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2. Feb. 2026
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Dania🤍
@daniakhudeda_euqd
Ganzrationale Funktionen sind ein zentrales Thema der Oberstufen-Mathematik, das dir... Mehr anzeigen
Mittlere Änderungsrate ist eigentlich super einfach: Du misst einfach, wie steil die Verbindungslinie zwischen zwei Punkten ist. Das machst du mit dem Differenzenquotienten .
Die momentane Änderungsrate kriegst du, wenn du das Intervall immer kleiner machst. Am Ende wird daraus die Ableitung - und die zeigt dir die Steigung der Tangente an jedem Punkt.
Für das Ableiten brauchst du nur drei Regeln: Potenzregel $x^n$ wird zu $n \cdot x^{n-1}$, Faktorregel (Konstanten bleiben stehen) und Summenregel (jeder Term wird einzeln abgeleitet).
Merktipp: Die Ableitung ist nichts anderes als die Steigung der Tangente an jedem Punkt!
Bei ganzrationalen Funktionen suchst du immer nach den gleichen wichtigen Punkten: Nullstellen , Extrempunkte und den y-Achsenabschnitt.
Tangenten berechnest du in fünf Schritten: y-Wert bestimmen, ableiten, Steigung berechnen, y-Achsenabschnitt finden, fertig! Die Tangente hat dann die Form .
Das Monotonieverhalten zeigt dir, wo deine Funktion steigt oder fällt. Ist , steigt die Funktion - ist , fällt sie. An Extrempunkten wechselt die Monotonie.
Praxistipp: Bei Tiefpunkten geht's von fallend zu steigend, bei Hochpunkten umgekehrt!
Extrempunkte findest du systematisch: Erst die notwendige Bedingung lösen, dann prüfen, ob die Ableitung ihr Vorzeichen wechselt. Von minus zu plus = Tiefpunkt, von plus zu minus = Hochpunkt.
Noch schneller geht's mit der zweiten Ableitung: Ist , hast du einen Tiefpunkt. Ist , einen Hochpunkt. Das spart dir das mühsame Vorzeichenwechsel-Prüfen!
Die zweite Ableitung verrät dir auch die Krümmung: bedeutet linksgekrümmt (wie ein lächelnder Mund), bedeutet rechtsgekrümmt.
Eselsbrücke: Positive zweite Ableitung = Tiefpunkt = linksgekrümmt (alles "nach oben")!
Wendestellen sind die Punkte, wo die Krümmung wechselt - von links- zu rechtsgekrümmt oder umgekehrt. Du findest sie mit und prüfst dann den Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung.
Extremwertprobleme klingen kompliziert, folgen aber immer demselben Schema: Zielfunktion aufstellen, Nebenbedingungen finden, alles in eine Variable umformen, ableiten und Extremstellen bestimmen.
Ein Sattelpunkt ist ein spezieller Wendepunkt mit waagerechter Tangente - dort ist sowohl als auch .
Strategietipp: Bei Extremwertproblemen vergiss nie die Randwerte zu prüfen - oft liegt das globale Extremum am Rand!
Um eine ganzrationale Funktion zu bestimmen, brauchst du genauso viele Bedingungen wie unbekannte Parameter. Für eine Funktion 4. Grades sind das fünf Gleichungen.
Aus den gegebenen Punkten, Extremstellen und anderen Bedingungen stellst du ein lineares Gleichungssystem auf. Das löst du dann mit dem Gauß-Verfahren oder deinem Taschenrechner.
Die Bedingungen können vielfältig sein: Punkte auf dem Graphen, Extremstellen, Wendestellen oder bestimmte Steigungen. Jede Information gibt dir eine Gleichung.
Kontrolltipp: Setze am Ende alle gefundenen Bedingungen in deine Funktion ein - so merkst du Rechenfehler sofort!
Eine vollständige Kurvendiskussion läuft immer nach dem gleichen Schema ab: Symmetrie prüfen, Nullstellen finden, y-Achsenabschnitt bestimmen, Ableitungen berechnen, Extrempunkte und Wendepunkte ermitteln.
Bei den Nullstellen hast du verschiedene Methoden: Ausklammern, pq-Formel oder bei höheren Graden die Substitution. Symmetrie erkennst du an (achsensymmetrisch) oder (punktsymmetrisch).
Der Graph wird zum Schluss gezeichnet - mit allen wichtigen Punkten und dem Verhalten im Unendlichen. Eine Wertetabelle hilft bei komplizierten Stellen.
Zeitmanagement: In Klausuren kannst du bei symmetrischen Funktionen Zeit sparen - du musst nur eine Hälfte ausrechnen!
