Mathematik

Nullstellen und Wurzeln von Polynomen

Nullstellen/Wurzeln

Mathe508Aktualisiert 1. Okt. 20268 Seiten

Mathe-Grundlagen: Funktionen einfach erklärt

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Funktionen sind wie mathematische Maschinen, die aus jeder Eingabe (x-Wert) genau eine Ausgabe (y-Wert) produzieren. Du lernst hier alles über ihre Eigenschaften, wie du sie verändern und analysieren kannst - von einfachen Grundlagen bis hin zu komplexeren ganzrationalen Funktionen.

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Funktionen - Die Grundlagen

Funktionen sind überall um uns herum - von der Handyrechnung bis zur Benzinverbrauchsberechnung. Eine Funktion wie f $x$ = x² ordnet jedem x-Wert genau einen y-Wert zu.

Die Definitionsmenge (Df) zeigt dir, welche x-Werte du einsetzen darfst. Bei f $x$ = x² kannst du jede reelle Zahl einsetzen, also Df = ℝ. Die Wertemenge (Wf) sammelt alle möglichen Ergebnisse - hier alle Zahlen ≥ 0.

Nicht immer funktioniert alles: Bei g $x$ = √x kannst du keine negativen Zahlen einsetzen, also Dg = [0; ∞). Bei h $x$ = 1/x ist die Null tabu, denn durch null teilen geht nicht!

Merktipp: Wenn ein Graph mehrere y-Werte zu einem x-Wert hat, ist es keine Funktion mehr!

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Intervalle - So schreibst du Bereiche auf

Intervallschreibweise ist wie eine Kurzform für Zahlenbereiche. [2;5] bedeutet "alle Zahlen von 2 bis 5, inklusive 2 und 5". Die eckigen Klammern sagen "ist dabei".

Runde Klammern schließen aus: (2;5) heißt "zwischen 2 und 5, aber ohne 2 und 5". Gemischt geht auch: [2;5) nimmt die 2 mit, lässt die 5 weg.

Für unendliche Bereiche schreibst du [2; +∞) - das bedeutet "alle Zahlen ab 2". Wird nur eine bestimmte Zahl ausgeschlossen, verwendest du ℝ{a} - "alle reellen Zahlen außer a".

Beispiel: f $x$ = 1/ $x-2$ hat Df = ℝ{2}, weil bei x = 2 durch null geteilt würde.

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Strecken & Verschieben - Funktionen verändern

Du kannst Funktionsgraphen wie Puzzleteile verschieben und verformen! Bei g $x$ = a·f $x$ streckst du den Graphen: a > 1 macht ihn höher, 0 < a < 1 staucht ihn. Ist a negativ, wird zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.

Verschiebungen funktionieren anders als erwartet: f $x-b$ verschiebt um b nach rechts (nicht links!), f $x+b$ nach links. Das liegt daran, dass x früher den gewünschten Wert erreicht.

Vertikale Verschiebungen sind einfacher: f $x$ + c hebt um c nach oben, f $x$ - c senkt um c nach unten. Merkregel: Erst strecken, dann verschieben - wie "Punkt vor Strich"!

Beispiel: g $x$ = -4 $x+1$ ³ - 2 entsteht aus f $x$ = x³ durch Spiegelung, Streckung mit 4, Verschiebung um 1 links und 2 nach unten.

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Zusammengesetzte Funktionen

Funktionen addieren ist wie zwei Melodien gleichzeitig spielen. Wenn f $x$ = g $x$ + h $x$ , dann addierst du an jeder Stelle die y-Werte beider Funktionen. Genauso funktioniert Subtraktion: f $x$ = g $x$ - h $x$ .

Die Definitionsmenge der neuen Funktion umfasst nur die x-Werte, die in beiden ursprünglichen Funktionen erlaubt sind. Wenn g $x$ = √x nur für x ≥ 0 definiert ist und h $x$ = 0,5x für alle reellen Zahlen, dann gilt für f $x$ = √x - 0,5x: Df = [0; ∞).

Zum Zeichnen nimmst du die y-Koordinaten beider Graphen an derselben x-Stelle und rechnest sie zusammen. Bei x = 4 könnte das √4 - 0,5·4 = 2 - 2 = 0 ergeben.

