Grundlagen der Ableitung

Die Ableitung ist ein zentrales Konzept der Differentialrechnung und hilft dir, die Steigung einer Funktion zu bestimmen. Die Potenzregel $f(x) = r·xⁿ → f'(x) = r·n·x^(n-1)$ ist dabei besonders wichtig für deine Mathe-Klausur.

Bei der Faktorregel wird eine Konstante einfach mitgenommen: f$x$ = c·g$x$ → f'$x$ = c·g'$x$. Beispielsweise wird aus f$x$ = 3·4x³ die Ableitung f'$x$ = 12x³.

Die Summenregel besagt, dass die Ableitung einer Summe gleich der Summe der Ableitungen ist: f$x$ = g$x$ + h$x$ → f'$x$ = g'$x$ + h'$x$. So wird aus f$x$ = 7x + x² die Ableitung f'$x$ = 7 + 2x.

💡 Merkhilfe: Beim grafischen Ableiten entspricht eine Extremstelle in f$x$ einer Nullstelle in f'$x$, und ein Wendepunkt in f$x$ ist eine Extremstelle in f'$x$.

Bei Tangenten hast du zwei Möglichkeiten zur Berechnung:

1. Mit der Formel y = f'$b$x + c, wobei du c durch Einsetzen des Punktes B$b/f(b)$ bestimmst
2. Mit der Formel y = f'$b$ · $x - b$ + f$b$ für den Punkt B$b/f(b)$

Normalen und Monotonie

Eine Normale steht senkrecht zur Tangente und hat die Gleichung: y = -1/f'$b$ · $x-b$ + f$b$. Du berechnest sie, indem du den Kehrwert der Tangentensteigung nimmst und negierst.

Bei der Untersuchung von Monotonieintervallen schaust du, wo eine Funktion wächst oder fällt:

• Streng monoton wachsend: Wenn für x₁ < x₂ gilt f(x₁) < f(x₂)
• Streng monoton fallend: Wenn für x₁ < x₂ gilt f(x₁) > f(x₂)

Das Vorzeichenwechselkriterium (VZW) ist entscheidend für den Nachweis von Extremstellen:

• Wechsel von + nach - bedeutet ein lokales Maximum
• Wechsel von - nach + bedeutet ein lokales Minimum

🔍 Wichtig zu wissen: Du kannst Extremstellen immer finden, indem du die erste Ableitung gleich Null setzt und dann mit dem VZW-Kriterium oder dem f''-Kriterium überprüfst, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt.

Um Extremstellen praktisch zu bestimmen, leite die Funktion ab, bestimme die Nullstellen der Ableitung und untersuche dann für jede Nullstelle, ob das Vorzeichen der ersten Ableitung wechselt.

Wendepunkte und Krümmungsverhalten

Wendepunkte sind Stellen, an denen sich das Krümmungsverhalten einer Funktion ändert. So berechnest du sie:

1. Bestimme die zweite Ableitung f''
2. Finde die Nullstellen von f''
3. Überprüfe mit dem VZW-Kriterium, ob ein Vorzeichenwechsel stattfindet
4. Setze die Wendestellen in f ein, um die y-Koordinate zu erhalten

Das Krümmungsverhalten hängt von der zweiten Ableitung ab:

• Ist f'' > 0: Linkskrümmung (Kurve öffnet nach oben)
• Ist f'' < 0: Rechtskrümmung (Kurve öffnet nach unten)

🧠 Erinnerung: Ein Wendepunkt tritt auf, wenn f'' = 0 ist und gleichzeitig ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Keine Sorge, mit etwas Übung wirst du das schnell erkennen!

Um eine Wendetangente zu bestimmen:

1. Finde die Nullstellen von f''
2. Setze diese in f ein, um die y-Koordinate zu erhalten
3. Setze sie in f' ein, um die Steigung zu erhalten
4. Stelle die Tangentengleichung y = mx + c auf und bestimme c

Bei Extrempunkten gelten diese Regeln:

• Wenn f'$x$ = 0 und f''$x$ < 0: lokales Maximum
• Wenn f'$x$ = 0 und f''$x$ > 0: lokales Minimum
• Wenn f'$x$ = 0 und f''$x$ = 0: möglicherweise Sattelstelle (mit VZW prüfen)

Exponentialfunktionen

Die Exponentialfunktion hat die Form f$x$ = c · aˣ, wobei c der Anfangswert und a die Basis ist (mit a > 0). Diese Funktionen haben wichtige Eigenschaften:

• Der Funktionsgraph verläuft immer oberhalb der x-Achse (f$x$ > 0)
• Bei a > 1 wächst die Funktion, bei 0 < a < 1 fällt sie
• Der Graph geht durch den Punkt $0/c$
• Bei a > 1 nähert sich der Graph für x → -∞ der x-Achse an
• Bei 0 < a < 1 nähert sich der Graph für x → ∞ der x-Achse an

📈 Praxistipp: Bei Exponentialfunktionen ist der y-Achsenabschnitt immer c, da a⁰ = 1 ist. Dies ist sehr hilfreich, wenn du die Funktionsgleichung bestimmen sollst!

Um die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion zu ermitteln, brauchst du zwei Punkte:

1. Setze beide Punkte in f$x$ = c · aˣ ein
2. Löse das entstehende Gleichungssystem nach c und a auf

Wenn du einen Punkt hast, bei dem x = 0 ist (also auf der y-Achse), kannst du c direkt ablesen. Dann brauchst du nur noch einen weiteren Punkt, um a zu bestimmen.

Übersicht der Ableitungen und ihre Anwendungen

Die erste Ableitung f' hilft dir bei:

• Bestimmung von Monotonieintervallen (+ = wachsend, - = fallend)
• Finden von Extrempunkten mit dem Vorzeichenwechselkriterium
• Berechnung von Tangentengleichungen (y = mx + c mit m = f'$b$)

Die zweite Ableitung f'' verwendest du für:

• Bestimmung des Krümmungsverhaltens (> 0 = Linkskrümmung, < 0 = Rechtskrümmung)
• Untersuchung von Extrempunkten mit dem f''-Kriterium (> 0 = Minimum, < 0 = Maximum)
• Berechnung von Wendepunkten (Nullstellen von f'')

Die dritte Ableitung f''' brauchst du für:

• Berechnung von Wendepunkten in Spezialfällen

🔑 Klausurtipp: Wenn du nicht weißt, wo du anfangen sollst, bestimme zuerst die erste und zweite Ableitung. Mit diesen beiden kannst du fast alle wichtigen Eigenschaften einer Funktion untersuchen!

Wichtige Formeln für die Klausur:

• Normalengleichung: n: y = -1/f'$b$ · $x-b$ + f$b$
• Quadratische Gleichungen lösen mit p-q-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √$p²/4 - q$
• Wenn eine Extremstelle kein Maximum oder Minimum ist, handelt es sich um eine Sattelstelle