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Mathe
9. Dez. 2025
1.545
7 Seiten
Lotti @lottii93
Ganzrationale Funktionen sind ein wichtiger Teil der Oberstufenmathematik - und keine Sorge, sie sind machbarer als sie aussehen!... Mehr anzeigen
Symmetrie ist dein erster Check bei jeder Funktion. Bei punktsymmetrischen Funktionen zum Ursprung gilt f = -f(x) - das heißt, alle Exponenten sind ungerade. Achsensymmetrische Funktionen zur y-Achse haben f = f(x) mit nur geraden Exponenten.
Nullstellen findest du, indem du f(x) = 0 setzt. Du kannst ausklammern (super bei x als gemeinsamen Faktor) oder die pq-Formel verwenden x₁,₂ = -p/2 ± √.
Für Schnittpunkte von Funktionen setzt du sie einfach gleich, löst nach x auf und setzt das Ergebnis in eine Funktion ein. Die Sekantengleichung gibt dir die Steigung zwischen zwei Punkten s = /h.
Tipp Verwechsle nicht Funktionsstelle (gegeben ist f(x), gesucht ist x) und Funktionswert (gegeben ist x, gesucht ist f(x))!
Extrempunkte findest du in vier Schritten 1) f'(x) bestimmen, 2) f'(x) = 0 setzen (notwendige Bedingung), 3) mit f''(x) prüfen , 4) y-Koordinate berechnen.
Wendepunkte funktionieren ähnlich f''(x) = 0 für die notwendige Bedingung, dann Vorzeichenwechsel in f''(x) oder f'''(x) ≠ 0 prüfen. Linkskrümmung bedeutet f''(x) > 0, Rechtskrümmung bedeutet f''(x) < 0.
Das Monotonieverhalten zeigt dir f'(x) Ist f'(x) > 0, steigt die Funktion, ist f'(x) < 0, fällt sie. Eine Wendetangente berechnest du, indem du erst den Wendepunkt findest und dann die Tangente dort bestimmst.
Merkhilfe Ein Wendepunkt in der Funktion wird zum Extrempunkt in der Ableitung - das hilft dir beim Überprüfen!
Funktionsscharen sind Funktionen mit einem Parameter (meist a) - rechne damit wie mit normalen Zahlen, aber pass bei Fallunterscheidungen auf! Je nach Wert des Parameters können sich Eigenschaften der Funktion ändern.
Bei Nullstellen von fa(x) = 0,25x³ - ax² + a²x klammerst du x aus und erhältst x₁ = 0 (parameterunabhängig) und x₂ = 2a (parameterabhängig). Für Extrempunkte gehst du genauso vor wie bei normalen Funktionen.
Fallunterscheidungen sind entscheidend Bei a > 0 hast du andere Extrempunkte als bei a < 0. Der Fall a = 0 muss oft separat betrachtet werden, da sich das Verhalten grundlegend ändert.
GTR-Tipp Nutze GRPH → Alpha für Parameter, dann VAR F4 {Parameter} und SET F2 zum Einstellen verschiedener Werte!
Integrale berechnen Flächen unter Kurven durch unendlich dünne Rechtecke. Die Ober- und Untersummen nähern sich mit mehr Rechtecken dem wahren Wert an Un/On = /n · f(x).
Stammfunktionen sind das Gegenteil der Ableitung f(x) = axⁿ → F(x) = a·xⁿ⁺¹/ + c. Wichtige Spezialfälle f(x) = 1/x hat die Stammfunktion F(x) = ln|x|, f(x) = √x = x^(1/2) wird zu F(x) = (2/3)x^(3/2).
Der Hauptsatz verbindet alles ∫ₐᵇ f(x)dx = ₐᵇ = F(b) - F(a). Das bedeutet Stammfunktion an den Grenzen einsetzen und subtrahieren.
GTR-Hilfe MATH F4 → F6(∫) macht die Berechnung schneller - aber versteh trotzdem das Prinzip!
Rechenregeln für Integrale erleichtern komplexe Aufgaben Du kannst Integrale addieren, Konstanten vorziehen und Bereiche aufteilen. ∫ₐᵇ f(x)dx + ∫ᵦᶜ f(x)dx = ∫ₐᶜ f(x)dx.