Tipp: Zeichne erst beide Ausgangsfunktionen, dann kannst du die neue Funktion Punkt für Punkt konstruieren.

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Ganzrationale Funktionen

Ganzrationale Funktionen sind die "normalen" Polynome wie f $x$ = 7x⁴ - 5x + 2. Sie bestehen nur aus x-Potenzen mit natürlichen Exponenten und reellen Koeffizienten. Der höchste Exponent bestimmt den Grad der Funktion.

Das Verhalten für x → ±∞ hängt nur vom höchsten Glied an·xⁿ ab. Bei geradem n und positivem a geht die Funktion in beide Richtungen gegen +∞ (wie eine Parabel). Bei ungeradem n und positivem a geht sie links gegen -∞ und rechts gegen +∞.

Negative Koeffizienten kehren das Verhalten um: -x² geht in beide Richtungen gegen -∞, -x³ geht links gegen +∞ und rechts gegen -∞.

Merkhilfe: Gerade Exponenten = symmetrisch wie U oder ∩, ungerade Exponenten = schräg wie / oder .

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Symmetrie - Schöne Muster erkennen

Achsensymmetrie zur y-Achse erkennst du bei ganzrationalen Funktionen daran, dass alle Exponenten gerade sind. Bei f $x$ = 3x⁴ - 2x² + 4 sind alle Exponenten (4, 2, 0) gerade - der Graph ist symmetrisch wie ein Smiley.

Punktsymmetrie zum Ursprung liegt vor, wenn alle Exponenten ungerade sind. Bei beliebigen Funktionen testest du mit f $-x$ : Gilt f $-x$ = f $x$ , ist der Graph achsensymmetrisch. Gilt f $-x$ = -f $x$ , ist er punktsymmetrisch.

Beispiele: h $x$ = √|x| + 4 ist achsensymmetrisch, weil h $-x$ = √|-x| + 4 = √|x| + 4 = h $x$ . Die Funktion k $x$ = 4/x ist punktsymmetrisch, da k $-x$ = 4/ $-x$ = -4/x = -k $x$ .

Schnellcheck: Setze -x ein und schau, ob das Gleiche (Achsensymmetrie) oder das Negative (Punktsymmetrie) rauskommt.

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Nullstellen - Wo der Graph die x-Achse trifft

Nullstellen sind die x-Werte, bei denen f $x$ = 0 wird - dort schneidet oder berührt der Graph die x-Achse. Du hast drei mächtige Werkzeuge: den Satz vom Nullprodukt, die Mitternachtsformel und die Substitution.

Beim Satz vom Nullprodukt klammerst du erst aus: x³ - 6x² = x² $x - 6$ = 0. Da ein Produkt null ist, wenn ein Faktor null ist, folgt: x² = 0 oder x - 6 = 0, also x₁ = 0 und x₂ = 6.

Die Mitternachtsformel löst ax² + bx + c = 0: x = $-b ± √(b² - 4ac)$ /(2a). Bei der Substitution ersetzt du komplizierte Terme: Aus x⁴ - 11x² + 18 = 0 wird mit z = x² die Gleichung z² - 11z + 18 = 0.

Profi-Tipp: Klammere immer erst aus, bevor du andere Verfahren anwendest - das spart oft viel Arbeit!

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Linearfaktoren - Die Nullstellen im Überblick

Linearfaktoren zeigen dir die Nullstellen auf einen Blick. Die Darstellung f $x$ = $x-1$$x+3$ verrät sofort: Nullstellen bei x₁ = 1 und x₂ = -3. Jeder Faktor $x-a$ entspricht einer Nullstelle bei x = a.

Die Vielfachheit der Nullstellen bestimmt das Verhalten: Tritt ein Linearfaktor ungerade Male auf (1×, 3×, 5×...), schneidet der Graph die x-Achse. Bei gerader Vielfachheit (2×, 4×, 6×...) berührt er sie nur.

Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades hat höchstens n Nullstellen. Bei f $x$ = $x-1$$x-3$ ² ist x = 1 eine einfache Nullstelle (Graph schneidet) und x = 3 eine zweifache Nullstelle (Graph berührt).

Visualisierung: Einfache Nullstellen = Graph "sticht durch", mehrfache Nullstellen = Graph "tippt an" und kehrt um.

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