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Mathematik

Ableitungen und Anwendungen

Ableitung

564

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20. Jan. 2026

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Differenzialrechnung verständlich erklärt 📊

A

alina

@studymudy

Nullstellen, Ableitungen und Extrempunkte sind die wichtigsten Werkzeuge der Analysis... Mehr anzeigen

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ableitungsregeen Konstante: f(x) = c f(x) = 10 f'(x) = 0 "Nur" X : f(x)=x fix) = 1 not Potenzregel: fox) = x^ f(x) = n ·x"²" f(x) = x¹0 fix)

Substitution - Der clevere Trick

Die Substitution ist dein Rettungsanker bei biquadratischen Gleichungen Funktionen mit $x^4$ und $x^2$, aber ohne $x^3$ und $x$. Du ersetzt einfach x2x^2 durch zz und machst aus einer komplizierten Gleichung eine einfache quadratische.

Nehmen wir f(x)=x4−6x2+8f(x) = x^4 - 6x^2 + 8: Du setzt x2=zx^2 = z und erhältst z2−6z+8=0z^2 - 6z + 8 = 0. Das löst du mit der pq-Formel und bekommst z1=4z_1 = 4 und z2=2z_2 = 2.

Jetzt kommt der wichtige Teil: Rücksubstitution! Aus z1=4z_1 = 4 wird x2=4x^2 = 4, also x1=2x_1 = 2 und x2=−2x_2 = -2. Aus z2=2z_2 = 2 wird x2=2x^2 = 2, also x3=2x_3 = \sqrt{2} und x4=−2x_4 = -\sqrt{2}.

⚠️ Wichtig: Vergiss nie die Rücksubstitution - sonst hast du zwar z-Werte, aber keine Nullstellen!

ableitungsregeen Konstante: f(x) = c f(x) = 10 f'(x) = 0 "Nur" X : f(x)=x fix) = 1 not Potenzregel: fox) = x^ f(x) = n ·x"²" f(x) = x¹0 fix)

Ableitungsfunktionen verstehen

Die erste Ableitungsfunktion f′(x)f'(x) gibt die Steigung der ursprünglichen Funktion an jeder Stelle an. Sie entsteht bei Polynomen durch die Potenzregel: Der Exponent wird zum Faktor, dann ziehst du 1 vom Exponenten ab.

Wichtige Zusammenhänge: Die Ableitung eines Polynoms 3. Grades ist eine Parabel. Die Ableitung einer quadratischen Funktion ist eine Gerade. Diese Muster helfen dir beim Verstehen der Graphen.

Extrempunkte der ursprünglichen Funktion werden zu Nullstellen der ersten Ableitung. Wendepunkte der ursprünglichen Funktion entsprechen Extrempunkten der ersten Ableitung und Nullstellen der zweiten Ableitung.

Die zweite Ableitung f′′(x)f''(x) beschreibt die Krümmung: f′′(x)>0f''(x) > 0 bedeutet Linkskrümmung (Tiefpunkt), f′′(x)<0f''(x) < 0 bedeutet Rechtskrümmung (Hochpunkt).

🔄 Verbindung: Jede Ableitung erzählt eine andere Geschichte über deine Funktion!

ableitungsregeen Konstante: f(x) = c f(x) = 10 f'(x) = 0 "Nur" X : f(x)=x fix) = 1 not Potenzregel: fox) = x^ f(x) = n ·x"²" f(x) = x¹0 fix)

Ableitungsregeln - Die Grundausstattung

Ableiten bedeutet die Steigung einer Funktion zu berechnen. Die Ableitungsregeln sind dabei deine Grundausstattung - einmal gelernt, funktionieren sie immer nach dem gleichen Muster.

Die Potenzregel ist der Star: f(x)=xnf(x) = x^n wird zu f′(x)=n⋅xn−1f'(x) = n \cdot x^{n-1}. Konstanten fallen weg, bei xx bleibt nur 1 übrig. Die Faktorregel besagt: Zahlen vor dem xx bleiben einfach stehen.

Bei Produkten wie (3x2+4)(x−3)(3x^2 + 4)(x - 3) brauchst du die Produktregel: f′(x)=g′(x)⋅h(x)+g(x)⋅h′(x)f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x). Bei Brüchen hilft die Quotientenregel: f′(x)=g′(x)⋅h(x)−g(x)⋅h′(x)(h(x))2f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2}.

Die Kettenregel für verschachtelte Funktionen lautet: innere mal äußere Ableitung. Bei (x2+2x−1)3(x^2 + 2x - 1)^3 leitest du erst die Klammer ab, dann die Potenz.

