Funktionen sind wie mathematische Maschinen, die aus jeder Eingabe (x-Wert)...
Mathe469 aufrufe·Aktualisiert 16. Aug. 2026·8 SeitenMathe-Grundlagen: Funktionen einfach erklärt
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Funktionen - Die Grundlagen
Funktionen sind überall um uns herum - von der Handyrechnung bis zur Benzinverbrauchsberechnung. Eine Funktion wie f = x² ordnet jedem x-Wert genau einen y-Wert zu.
Die Definitionsmenge (Df) zeigt dir, welche x-Werte du einsetzen darfst. Bei f = x² kannst du jede reelle Zahl einsetzen, also Df = ℝ. Die Wertemenge (Wf) sammelt alle möglichen Ergebnisse - hier alle Zahlen ≥ 0.
Nicht immer funktioniert alles: Bei g = √x kannst du keine negativen Zahlen einsetzen, also Dg = [0; ∞). Bei h = 1/x ist die Null tabu, denn durch null teilen geht nicht!
Merktipp: Wenn ein Graph mehrere y-Werte zu einem x-Wert hat, ist es keine Funktion mehr!
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Intervalle - So schreibst du Bereiche auf
Intervallschreibweise ist wie eine Kurzform für Zahlenbereiche. [2;5] bedeutet "alle Zahlen von 2 bis 5, inklusive 2 und 5". Die eckigen Klammern sagen "ist dabei".
Runde Klammern schließen aus: (2;5) heißt "zwischen 2 und 5, aber ohne 2 und 5". Gemischt geht auch: [2;5) nimmt die 2 mit, lässt die 5 weg.
Für unendliche Bereiche schreibst du [2; +∞) - das bedeutet "alle Zahlen ab 2". Wird nur eine bestimmte Zahl ausgeschlossen, verwendest du ℝ{a} - "alle reellen Zahlen außer a".
Beispiel: f = 1/ hat Df = ℝ{2}, weil bei x = 2 durch null geteilt würde.
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Strecken & Verschieben - Funktionen verändern
Du kannst Funktionsgraphen wie Puzzleteile verschieben und verformen! Bei g = a·f streckst du den Graphen: a > 1 macht ihn höher, 0 < a < 1 staucht ihn. Ist a negativ, wird zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.
Verschiebungen funktionieren anders als erwartet: f verschiebt um b nach rechts (nicht links!), f nach links. Das liegt daran, dass x früher den gewünschten Wert erreicht.
Vertikale Verschiebungen sind einfacher: f + c hebt um c nach oben, f - c senkt um c nach unten. Merkregel: Erst strecken, dann verschieben - wie "Punkt vor Strich"!
Beispiel: g = -4³ - 2 entsteht aus f = x³ durch Spiegelung, Streckung mit 4, Verschiebung um 1 links und 2 nach unten.
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Zusammengesetzte Funktionen
Funktionen addieren ist wie zwei Melodien gleichzeitig spielen. Wenn f = g + h, dann addierst du an jeder Stelle die y-Werte beider Funktionen. Genauso funktioniert Subtraktion: f = g - h.
Die Definitionsmenge der neuen Funktion umfasst nur die x-Werte, die in beiden ursprünglichen Funktionen erlaubt sind. Wenn g = √x nur für x ≥ 0 definiert ist und h = 0,5x für alle reellen Zahlen, dann gilt für f = √x - 0,5x: Df = [0; ∞).
Zum Zeichnen nimmst du die y-Koordinaten beider Graphen an derselben x-Stelle und rechnest sie zusammen. Bei x = 4 könnte das √4 - 0,5·4 = 2 - 2 = 0 ergeben.
Tipp: Zeichne erst beide Ausgangsfunktionen, dann kannst du die neue Funktion Punkt für Punkt konstruieren.
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Ganzrationale Funktionen
Ganzrationale Funktionen sind die "normalen" Polynome wie f = 7x⁴ - 5x + 2. Sie bestehen nur aus x-Potenzen mit natürlichen Exponenten und reellen Koeffizienten. Der höchste Exponent bestimmt den Grad der Funktion.