Orientierte Flächen können negativ werden - deshalb bildest du bei Flächeninhalten den Betrag! Zerlege die Fläche an jeder Nullstelle Nie über eine Nullstelle integrieren, außer es ist eine geradvielfache.
Flächen zwischen Funktionen berechnest du mit ∫ₐᵇ |f(x) - g(x)|dx. Erst Schnittpunkte finden, dann zwischen jedem Schnittpunkt separat integrieren und die Beträge addieren.
Wichtig Gradvielfache Nullstellen machen keinen Vorzeichenwechsel - da musst du nicht zerlegen!
Eingeschlossene Flächen zwischen Kurven berechnest du systematisch 1) Schnittpunkte finden, 2) ∫|f(x) - g(x)|dx zwischen den Schnittpunkten. Bei f(x) = x² + 2x - 4 und g(x) = -x² - 2x + 2 ergeben sich Schnittpunkte bei x = -3 und x = 1.
Uneigentliche Integrale haben unendliche Grenzen lim(z→∞) ∫ₐᶻ f(x)dx. Bei f(x) = 4/x² von 2 bis ∞ erhältst du den Grenzwert 2 - die Fläche ist trotz unendlicher Ausdehnung begrenzt!
Manche uneigentliche Integrale divergieren (werden unendlich groß), andere konvergieren zu einem festen Wert. Das hängt davon ab, wie schnell die Funktion gegen null geht.
Faustregel Funktionen wie 1/x² konvergieren meist, 1/x divergiert bei unendlichen Grenzen!
Aufstellung von Funktionsgleichungen folgt einem festen Schema 1) Allgemeine Form aufschreiben , 2) Ableitungen bilden, 3) Symmetrien nutzen .
Mathematisieren von Informationen ist der Schlüssel Punkt (x|y) → f(x) = y, Hochpunkt/Tiefpunkt → f'(x) = 0, Wendepunkt → f''(x) = 0. Bei einer Wendetangente mit Steigung m hast du zusätzlich f'(x) = m.
Unbestimmte Gleichungssysteme (weniger Gleichungen als Unbekannte) führen zu Funktionsscharen. Dann bleibt ein Parameter übrig, und du erhältst eine ganze Familie von Funktionen statt nur einer.
Strategie Sammle systematisch alle Informationen und übersetze sie in mathematische Bedingungen - dann löst sich das Gleichungssystem fast von selbst!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Erlerne die Umwandlung quadratischer Funktionen von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform. Diese Zusammenfassung behandelt die quadratische Ergänzung, Beispiele zur Veranschaulichung und die Anwendung der binomischen Formeln. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse über Parabeln vertiefen möchten.
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MatheErlerne die Methoden zur Bestimmung von Funktionsgleichungen für ganzrationale Funktionen. Dieser Leitfaden behandelt Funktionen 1. bis 4. Grades, Symmetrieeigenschaften und die Anwendung von Bedingungen zur Ableitung der Funktionsgleichung. Ideal für Schüler, die sich auf Mathematikprüfungen vorbereiten. Typ: Zusammenfassung.
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MatheApp Store
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Lotti
@lottii93
Ganzrationale Funktionen sind ein wichtiger Teil der Oberstufenmathematik - und keine Sorge, sie sind machbarer als sie aussehen! Du lernst hier alles über Symmetrie, Nullstellen, Extrempunkte und Integrale, plus praktische Tipps für deinen GTR.
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Symmetrie ist dein erster Check bei jeder Funktion. Bei punktsymmetrischen Funktionen zum Ursprung gilt f = -f(x) - das heißt, alle Exponenten sind ungerade. Achsensymmetrische Funktionen zur y-Achse haben f = f(x) mit nur geraden Exponenten.
Nullstellen findest du, indem du f(x) = 0 setzt. Du kannst ausklammern (super bei x als gemeinsamen Faktor) oder die pq-Formel verwenden: x₁,₂ = -p/2 ± √.
Für Schnittpunkte von Funktionen setzt du sie einfach gleich, löst nach x auf und setzt das Ergebnis in eine Funktion ein. Die Sekantengleichung gibt dir die Steigung zwischen zwei Punkten: s = /h.
