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11
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Nicola
3.12.2025
Mathe
Analysis
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•
3. Dez. 2025
•
Nicola
@nicola_dpye
Zahlenfolgen sind ein zentrales Thema in der Analysis der 11.... Mehr anzeigen
Zahlenfolgen sind im Grunde nur Listen von Zahlen in einer bestimmten Reihenfolge - wie 4, 6, 8, 10, ... Du ordnest jeder natürlichen Zahl n eine reelle Zahl an zu. Das n-te Folgenglied an steht dabei an der n-ten Stelle.
Es gibt zwei Wege, Folgen zu beschreiben: Rekursiv bedeutet, dass du das erste Glied und eine Regel bekommst, wie du vom aktuellen zum nächsten Glied kommst. Bei der Folge 4, 6, 8, 10, ... wäre das: a₁ = 4 und a_{n+1} = aₙ + 2.
Explizit ist praktischer - hier kriegst du eine fertige Formel und kannst jedes beliebige Glied sofort ausrechnen. Für dieselbe Folge wäre das aₙ = 2 + 2n.
Merktipp: Rekursiv = Schritt für Schritt, Explizit = Direkter Sprung zum Ziel!
Du kannst rekursive Folgen in explizite umwandeln, indem du Muster erkennst: Bei Addition wird aus dem konstanten Wert eine Multiplikation mit , bei Multiplikation wird der Faktor zur Potenz.
Arithmetische Folgen haben eine konstante Differenz d zwischen benachbarten Gliedern. Die Folge 7, 14, 21, 28, ... hat d = 7. Rekursiv schreibst du: a_{n+1} = aₙ + d, explizit: aₙ = a₁ + · d.
Geometrische Folgen haben einen konstanten Quotienten q zwischen benachbarten Gliedern. Bei 4, 8, 16, ... ist q = 2. Rekursiv: a_{n+1} = q · aₙ, explizit: aₙ = a₁ · q^{n-1}.
Beim Graphen von Zahlenfolgen trägst du n auf der x-Achse und aₙ auf der y-Achse ein. Wichtig: Die Punkte werden NICHT verbunden, da nur natürliche Zahlen für n erlaubt sind!
Praxis-Tipp: Arithmetisch = immer gleich dazu addieren, Geometrisch = immer mit dem gleichen Faktor multiplizieren!
Stell dir vor, du legst um eine Zahl g einen beliebig schmalen Streifen. Wenn ab einem bestimmten Folgenglied alle weiteren in diesem Streifen liegen, dann ist g der Grenzwert der Folge. Schreibweise: lim_{n→∞} (aₙ) = g.
Eine konvergente Folge hat einen Grenzwert, eine Nullfolge konvergiert gegen 0. Das ist immer konvergent und super wichtig für Rechnungen!
Die Grenzwertsätze helfen dir bei komplizierteren Folgen: Du kannst Grenzwerte von Summen, Differenzen, Produkten und Quotienten einzeln berechnen und dann zusammensetzen.
Wichtig: Grenzwertsätze funktionieren nur bei konvergenten Folgen!
Beim Kürzen von Brüchen mit n-Potenzen kürzt du immer mit der höchsten n-Potenz. Beispiel: Bei / kürzt du mit n², und Terme wie 4/n gehen gegen 0.
Manchmal hast du Summen von Brüchen wie 6/n + 4/n². Hier erweiterst du mit der niedrigsten n-Potenz im Nenner - also mit n.
Das wird dann zu: /(n·n²) = /n³. Jetzt kannst du wieder mit der höchsten Potenz (n³) kürzen.
Bei Folgen wie 4/n³ + 3/n² + 4/n gehst du genauso vor: Erweitern mit n (der niedrigsten Potenz), dann normal kürzen.
Strategie: Erweitern macht aus mehreren Brüchen einen einzigen - dann kannst du die normalen Kürzungsregeln anwenden!