Das Verhalten für x → ±∞ hängt nur vom höchsten Glied an·xⁿ ab. Bei geradem n und positivem a geht die Funktion in beide Richtungen gegen +∞ (wie eine Parabel). Bei ungeradem n und positivem a geht sie links gegen -∞ und rechts gegen +∞.
Negative Koeffizienten kehren das Verhalten um: -x² geht in beide Richtungen gegen -∞, -x³ geht links gegen +∞ und rechts gegen -∞.
Merkhilfe: Gerade Exponenten = symmetrisch wie U oder ∩, ungerade Exponenten = schräg wie / oder .
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Symmetrie - Schöne Muster erkennen
Achsensymmetrie zur y-Achse erkennst du bei ganzrationalen Funktionen daran, dass alle Exponenten gerade sind. Bei f = 3x⁴ - 2x² + 4 sind alle Exponenten (4, 2, 0) gerade - der Graph ist symmetrisch wie ein Smiley.
Punktsymmetrie zum Ursprung liegt vor, wenn alle Exponenten ungerade sind. Bei beliebigen Funktionen testest du mit f: Gilt f = f, ist der Graph achsensymmetrisch. Gilt f = -f, ist er punktsymmetrisch.
Beispiele: h = √|x| + 4 ist achsensymmetrisch, weil h = √|-x| + 4 = √|x| + 4 = h. Die Funktion k = 4/x ist punktsymmetrisch, da k = 4/ = -4/x = -k.
Schnellcheck: Setze -x ein und schau, ob das Gleiche (Achsensymmetrie) oder das Negative (Punktsymmetrie) rauskommt.
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Nullstellen - Wo der Graph die x-Achse trifft
Nullstellen sind die x-Werte, bei denen f = 0 wird - dort schneidet oder berührt der Graph die x-Achse. Du hast drei mächtige Werkzeuge: den Satz vom Nullprodukt, die Mitternachtsformel und die Substitution.
Beim Satz vom Nullprodukt klammerst du erst aus: x³ - 6x² = x² = 0. Da ein Produkt null ist, wenn ein Faktor null ist, folgt: x² = 0 oder x - 6 = 0, also x₁ = 0 und x₂ = 6.
Die Mitternachtsformel löst ax² + bx + c = 0: x = /(2a). Bei der Substitution ersetzt du komplizierte Terme: Aus x⁴ - 11x² + 18 = 0 wird mit z = x² die Gleichung z² - 11z + 18 = 0.
Profi-Tipp: Klammere immer erst aus, bevor du andere Verfahren anwendest - das spart oft viel Arbeit!
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Linearfaktoren - Die Nullstellen im Überblick
Linearfaktoren zeigen dir die Nullstellen auf einen Blick. Die Darstellung f = x-1$$x+3 verrät sofort: Nullstellen bei x₁ = 1 und x₂ = -3. Jeder Faktor entspricht einer Nullstelle bei x = a.
Die Vielfachheit der Nullstellen bestimmt das Verhalten: Tritt ein Linearfaktor ungerade Male auf (1×, 3×, 5×...), schneidet der Graph die x-Achse. Bei gerader Vielfachheit (2×, 4×, 6×...) berührt er sie nur.
Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades hat höchstens n Nullstellen. Bei f = x-1$$x-3² ist x = 1 eine einfache Nullstelle (Graph schneidet) und x = 3 eine zweifache Nullstelle (Graph berührt).
Visualisierung: Einfache Nullstellen = Graph "sticht durch", mehrfache Nullstellen = Graph "tippt an" und kehrt um.
Wir dachten schon, du fragst nie...
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AnnaiOS-Nutzerin
Mathe469 aufrufe·Aktualisiert 16. Aug. 2026·8 SeitenMathe-Grundlagen: Funktionen einfach erklärt
Study with Eleanor@eleanor_ioev
Funktionen sind wie mathematische Maschinen, die aus jeder Eingabe (x-Wert) genau eine Ausgabe (y-Wert) produzieren. Du lernst hier alles über ihre Eigenschaften, wie du sie verändern und analysieren kannst - von einfachen Grundlagen bis hin zu komplexeren ganzrationalen Funktionen.