🎯 Tipp: Übe die Grundregeln, bis sie automatisch funktionieren - dann werden auch komplexe Aufgaben einfach!

ableitungsregeen Konstante: f(x) = c f(x) = 10 f'(x) = 0 "Nur" X : f(x)=x fix) = 1 not Potenzregel: fox) = x^ f(x) = n ·x"²" f(x) = x¹0 fix)

Nullstellen finden - Der große Überblick

Nullstellen berechnen ist wie ein Werkzeugkosten - für jeden Funktionstyp gibt es das passende Tool. Bei linearen Funktionen $f(x) = ax + b$ setzt du einfach null und löst nach x auf.

Wird's komplizierter, kommen mehr Strategien ins Spiel. Bei quadratischen Funktionen $ax^2 + bx + c$ verwendest du die Lösungsformel pq−Formelpq-Formel. Steht die Funktion schon in Faktoren da, nutzt du den Satz vom Nullprodukt - ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist.

Bei höheren Potenzen wird Ausklammern dein bester Freund. Funktionen wie ax3+bx2ax^3 + bx^2 kannst du oft vereinfachen, indem du gemeinsame Faktoren vor die Klammer ziehst. Für richtig knifflige Fälle gibt's noch die Polynomdivision.

💡 Merkhilfe: Schau immer zuerst, ob du ausklammern kannst - das spart oft viel Rechenarbeit!

ableitungsregeen Konstante: f(x) = c f(x) = 10 f'(x) = 0 "Nur" X : f(x)=x fix) = 1 not Potenzregel: fox) = x^ f(x) = n ·x"²" f(x) = x¹0 fix)

Wendepunkte und Sattelpunkte

Wendepunkte sind Stellen, wo die Krümmung der Funktion wechselt - von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve oder umgekehrt. Das notwendige Kriterium ist f′′(x)=0f''(x) = 0, das hinreichende prüft den Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung.

Bei einem Vorzeichenwechsel von - nach + hast du eine Links-Rechts-Wendestelle, von + nach - eine Rechts-Links-Wendestelle. Wendepunkte haben oft die größte Steigung zwischen zwei Extrema.

Sattelpunkte sind spezielle Wendepunkte mit waagerechter Tangente. Das erkennst du daran, dass sowohl f′(x0)=0f'(x_0) = 0 als auch f′′(x0)=0f''(x_0) = 0 gilt. Die Funktion hat dort einen Wendepunkt, aber die Steigung ist null.

Zur Berechnung: Löse f′′(x)=0f''(x) = 0 für den x-Wert, prüfe den Vorzeichenwechsel und setze den x-Wert in f(x)f(x) ein für den y-Wert.

🎢 Anschauung: Wendepunkte sind wie der Übergang von einer Bergfahrt zur Talfahrt auf der Achterbahn!

ableitungsregeen Konstante: f(x) = c f(x) = 10 f'(x) = 0 "Nur" X : f(x)=x fix) = 1 not Potenzregel: fox) = x^ f(x) = n ·x"²" f(x) = x¹0 fix)

Steigungen und Extrempunkte bestimmen

Die erste Ableitung gibt dir die momentane Steigung an jeder Stelle. Für Extrempunkte Hoch−undTiefpunkteHoch- und Tiefpunkte suchst du Stellen, wo die Steigung null ist: f′(x)=0f'(x) = 0.

Das notwendige Kriterium ist f′(x)=0f'(x) = 0. Das hinreichende Kriterium prüft den Vorzeichenwechsel: Wechselt f′(x)f'(x) von + nach -, hast du einen Hochpunkt. Wechselt sie von - nach +, ist es ein Tiefpunkt.

Alternativ nutzt du die zweite Ableitung: f′′(x)>0f''(x) > 0 bedeutet Tiefpunkt, f′′(x)<0f''(x) < 0 bedeutet Hochpunkt. Bei f′′(x)=0f''(x) = 0 hast du keinen Extrempunkt, sondern möglicherweise einen Sattelpunkt.

Die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Punkten berechnest du mit m=f(x2)−f(x1)x2−x1m = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} - das ist die Steigung der Sekante.

📊 Merksatz: Extremstelle = x-Wert, Extrempunkt = (x|y)-Wert!