Diese Technik ist besonders nützlich, wenn du verschiedene n-Potenzen in den Nennern hast und einen gemeinsamen Grenzwert finden musst.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Nicola
@nicola_dpye
Zahlenfolgen sind ein zentrales Thema in der Analysis der 11. Klasse - und ehrlich gesagt, viel einfacher als sie zunächst aussehen! Du lernst hier, wie man mathematische Folgen beschreibt, berechnet und analysiert, was dir später bei Funktionen und Grenzwerten richtig... Mehr anzeigen
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Zahlenfolgen sind im Grunde nur Listen von Zahlen in einer bestimmten Reihenfolge - wie 4, 6, 8, 10, ... Du ordnest jeder natürlichen Zahl n eine reelle Zahl an zu. Das n-te Folgenglied an steht dabei an der n-ten Stelle.
Es gibt zwei Wege, Folgen zu beschreiben: Rekursiv bedeutet, dass du das erste Glied und eine Regel bekommst, wie du vom aktuellen zum nächsten Glied kommst. Bei der Folge 4, 6, 8, 10, ... wäre das: a₁ = 4 und a_{n+1} = aₙ + 2.
Explizit ist praktischer - hier kriegst du eine fertige Formel und kannst jedes beliebige Glied sofort ausrechnen. Für dieselbe Folge wäre das aₙ = 2 + 2n.
Merktipp: Rekursiv = Schritt für Schritt, Explizit = Direkter Sprung zum Ziel!
Du kannst rekursive Folgen in explizite umwandeln, indem du Muster erkennst: Bei Addition wird aus dem konstanten Wert eine Multiplikation mit , bei Multiplikation wird der Faktor zur Potenz.
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Arithmetische Folgen haben eine konstante Differenz d zwischen benachbarten Gliedern. Die Folge 7, 14, 21, 28, ... hat d = 7. Rekursiv schreibst du: a_{n+1} = aₙ + d, explizit: aₙ = a₁ + · d.
Geometrische Folgen haben einen konstanten Quotienten q zwischen benachbarten Gliedern. Bei 4, 8, 16, ... ist q = 2. Rekursiv: a_{n+1} = q · aₙ, explizit: aₙ = a₁ · q^{n-1}.
Beim Graphen von Zahlenfolgen trägst du n auf der x-Achse und aₙ auf der y-Achse ein. Wichtig: Die Punkte werden NICHT verbunden, da nur natürliche Zahlen für n erlaubt sind!
Praxis-Tipp: Arithmetisch = immer gleich dazu addieren, Geometrisch = immer mit dem gleichen Faktor multiplizieren!
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Stell dir vor, du legst um eine Zahl g einen beliebig schmalen Streifen. Wenn ab einem bestimmten Folgenglied alle weiteren in diesem Streifen liegen, dann ist g der Grenzwert der Folge. Schreibweise: lim_{n→∞} (aₙ) = g.
Eine konvergente Folge hat einen Grenzwert, eine Nullfolge konvergiert gegen 0. Das ist immer konvergent und super wichtig für Rechnungen!
Die Grenzwertsätze helfen dir bei komplizierteren Folgen: Du kannst Grenzwerte von Summen, Differenzen, Produkten und Quotienten einzeln berechnen und dann zusammensetzen.
Wichtig: Grenzwertsätze funktionieren nur bei konvergenten Folgen!
Beim Kürzen von Brüchen mit n-Potenzen kürzt du immer mit der höchsten n-Potenz. Beispiel: Bei / kürzt du mit n², und Terme wie 4/n gehen gegen 0.
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Manchmal hast du Summen von Brüchen wie 6/n + 4/n². Hier erweiterst du mit der niedrigsten n-Potenz im Nenner - also mit n.
Das wird dann zu: /(n·n²) = /n³. Jetzt kannst du wieder mit der höchsten Potenz (n³) kürzen.
Bei Folgen wie 4/n³ + 3/n² + 4/n gehst du genauso vor: Erweitern mit n (der niedrigsten Potenz), dann normal kürzen.
Strategie: Erweitern macht aus mehreren Brüchen einen einzigen - dann kannst du die normalen Kürzungsregeln anwenden!
Diese Technik ist besonders nützlich, wenn du verschiedene n-Potenzen in den Nennern hast und einen gemeinsamen Grenzwert finden musst.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
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Anna
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Sudenaz Ocak
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