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Funktionen - Die Grundlagen
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Nicht immer funktioniert alles: Bei g = √x kannst du keine negativen Zahlen einsetzen, also Dg = [0; ∞). Bei h = 1/x ist die Null tabu, denn durch null teilen geht nicht!
Merktipp: Wenn ein Graph mehrere y-Werte zu einem x-Wert hat, ist es keine Funktion mehr!
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Beispiel: f = 1/ hat Df = ℝ{2}, weil bei x = 2 durch null geteilt würde.
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Strecken & Verschieben - Funktionen verändern
Du kannst Funktionsgraphen wie Puzzleteile verschieben und verformen! Bei g = a·f streckst du den Graphen: a > 1 macht ihn höher, 0 < a < 1 staucht ihn. Ist a negativ, wird zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.
Verschiebungen funktionieren anders als erwartet: f verschiebt um b nach rechts (nicht links!), f nach links. Das liegt daran, dass x früher den gewünschten Wert erreicht.
Vertikale Verschiebungen sind einfacher: f + c hebt um c nach oben, f - c senkt um c nach unten. Merkregel: Erst strecken, dann verschieben - wie "Punkt vor Strich"!
Beispiel: g = -4³ - 2 entsteht aus f = x³ durch Spiegelung, Streckung mit 4, Verschiebung um 1 links und 2 nach unten.
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Zusammengesetzte Funktionen
Funktionen addieren ist wie zwei Melodien gleichzeitig spielen. Wenn f = g + h, dann addierst du an jeder Stelle die y-Werte beider Funktionen. Genauso funktioniert Subtraktion: f = g - h.
Die Definitionsmenge der neuen Funktion umfasst nur die x-Werte, die in beiden ursprünglichen Funktionen erlaubt sind. Wenn g = √x nur für x ≥ 0 definiert ist und h = 0,5x für alle reellen Zahlen, dann gilt für f = √x - 0,5x: Df = [0; ∞).
Zum Zeichnen nimmst du die y-Koordinaten beider Graphen an derselben x-Stelle und rechnest sie zusammen. Bei x = 4 könnte das √4 - 0,5·4 = 2 - 2 = 0 ergeben.
Tipp: Zeichne erst beide Ausgangsfunktionen, dann kannst du die neue Funktion Punkt für Punkt konstruieren.
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Ganzrationale Funktionen
Ganzrationale Funktionen sind die "normalen" Polynome wie f = 7x⁴ - 5x + 2. Sie bestehen nur aus x-Potenzen mit natürlichen Exponenten und reellen Koeffizienten. Der höchste Exponent bestimmt den Grad der Funktion.
Das Verhalten für x → ±∞ hängt nur vom höchsten Glied an·xⁿ ab. Bei geradem n und positivem a geht die Funktion in beide Richtungen gegen +∞ (wie eine Parabel). Bei ungeradem n und positivem a geht sie links gegen -∞ und rechts gegen +∞.
Negative Koeffizienten kehren das Verhalten um: -x² geht in beide Richtungen gegen -∞, -x³ geht links gegen +∞ und rechts gegen -∞.
Merkhilfe: Gerade Exponenten = symmetrisch wie U oder ∩, ungerade Exponenten = schräg wie / oder .
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Symmetrie - Schöne Muster erkennen
Achsensymmetrie zur y-Achse erkennst du bei ganzrationalen Funktionen daran, dass alle Exponenten gerade sind. Bei f = 3x⁴ - 2x² + 4 sind alle Exponenten (4, 2, 0) gerade - der Graph ist symmetrisch wie ein Smiley.
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Beispiele: h = √|x| + 4 ist achsensymmetrisch, weil h = √|-x| + 4 = √|x| + 4 = h. Die Funktion k = 4/x ist punktsymmetrisch, da k = 4/ = -4/x = -k.
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Linearfaktoren - Die Nullstellen im Überblick
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Schüler lieben uns — und du auch.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan SiOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha KlichAndroid-Nutzerin
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AnnaiOS-Nutzerin