen Parametern gleichsetzt. Bei fa(x) = ax² - 2x - a ergibt das a₁x² - 2x - a₁ = a₂x² - 2x - a₂.
Nach dem Vereinfachen bleibt x² = a₁ - a₂. Da a₁ ≠ a₂, kannst du durch teilen und erhältst x² = 1. Die gemeinsamen Punkte liegen also bei x = 1 und x = -1.
Aha-Moment: Alle Scharkurven schneiden sich in denselben Punkten - egal welche Parameter du wählst!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hans T
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Janien
@janien.rdm
Kurvenanpassung beschäftigt sich mit verschiedenen Methoden, um mathematische Funktionen zu bestimmen und zu analysieren. Du lernst hier, wie du Gleichungssysteme löst, Funktionen durch gegebene Bedingungen findest und komplexere Funktionstypen wie Scharen und abschnittsweise definierte Funktionen verstehst.
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Du kennst das Problem: Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte - aber wie kommst du zur Lösung? Hier sind die beiden wichtigsten Verfahren, die du perfekt beherrschen solltest.
Beim Einsetzungsverfahren stellst du eine Gleichung nach einer Variable um und setzt sie in die andere ein. Beispiel: Aus 3x - y = 2 wird y = 3x - 2, das setzt du dann in 2x + 4y = 20 ein. So hast du nur noch eine Variable und kannst x berechnen.
Das Gleichsetzungsverfahren funktioniert anders: Du stellst beide Gleichungen nach derselben Variable um. Wenn beide gleich x sind, kannst du sie gleichsetzen. Aus x = 5 - 2y und x = 4 - y wird dann 5 - 2y = 4 - y.
Tipp: Wähle immer das Verfahren, bei dem die Umformungen einfacher aussehen. Manchmal sparst du dir so viel Rechenarbeit!
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Stell dir vor, du kennst nur ein paar Eigenschaften einer Funktion und sollst die komplette Gleichung finden. Das ist wie ein mathematisches Puzzle - und mit der richtigen Methode total lösbar.
Zuerst legst du die allgemeine Funktionsgleichung fest. Bei einer kubischen Funktion ist das f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Dann stellst du die Ableitungen auf: f'(x) = 3ax² + 2bx + c und f''(x) = 6ax + 2b.
Jetzt übersetzt du die gegebenen Bedingungen in Gleichungen. Punkte werden zu f(x) = y, Extremstellen zu f'(x) = 0, Wendepunkte zu f''(x) = 0. Am Ende hast du ein Gleichungssystem mit so vielen Gleichungen wie Unbekannten.
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Stetigkeit bedeutet "sprungfrei": Der Grenzwert von links muss gleich dem von rechts und gleich dem Funktionswert sein. Mathematisch: lim(x→x₀) f(x) = f(x₀). Du prüfst das, indem du die x-Werte der Übergangsstelle in beide benachbarten Teilfunktionen einsetzt.
Differenzierbarkeit bedeutet "knickfrei": Die Steigungen der Teilfunktionen müssen an der Übergangsstelle gleich sein. Du bildest die Ableitungen und setzt wieder ein. Unterschiedliche Ergebnisse = Knick im Graphen.
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Eine Funktionenschar ist wie eine ganze Familie von Funktionen, die alle einen gemeinsamen "Familiennamen" (Parameter) haben. Statt einer einzelnen Funktion untersuchst du unendlich viele auf einmal.
Bei fa(x) = x³ + ax² hängen die Nullstellen vom Parameter a ab. Du löst x³ + ax² = 0 durch Ausklammern: x² = 0. Das ergibt x₁,₂ = 0 (doppelte Nullstelle) und x₃ = -a.
Für Extrempunkte setzt du fa'(x) = 3x² + 2ax = 0. Das gibt dir x = 0, also xE₁ = 0 und xE₂ = -⅔a. Die Art der Extremstelle hängt vom Vorzeichen von a ab.
Wendepunkte findest du mit fa''(x) = 6x + 2a = 0, was xw = -⅓a ergibt. Da fa'''(x) = 6 ≠ 0 ist, ist die hinreichende Bedingung immer erfüllt.
Durchblick: Der Parameter a bestimmt, wie sich die ganze Kurvenschar verhält!
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Für eine Ortslinie brauchst du "mobile" Punkte, deren Koordinaten vom Parameter abhängen. Bei Ea löst du die x-Koordinate nach a auf: a = -3/2 x. Das setzt du in die y-Koordinate ein und erhältst die Ortslinie O(x) = -½x³.
Schnittpunkte verschiedener Scharkurven findest du, indem du zwei Funktionen mit unterschiedlichen Parametern gleichsetzt. Bei fa(x) = ax² - 2x - a ergibt das a₁x² - 2x - a₁ = a₂x² - 2x - a₂.
Nach dem Vereinfachen bleibt x² = a₁ - a₂. Da a₁ ≠ a₂, kannst du durch teilen und erhältst x² = 1. Die gemeinsamen Punkte liegen also bei x = 1 und x = -1.
Aha-Moment: Alle Scharkurven schneiden sich in denselben Punkten - egal welche Parameter du wählst!
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Diese Zusammenfassung behandelt die Kurvendiskussion, einschließlich der Berechnung von Ableitungen, Extremwerten und Wendepunkten. Ideal für Schüler des Wirtschafts-Gymnasiums, die sich auf ihre Mathematik-Klausur vorbereiten. Enthält wichtige Konzepte wie Nullstellen, Symmetrie und die Anwendung der Ableitungen zur Analyse von Funktionen.
MatheDiese Übungsklausur behandelt die Ableitung von Funktionen und die Analyse von Extremstellen sowie Wendepunkten. Sie umfasst Aufgaben zur Bestimmung von Schnittpunkten, Monotonie und die Bedeutung der Ableitungen im Kontext von Funktionengraphen. Ideal für Schüler der 10. Klasse im Fach Mathematik.
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MatheApp Store
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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