Funktionenscharen sind Funktionen mit einem zusätzlichen Parameter . Jeder Wert von gibt dir eine andere Kurve aus der Familie aller möglichen Funktionen.
Bei Ortskurven suchst du die Bahn, auf der alle Extrempunkte oder Wendepunkte liegen. Dafür formst du die x-Koordinate nach dem Parameter um und setzt sie in die y-Koordinate ein.
Typische Aufgaben fragen nach speziellen Kurven der Schar: Welche hat eine bestimmte Steigung? Welche geht durch einen gegebenen Punkt? Die Antwort findest du, indem du die Bedingung einsetzt und nach dem Parameter auflöst.
Durchblick: Funktionenscharen zeigen dir, wie sich Kurven systematisch verändern - perfekt für ein tieferes Verständnis!
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Du kannst die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
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App Store
Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Paul T
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Dania🤍
@daniakhudeda_euqd
Ganzrationale Funktionen sind ein zentrales Thema der Oberstufen-Mathematik, das dir überall in Klausuren begegnen wird. Du lernst hier alles von der Berechnung von Änderungsraten bis hin zur vollständigen Kurvendiskussion - und das ist alles machbar, wenn du die Grundlagen verstehst!
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Mittlere Änderungsrate ist eigentlich super einfach: Du misst einfach, wie steil die Verbindungslinie zwischen zwei Punkten ist. Das machst du mit dem Differenzenquotienten .
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Für das Ableiten brauchst du nur drei Regeln: Potenzregel $x^n$ wird zu $n \cdot x^{n-1}$, Faktorregel (Konstanten bleiben stehen) und Summenregel (jeder Term wird einzeln abgeleitet).
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Bei ganzrationalen Funktionen suchst du immer nach den gleichen wichtigen Punkten: Nullstellen , Extrempunkte und den y-Achsenabschnitt.
Tangenten berechnest du in fünf Schritten: y-Wert bestimmen, ableiten, Steigung berechnen, y-Achsenabschnitt finden, fertig! Die Tangente hat dann die Form .
Das Monotonieverhalten zeigt dir, wo deine Funktion steigt oder fällt. Ist , steigt die Funktion - ist , fällt sie. An Extrempunkten wechselt die Monotonie.
Praxistipp: Bei Tiefpunkten geht's von fallend zu steigend, bei Hochpunkten umgekehrt!
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Extrempunkte findest du systematisch: Erst die notwendige Bedingung lösen, dann prüfen, ob die Ableitung ihr Vorzeichen wechselt. Von minus zu plus = Tiefpunkt, von plus zu minus = Hochpunkt.
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Entdecken Sie die Grundlagen gebrochenrationaler Funktionen: Behebbare Definitionslücken, Polstellen, Asymptoten, Nullstellen und Symmetrie. Erfahren Sie, wie sich diese Funktionen gegen unendlich verhalten und lernen Sie die verschiedenen Graphentypen kennen. Ideal für die Vorbereitung auf Prüfungen in Bayern (FOS 13).
MatheEntdecken Sie die Grundlagen ganz rationaler Funktionen, einschließlich der Bestimmung von Nullstellen, Symmetrieeigenschaften und der Anwendung numerischer Verfahren zur Nullstellenberechnung. Diese Zusammenfassung bietet Beispiele für Funktionen 3. und 4. Grades sowie deren graphische Eigenschaften. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis von Funktionen vertiefen möchten.
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MatheDiese Zusammenfassung behandelt die zentrale Klausur der Einführungsphase 2016 in Mathematik. Die Aufgaben umfassen Themen wie Funktionen, Ableitungen, Stochastik und graphische Transformationen. Studierende lernen, wie man Gleichungen aufstellt, Ableitungen interpretiert und Wahrscheinlichkeiten berechnet. Ideal für die Vorbereitung auf Prüfungen und das Verständnis komplexer mathematischer Konzepte.
MatheErfahren Sie, wie man ganzrationale Funktionen bestimmt, indem man Eigenschaften wie Extrempunkte, Sattel- und Wendepunkte analysiert. Diese Zusammenfassung bietet eine Schritt-für-Schritt-Anleitung zur Aufstellung und Lösung von Gleichungssystemen für Funktionen n-ten Grades. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis von Funktionen vertiefen möchten.
MatheEntdecke effektive Lernstrategien und wichtige Konzepte für das Mathe-Abitur. Diese Zusammenstellung umfasst Themen wie Funktionen, Vektoren, Ableitungen, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal für die Vorbereitung auf die mündliche Prüfung. Verstehe die Grundlagen und wende sie in praktischen Beispielen an.
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Stefan S
iOS-Nutzer
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Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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Stefan S
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Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
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Rohan U
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Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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