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Katie
13.12.2025
Mathe
Ableitung und Funktionen
1.127
•
13. Dez. 2025
•
Katie
@katie_1705
Die Differentialrechnung zeigt uns, wie Funktionen und ihre Ableitungen zusammenhängen.... Mehr anzeigen
Funktionen beschreiben Abhängigkeiten zwischen zwei Größen in der Mathematik und in vielen Anwendungsbereichen. Der Graph einer Funktion verrät uns schnell, wo die Funktion steigt oder fällt und wo sie Hoch- oder Tiefpunkte hat.
Diese charakteristischen Eigenschaften spiegeln sich in den Ableitungen der Funktion wider. Die erste Ableitung f'(x) gibt uns Auskunft über die Monotonie der Funktion. Ist f'(x) > 0, steigt die Funktion; ist f'(x) < 0, fällt sie. An Extrempunkten wird die erste Ableitung null.
Die zweite Ableitung f''(x) informiert uns über die Krümmung des Funktionsgraphen. Bei f''(x) > 0 ist die Funktion linksgekrümmt, bei f''(x) < 0 rechtsgekrümmt. An Wendepunkten wechselt f''(x) das Vorzeichen.
💡 Merke dir: Der Verlauf des Graphen und seine besonderen Punkte können direkt aus den Vorzeichen der Ableitungen abgelesen werden, ohne die Funktion selbst berechnen zu müssen!
Das Vorzeichen der ersten Ableitung verrät uns sofort, ob die Funktion steigt oder fällt. Ist f'(x) positiv, steigt die Funktion streng monoton. Ist f'(x) negativ, fällt sie streng monoton. Besonders interessant wird es bei den Vorzeichenwechseln der ersten Ableitung.
Wechselt f'(x) von positiv nach negativ, haben wir einen Hochpunkt gefunden. Ändert sich das Vorzeichen von negativ nach positiv, handelt es sich um einen Tiefpunkt. An diesen Extremstellen gilt immer f'(x) = 0.
Die zweite Ableitung gibt uns Auskunft über die Krümmung des Graphen. Bei positiver zweiter Ableitung ist die Funktion linksgekrümmt (nach oben geöffnet), bei negativer zweiter Ableitung rechtsgekrümmt (nach unten geöffnet). An Wendepunkten wechselt f''(x) das Vorzeichen und es gilt f''(x) = 0.
🔍 Wichtig für Klausuren: Unterscheide zwischen lokalen und globalen Extrema! Ein lokales Extremum ist ein Maximum oder Minimum in einer bestimmten Umgebung, während ein globales Extremum im gesamten Definitionsbereich gilt.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Katie
@katie_1705
Die Differentialrechnung zeigt uns, wie Funktionen und ihre Ableitungen zusammenhängen. Diese Verbindungen helfen uns, wichtige Eigenschaften von Funktionen zu verstehen und zu analysieren, ohne komplizierte Berechnungen durchführen zu müssen.
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Funktionen beschreiben Abhängigkeiten zwischen zwei Größen in der Mathematik und in vielen Anwendungsbereichen. Der Graph einer Funktion verrät uns schnell, wo die Funktion steigt oder fällt und wo sie Hoch- oder Tiefpunkte hat.
Diese charakteristischen Eigenschaften spiegeln sich in den Ableitungen der Funktion wider. Die erste Ableitung f'(x) gibt uns Auskunft über die Monotonie der Funktion. Ist f'(x) > 0, steigt die Funktion; ist f'(x) < 0, fällt sie. An Extrempunkten wird die erste Ableitung null.
Die zweite Ableitung f''(x) informiert uns über die Krümmung des Funktionsgraphen. Bei f''(x) > 0 ist die Funktion linksgekrümmt, bei f''(x) < 0 rechtsgekrümmt. An Wendepunkten wechselt f''(x) das Vorzeichen.
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Das Vorzeichen der ersten Ableitung verrät uns sofort, ob die Funktion steigt oder fällt. Ist f'(x) positiv, steigt die Funktion streng monoton. Ist f'(x) negativ, fällt sie streng monoton. Besonders interessant wird es bei den Vorzeichenwechseln der ersten Ableitung.
Wechselt f'(x) von positiv nach negativ, haben wir einen Hochpunkt gefunden. Ändert sich das Vorzeichen von negativ nach positiv, handelt es sich um einen Tiefpunkt. An diesen Extremstellen gilt immer f'(x) = 0.
Die zweite Ableitung gibt uns Auskunft über die Krümmung des Graphen. Bei positiver zweiter Ableitung ist die Funktion linksgekrümmt (nach oben geöffnet), bei negativer zweiter Ableitung rechtsgekrümmt (nach unten geöffnet). An Wendepunkten wechselt f''(x) das Vorzeichen und es gilt f''(x) = 0.
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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Entdecken Sie die Grundlagen der Kurvendiskussion, einschließlich der Bestimmung von Extrempunkten, Monotonieverhalten und Wendepunkten. Erfahren Sie, wie man Steckbriefaufgaben löst und die Wahrscheinlichkeiten in Bernoulli-Experimenten berechnet. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über wichtige Konzepte wie graphische Ableitungen, Nullstellen und Krümmungsverhalten. Ideal für Studierende der Mathematik.
MatheErfahren Sie, wie man die graphische Ableitung Schritt für Schritt anwendet. Diese Anleitung behandelt die Beziehung zwischen den Steigungen von f(x) und f'(x), die Identifikation von Hoch- und Tiefpunkten sowie die Bedeutung der Nullstellen. Ideal für Studierende der Differentialrechnung und Kurvenanalyse.
MatheEntdecken Sie die Lösungen zu den Aufgaben auf Seite 86 des Mathebuchs Lambacher Schweizer EF. Diese Zusammenfassung behandelt die Anwendung der Differenzierung, Nullstellen, Extrempunkte und charakteristische Punkte von Funktionen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Mathematik vertiefen möchten.
MatheVertiefen Sie Ihr Wissen in der mathematischen Analyse mit diesem umfassenden Arbeitsblatt. Es behandelt Ableitungen, das Verhalten von Funktionen, Extrem- und Wendepunkte sowie die Anwendung der Differentiation. Ideal für die Vorbereitung auf die Klausur im Mathematik Leistungskurs der 10. Klasse. Schwerpunkte: Ableitungen, Graphen, quadratische Gleichungen, und Differenzierungsregeln.
MatheErfahren Sie alles über charakteristische Punkte von Funktionsgraphen, einschließlich Nullstellen, y-Achsenabschnitt, Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) und deren Bedeutung. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Erklärung der Konzepte sowie ein Glossar zur Vertiefung des Verständnisses. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen über Funktionen erweitern möchten.
MatheErfahren Sie, wie man Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion berechnet. Diese Zusammenfassung behandelt notwendige und hinreichende Bedingungen, das Vorzeichenwechselkriterium und bietet ein Beispiel zur Veranschaulichung. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Ableitungen und Extremwerten beschäftigen.
MatheApp Store
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Marcus B
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