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1.672
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9. Feb. 2026
•
Janien
@janien.rdm
Kurvenanpassung beschäftigt sich mit verschiedenen Methoden, um mathematische Funktionen zu... Mehr anzeigen
Du kennst das Problem: Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte - aber wie kommst du zur Lösung? Hier sind die beiden wichtigsten Verfahren, die du perfekt beherrschen solltest.
Beim Einsetzungsverfahren stellst du eine Gleichung nach einer Variable um und setzt sie in die andere ein. Beispiel: Aus 3x - y = 2 wird y = 3x - 2, das setzt du dann in 2x + 4y = 20 ein. So hast du nur noch eine Variable und kannst x berechnen.
Das Gleichsetzungsverfahren funktioniert anders: Du stellst beide Gleichungen nach derselben Variable um. Wenn beide gleich x sind, kannst du sie gleichsetzen. Aus x = 5 - 2y und x = 4 - y wird dann 5 - 2y = 4 - y.
Tipp: Wähle immer das Verfahren, bei dem die Umformungen einfacher aussehen. Manchmal sparst du dir so viel Rechenarbeit!
Stell dir vor, du kennst nur ein paar Eigenschaften einer Funktion und sollst die komplette Gleichung finden. Das ist wie ein mathematisches Puzzle - und mit der richtigen Methode total lösbar.
Zuerst legst du die allgemeine Funktionsgleichung fest. Bei einer kubischen Funktion ist das f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Dann stellst du die Ableitungen auf: f'(x) = 3ax² + 2bx + c und f''(x) = 6ax + 2b.
Jetzt übersetzt du die gegebenen Bedingungen in Gleichungen. Punkte werden zu f(x) = y, Extremstellen zu f'(x) = 0, Wendepunkte zu f''(x) = 0. Am Ende hast du ein Gleichungssystem mit so vielen Gleichungen wie Unbekannten.
Den GTR verwendest du im EQUA-Menü für lineare Gleichungssysteme. Das spart Zeit und Rechenfehler. Alternativ kannst du auch eine Regression verwenden, wenn du mehrere Punkte hast.
Merke: Die Anzahl der Unbekannten muss gleich der Anzahl der Bedingungen sein!
Beim Autofahren merkst du es sofort, wenn Straßenstücke schlecht verbunden sind: Es ruckelt und schüttelt. In der Mathematik lösen wir das mit Trassierung - dem geschickten Verbinden von Funktionsgraphen.
Für einen sprungfreien Anschluss muss an der Übergangsstelle x₁ gelten: g(x₁) = f(x₁). Die Funktionswerte müssen also gleich sein. Sonst entsteht ein Sprung im Graphen.
Ein knickfreier Anschluss braucht zusätzlich gleiche Steigungen: g'(x₁) = f'(x₁). Denk an eine Achterbahn - ohne gleiche Steigungen würdest du einen harten Ruck spüren.
Für krümmungsruckfreien Anschluss müssen auch die zweiten Ableitungen gleich sein: g''(x₁) = f''(x₁). Das sorgt für superweiche Übergänge, wie du sie beim Durchfahren von Kurven brauchst.
Praxistipp: Trassierung wird beim Straßenbau und bei Achterbahnen wirklich so angewendet!
Manchmal verhält sich eine Funktion in verschiedenen Bereichen völlig unterschiedlich. Wie ein Chamäleon, das je nach Umgebung die Farbe wechselt - nur mathematisch präziser.
Eine abschnittsweise definierte Funktion setzt sich aus mehreren Teilfunktionen zusammen. Jede gilt nur in ihrem eigenen Intervall. Das Spannende passiert an den Übergangsstellen.
Stetigkeit bedeutet "sprungfrei": Der Grenzwert von links muss gleich dem von rechts und gleich dem Funktionswert sein. Mathematisch: lim(x→x₀) f(x) = f(x₀). Du prüfst das, indem du die x-Werte der Übergangsstelle in beide benachbarten Teilfunktionen einsetzt.
Differenzierbarkeit bedeutet "knickfrei": Die Steigungen der Teilfunktionen müssen an der Übergangsstelle gleich sein. Du bildest die Ableitungen und setzt wieder ein. Unterschiedliche Ergebnisse = Knick im Graphen.
Eselsbrücke: Stetig = kein Sprung, differenzierbar = kein Knick!
Eine Funktionenschar ist wie eine ganze Familie von Funktionen, die alle einen gemeinsamen "Familiennamen" (Parameter) haben. Statt einer einzelnen Funktion untersuchst du unendlich viele auf einmal.
Bei fa(x) = x³ + ax² hängen die Nullstellen vom Parameter a ab. Du löst x³ + ax² = 0 durch Ausklammern: x² = 0. Das ergibt x₁,₂ = 0 (doppelte Nullstelle) und x₃ = -a.
Für Extrempunkte setzt du fa'(x) = 3x² + 2ax = 0. Das gibt dir x = 0, also xE₁ = 0 und xE₂ = -⅔a. Die Art der Extremstelle hängt vom Vorzeichen von a ab.
Wendepunkte findest du mit fa''(x) = 6x + 2a = 0, was xw = -⅓a ergibt. Da fa'''(x) = 6 ≠ 0 ist, ist die hinreichende Bedingung immer erfüllt.
Durchblick: Der Parameter a bestimmt, wie sich die ganze Kurvenschar verhält!
Das Coolste an Funktionenscharen sind die Ortslinien - Kurven, auf denen alle besonderen Punkte liegen. Es ist wie eine unsichtbare Straße, auf der sich alle Extrempunkte bewegen.
Für eine Ortslinie brauchst du "mobile" Punkte, deren Koordinaten vom Parameter abhängen. Bei Ea löst du die x-Koordinate nach a auf: a = -3/2 x. Das setzt du in die y-Koordinate ein und erhältst die Ortslinie O(x) = -½x³.