Tipp: Verwechsle nicht Funktionsstelle (gegeben ist f(x), gesucht ist x) und Funktionswert (gegeben ist x, gesucht ist f(x))!
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Extrempunkte findest du in vier Schritten: 1) f'(x) bestimmen, 2) f'(x) = 0 setzen (notwendige Bedingung), 3) mit f''(x) prüfen , 4) y-Koordinate berechnen.
Wendepunkte funktionieren ähnlich: f''(x) = 0 für die notwendige Bedingung, dann Vorzeichenwechsel in f''(x) oder f'''(x) ≠ 0 prüfen. Linkskrümmung bedeutet f''(x) > 0, Rechtskrümmung bedeutet f''(x) < 0.
Das Monotonieverhalten zeigt dir f'(x): Ist f'(x) > 0, steigt die Funktion, ist f'(x) < 0, fällt sie. Eine Wendetangente berechnest du, indem du erst den Wendepunkt findest und dann die Tangente dort bestimmst.
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Der Hauptsatz verbindet alles: ∫ₐᵇ f(x)dx = ₐᵇ = F(b) - F(a). Das bedeutet: Stammfunktion an den Grenzen einsetzen und subtrahieren.
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Orientierte Flächen können negativ werden - deshalb bildest du bei Flächeninhalten den Betrag! Zerlege die Fläche an jeder Nullstelle: Nie über eine Nullstelle integrieren, außer es ist eine geradvielfache.
Flächen zwischen Funktionen berechnest du mit ∫ₐᵇ |f(x) - g(x)|dx. Erst Schnittpunkte finden, dann zwischen jedem Schnittpunkt separat integrieren und die Beträge addieren.
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Uneigentliche Integrale haben unendliche Grenzen: lim(z→∞) ∫ₐᶻ f(x)dx. Bei f(x) = 4/x² von 2 bis ∞ erhältst du den Grenzwert 2 - die Fläche ist trotz unendlicher Ausdehnung begrenzt!
Manche uneigentliche Integrale divergieren (werden unendlich groß), andere konvergieren zu einem festen Wert. Das hängt davon ab, wie schnell die Funktion gegen null geht.
Faustregel: Funktionen wie 1/x² konvergieren meist, 1/x divergiert bei unendlichen Grenzen!
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Aufstellung von Funktionsgleichungen folgt einem festen Schema: 1) Allgemeine Form aufschreiben , 2) Ableitungen bilden, 3) Symmetrien nutzen .
Mathematisieren von Informationen ist der Schlüssel: Punkt (x|y) → f(x) = y, Hochpunkt/Tiefpunkt → f'(x) = 0, Wendepunkt → f''(x) = 0. Bei einer Wendetangente mit Steigung m hast du zusätzlich f'(x) = m.
Unbestimmte Gleichungssysteme (weniger Gleichungen als Unbekannte) führen zu Funktionsscharen. Dann bleibt ein Parameter übrig, und du erhältst eine ganze Familie von Funktionen statt nur einer.
Strategie: Sammle systematisch alle Informationen und übersetze sie in mathematische Bedingungen - dann löst sich das Gleichungssystem fast von selbst!
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Erlerne die Umwandlung quadratischer Funktionen von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform. Diese Zusammenfassung behandelt die quadratische Ergänzung, Beispiele zur Veranschaulichung und die Anwendung der binomischen Formeln. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse über Parabeln vertiefen möchten.
MatheErfahre alles über quadratische Funktionen: Darstellungsformen, Scheitelpunkte, Nullstellen, und die Transformation von Parabeln. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Anleitung zur quadratischen Ergänzung und zur Berechnung von Extremwerten. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.
MatheDiese Zusammenfassung bietet eine detaillierte Anleitung zur quadratischen Ergänzung, einschließlich der Umwandlung in Normalform und Scheitelpunktform. Erfahren Sie, wie Sie die binomischen Formeln anwenden und die Schritte zur Umformung von Funktionen nachvollziehen können. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Fähigkeiten in der Algebra verbessern möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Exponentialfunktionen, einschließlich Ableitungen, Kurvendiskussion und das Aufstellen von Funktionsgleichungen. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie das asymptotische Verhalten, die Ketten- und Produktregel sowie die Anwendung von e-Funktionen in verschiedenen Kontexten. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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