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

DIE QUIZZES UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT NUR SCHLAUER!! HAT MIR SOGAR BEI MEINEN MASCARA PROBLEMEN GEHOLFEN!! GENAUSO WIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! OFFENSICHTLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Anna

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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DIE QUIZZES UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT NUR SCHLAUER!! HAT MIR SOGAR BEI MEINEN MASCARA PROBLEMEN GEHOLFEN!! GENAUSO WIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! OFFENSICHTLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Mathematik

Ableitungen und Anwendungen

Ableitung

 

Mathe

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•

20. Jan. 2026

•

6 Seiten

Differenzialrechnung verständlich erklärt 📊

A

alina

@studymudy

Nullstellen, Ableitungen und Extrempunkte sind die wichtigsten Werkzeuge der Analysis - und eigentlich gar nicht so kompliziert, wie sie am Anfang wirken! Mit den richtigen Strategien und etwas Übung wirst du schnell merken, dass hinter den ganzen Formeln ein logisches... Mehr anzeigen

ableitungsregeen Konstante: f(x) = c f(x) = 10 f'(x) = 0 "Nur" X : f(x)=x fix) = 1 not Potenzregel: fox) = x^ f(x) = n ·x"²" f(x) = x¹0 fix)

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Substitution - Der clevere Trick

Die Substitution ist dein Rettungsanker bei biquadratischen Gleichungen Funktionen mit $x^4$ und $x^2$, aber ohne $x^3$ und $x$. Du ersetzt einfach x2x^2 durch zz und machst aus einer komplizierten Gleichung eine einfache quadratische.

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Die zweite Ableitung f′′(x)f''(x) beschreibt die Krümmung: f′′(x)>0f''(x) > 0 bedeutet Linkskrümmung (Tiefpunkt), f′′(x)<0f''(x) < 0 bedeutet Rechtskrümmung (Hochpunkt).

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Bei höheren Potenzen wird Ausklammern dein bester Freund. Funktionen wie ax3+bx2ax^3 + bx^2 kannst du oft vereinfachen, indem du gemeinsame Faktoren vor die Klammer ziehst. Für richtig knifflige Fälle gibt's noch die Polynomdivision.

💡 Merkhilfe: Schau immer zuerst, ob du ausklammern kannst - das spart oft viel Rechenarbeit!

ableitungsregeen Konstante: f(x) = c f(x) = 10 f'(x) = 0 "Nur" X : f(x)=x fix) = 1 not Potenzregel: fox) = x^ f(x) = n ·x"²" f(x) = x¹0 fix)

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Wendepunkte und Sattelpunkte

Wendepunkte sind Stellen, wo die Krümmung der Funktion wechselt - von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve oder umgekehrt. Das notwendige Kriterium ist f′′(x)=0f''(x) = 0, das hinreichende prüft den Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung.

Bei einem Vorzeichenwechsel von - nach + hast du eine Links-Rechts-Wendestelle, von + nach - eine Rechts-Links-Wendestelle. Wendepunkte haben oft die größte Steigung zwischen zwei Extrema.

Sattelpunkte sind spezielle Wendepunkte mit waagerechter Tangente. Das erkennst du daran, dass sowohl f′(x0)=0f'(x_0) = 0 als auch f′′(x0)=0f''(x_0) = 0 gilt. Die Funktion hat dort einen Wendepunkt, aber die Steigung ist null.

Zur Berechnung: Löse f′′(x)=0f''(x) = 0 für den x-Wert, prüfe den Vorzeichenwechsel und setze den x-Wert in f(x)f(x) ein für den y-Wert.

🎢 Anschauung: Wendepunkte sind wie der Übergang von einer Bergfahrt zur Talfahrt auf der Achterbahn!

ableitungsregeen Konstante: f(x) = c f(x) = 10 f'(x) = 0 "Nur" X : f(x)=x fix) = 1 not Potenzregel: fox) = x^ f(x) = n ·x"²" f(x) = x¹0 fix)

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Steigungen und Extrempunkte bestimmen

Die erste Ableitung gibt dir die momentane Steigung an jeder Stelle. Für Extrempunkte Hoch−undTiefpunkteHoch- und Tiefpunkte suchst du Stellen, wo die Steigung null ist: f′(x)=0f'(x) = 0.

Das notwendige Kriterium ist f′(x)=0f'(x) = 0. Das hinreichende Kriterium prüft den Vorzeichenwechsel: Wechselt f′(x)f'(x) von + nach -, hast du einen Hochpunkt. Wechselt sie von - nach +, ist es ein Tiefpunkt.

Alternativ nutzt du die zweite Ableitung: f′′(x)>0f''(x) > 0 bedeutet Tiefpunkt, f′′(x)<0f''(x) < 0 bedeutet Hochpunkt. Bei f′′(x)=0f''(x) = 0 hast du keinen Extrempunkt, sondern möglicherweise einen Sattelpunkt.

Die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Punkten berechnest du mit m=f(x2)−f(x1)x2−x1m = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} - das ist die Steigung der Sekante.

📊 Merksatz: Extremstelle = x-Wert, Extrempunkt = (x|y)-Wert!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

DIE QUIZZES UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT NUR SCHLAUER!! HAT MIR SOGAR BEI MEINEN MASCARA PROBLEMEN GEHOLFEN!! GENAUSO WIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! OFFENSICHTLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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