Schnittpunkte verschiedener Scharkurven findest du, indem du zwei Funktionen mit unterschiedlichen Parametern gleichsetzt. Bei fa(x) = ax² - 2x - a ergibt das a₁x² - 2x - a₁ = a₂x² - 2x - a₂.
Nach dem Vereinfachen bleibt x² = a₁ - a₂. Da a₁ ≠ a₂, kannst du durch teilen und erhältst x² = 1. Die gemeinsamen Punkte liegen also bei x = 1 und x = -1.
Aha-Moment: Alle Scharkurven schneiden sich in denselben Punkten - egal welche Parameter du wählst!
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Stefan S
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Thomas R
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Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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Elisha
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Paul T
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Janien
@janien.rdm
Kurvenanpassung beschäftigt sich mit verschiedenen Methoden, um mathematische Funktionen zu bestimmen und zu analysieren. Du lernst hier, wie du Gleichungssysteme löst, Funktionen durch gegebene Bedingungen findest und komplexere Funktionstypen wie Scharen und abschnittsweise definierte Funktionen verstehst.
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Du kennst das Problem: Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte - aber wie kommst du zur Lösung? Hier sind die beiden wichtigsten Verfahren, die du perfekt beherrschen solltest.
Beim Einsetzungsverfahren stellst du eine Gleichung nach einer Variable um und setzt sie in die andere ein. Beispiel: Aus 3x - y = 2 wird y = 3x - 2, das setzt du dann in 2x + 4y = 20 ein. So hast du nur noch eine Variable und kannst x berechnen.
Das Gleichsetzungsverfahren funktioniert anders: Du stellst beide Gleichungen nach derselben Variable um. Wenn beide gleich x sind, kannst du sie gleichsetzen. Aus x = 5 - 2y und x = 4 - y wird dann 5 - 2y = 4 - y.
Tipp: Wähle immer das Verfahren, bei dem die Umformungen einfacher aussehen. Manchmal sparst du dir so viel Rechenarbeit!
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Stell dir vor, du kennst nur ein paar Eigenschaften einer Funktion und sollst die komplette Gleichung finden. Das ist wie ein mathematisches Puzzle - und mit der richtigen Methode total lösbar.
Zuerst legst du die allgemeine Funktionsgleichung fest. Bei einer kubischen Funktion ist das f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Dann stellst du die Ableitungen auf: f'(x) = 3ax² + 2bx + c und f''(x) = 6ax + 2b.
Jetzt übersetzt du die gegebenen Bedingungen in Gleichungen. Punkte werden zu f(x) = y, Extremstellen zu f'(x) = 0, Wendepunkte zu f''(x) = 0. Am Ende hast du ein Gleichungssystem mit so vielen Gleichungen wie Unbekannten.
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Beim Autofahren merkst du es sofort, wenn Straßenstücke schlecht verbunden sind: Es ruckelt und schüttelt. In der Mathematik lösen wir das mit Trassierung - dem geschickten Verbinden von Funktionsgraphen.
Für einen sprungfreien Anschluss muss an der Übergangsstelle x₁ gelten: g(x₁) = f(x₁). Die Funktionswerte müssen also gleich sein. Sonst entsteht ein Sprung im Graphen.
Ein knickfreier Anschluss braucht zusätzlich gleiche Steigungen: g'(x₁) = f'(x₁). Denk an eine Achterbahn - ohne gleiche Steigungen würdest du einen harten Ruck spüren.
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Stetigkeit bedeutet "sprungfrei": Der Grenzwert von links muss gleich dem von rechts und gleich dem Funktionswert sein. Mathematisch: lim(x→x₀) f(x) = f(x₀). Du prüfst das, indem du die x-Werte der Übergangsstelle in beide benachbarten Teilfunktionen einsetzt.
Differenzierbarkeit bedeutet "knickfrei": Die Steigungen der Teilfunktionen müssen an der Übergangsstelle gleich sein. Du bildest die Ableitungen und setzt wieder ein. Unterschiedliche Ergebnisse = Knick im Graphen.
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Eine Funktionenschar ist wie eine ganze Familie von Funktionen, die alle einen gemeinsamen "Familiennamen" (Parameter) haben. Statt einer einzelnen Funktion untersuchst du unendlich viele auf einmal.
Bei fa(x) = x³ + ax² hängen die Nullstellen vom Parameter a ab. Du löst x³ + ax² = 0 durch Ausklammern: x² = 0. Das ergibt x₁,₂ = 0 (doppelte Nullstelle) und x₃ = -a.
Für Extrempunkte setzt du fa'(x) = 3x² + 2ax = 0. Das gibt dir x = 0, also xE₁ = 0 und xE₂ = -⅔a. Die Art der Extremstelle hängt vom Vorzeichen von a ab.
Wendepunkte findest du mit fa''(x) = 6x + 2a = 0, was xw = -⅓a ergibt. Da fa'''(x) = 6 ≠ 0 ist, ist die hinreichende Bedingung immer erfüllt.
Durchblick: Der Parameter a bestimmt, wie sich die ganze Kurvenschar verhält!
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Schnittpunkte verschiedener Scharkurven findest du, indem du zwei Funktionen mit unterschiedlichen Parametern gleichsetzt. Bei fa(x) = ax² - 2x - a ergibt das a₁x² - 2x - a₁ = a₂x² - 2x - a₂.
Nach dem Vereinfachen bleibt x² = a₁ - a₂. Da a₁ ≠ a₂, kannst du durch teilen und erhältst x² = 1. Die gemeinsamen Punkte liegen also bei x = 1 und x = -1.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Paul T
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Stefan S
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Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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Sudenaz Ocak
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