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Mathematik

Ableitungen und Anwendungen

Ableitung

568

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10. Feb. 2026

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6 Seiten

Differenzialrechnung verständlich erklärt 📊

A

alina

@studymudy

Nullstellen, Ableitungen und Extrempunkte sind die wichtigsten Werkzeuge der Analysis... Mehr anzeigen

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ableitungsregeen Konstante: f(x) = c f(x) = 10 f'(x) = 0 "Nur" X : f(x)=x fix) = 1 not Potenzregel: fox) = x^ f(x) = n ·x"²" f(x) = x¹0 fix)

Substitution - Der clevere Trick

Die Substitution ist dein Rettungsanker bei biquadratischen Gleichungen Funktionen mit $x^4$ und $x^2$, aber ohne $x^3$ und $x$. Du ersetzt einfach x2x^2 durch zz und machst aus einer komplizierten Gleichung eine einfache quadratische.

Nehmen wir f(x)=x4−6x2+8f(x) = x^4 - 6x^2 + 8: Du setzt x2=zx^2 = z und erhältst z2−6z+8=0z^2 - 6z + 8 = 0. Das löst du mit der pq-Formel und bekommst z1=4z_1 = 4 und z2=2z_2 = 2.

Jetzt kommt der wichtige Teil: Rücksubstitution! Aus z1=4z_1 = 4 wird x2=4x^2 = 4, also x1=2x_1 = 2 und x2=−2x_2 = -2. Aus z2=2z_2 = 2 wird x2=2x^2 = 2, also x3=2x_3 = \sqrt{2} und x4=−2x_4 = -\sqrt{2}.

⚠️ Wichtig: Vergiss nie die Rücksubstitution - sonst hast du zwar z-Werte, aber keine Nullstellen!

ableitungsregeen Konstante: f(x) = c f(x) = 10 f'(x) = 0 "Nur" X : f(x)=x fix) = 1 not Potenzregel: fox) = x^ f(x) = n ·x"²" f(x) = x¹0 fix)

Ableitungsfunktionen verstehen

Die erste Ableitungsfunktion f′(x)f'(x) gibt die Steigung der ursprünglichen Funktion an jeder Stelle an. Sie entsteht bei Polynomen durch die Potenzregel: Der Exponent wird zum Faktor, dann ziehst du 1 vom Exponenten ab.

Wichtige Zusammenhänge: Die Ableitung eines Polynoms 3. Grades ist eine Parabel. Die Ableitung einer quadratischen Funktion ist eine Gerade. Diese Muster helfen dir beim Verstehen der Graphen.

Extrempunkte der ursprünglichen Funktion werden zu Nullstellen der ersten Ableitung. Wendepunkte der ursprünglichen Funktion entsprechen Extrempunkten der ersten Ableitung und Nullstellen der zweiten Ableitung.

Die zweite Ableitung f′′(x)f''(x) beschreibt die Krümmung: f′′(x)>0f''(x) > 0 bedeutet Linkskrümmung (Tiefpunkt), f′′(x)<0f''(x) < 0 bedeutet Rechtskrümmung (Hochpunkt).

🔄 Verbindung: Jede Ableitung erzählt eine andere Geschichte über deine Funktion!

ableitungsregeen Konstante: f(x) = c f(x) = 10 f'(x) = 0 "Nur" X : f(x)=x fix) = 1 not Potenzregel: fox) = x^ f(x) = n ·x"²" f(x) = x¹0 fix)

Ableitungsregeln - Die Grundausstattung

Ableiten bedeutet die Steigung einer Funktion zu berechnen. Die Ableitungsregeln sind dabei deine Grundausstattung - einmal gelernt, funktionieren sie immer nach dem gleichen Muster.

Die Potenzregel ist der Star: f(x)=xnf(x) = x^n wird zu f′(x)=n⋅xn−1f'(x) = n \cdot x^{n-1}. Konstanten fallen weg, bei xx bleibt nur 1 übrig. Die Faktorregel besagt: Zahlen vor dem xx bleiben einfach stehen.

Bei Produkten wie (3x2+4)(x−3)(3x^2 + 4)(x - 3) brauchst du die Produktregel: f′(x)=g′(x)⋅h(x)+g(x)⋅h′(x)f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x). Bei Brüchen hilft die Quotientenregel: f′(x)=g′(x)⋅h(x)−g(x)⋅h′(x)(h(x))2f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2}.

Die Kettenregel für verschachtelte Funktionen lautet: innere mal äußere Ableitung. Bei (x2+2x−1)3(x^2 + 2x - 1)^3 leitest du erst die Klammer ab, dann die Potenz.

🎯 Tipp: Übe die Grundregeln, bis sie automatisch funktionieren - dann werden auch komplexe Aufgaben einfach!

ableitungsregeen Konstante: f(x) = c f(x) = 10 f'(x) = 0 "Nur" X : f(x)=x fix) = 1 not Potenzregel: fox) = x^ f(x) = n ·x"²" f(x) = x¹0 fix)

Nullstellen finden - Der große Überblick

Nullstellen berechnen ist wie ein Werkzeugkosten - für jeden Funktionstyp gibt es das passende Tool. Bei linearen Funktionen $f(x) = ax + b$ setzt du einfach null und löst nach x auf.

Wird's komplizierter, kommen mehr Strategien ins Spiel. Bei quadratischen Funktionen $ax^2 + bx + c$ verwendest du die Lösungsformel pq−Formelpq-Formel. Steht die Funktion schon in Faktoren da, nutzt du den Satz vom Nullprodukt - ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist.

Bei höheren Potenzen wird Ausklammern dein bester Freund. Funktionen wie ax3+bx2ax^3 + bx^2 kannst du oft vereinfachen, indem du gemeinsame Faktoren vor die Klammer ziehst. Für richtig knifflige Fälle gibt's noch die Polynomdivision.

💡 Merkhilfe: Schau immer zuerst, ob du ausklammern kannst - das spart oft viel Rechenarbeit!

ableitungsregeen Konstante: f(x) = c f(x) = 10 f'(x) = 0 "Nur" X : f(x)=x fix) = 1 not Potenzregel: fox) = x^ f(x) = n ·x"²" f(x) = x¹0 fix)

Wendepunkte und Sattelpunkte

Wendepunkte sind Stellen, wo die Krümmung der Funktion wechselt - von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve oder umgekehrt. Das notwendige Kriterium ist f′′(x)=0f''(x) = 0, das hinreichende prüft den Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung.

Bei einem Vorzeichenwechsel von - nach + hast du eine Links-Rechts-Wendestelle, von + nach - eine Rechts-Links-Wendestelle. Wendepunkte haben oft die größte Steigung zwischen zwei Extrema.

Sattelpunkte sind spezielle Wendepunkte mit waagerechter Tangente. Das erkennst du daran, dass sowohl f′(x0)=0f'(x_0) = 0 als auch f′′(x0)=0f''(x_0) = 0 gilt. Die Funktion hat dort einen Wendepunkt, aber die Steigung ist null.

Zur Berechnung: Löse f′′(x)=0f''(x) = 0 für den x-Wert, prüfe den Vorzeichenwechsel und setze den x-Wert in f(x)f(x) ein für den y-Wert.

🎢 Anschauung: Wendepunkte sind wie der Übergang von einer Bergfahrt zur Talfahrt auf der Achterbahn!

ableitungsregeen Konstante: f(x) = c f(x) = 10 f'(x) = 0 "Nur" X : f(x)=x fix) = 1 not Potenzregel: fox) = x^ f(x) = n ·x"²" f(x) = x¹0 fix)

Steigungen und Extrempunkte bestimmen

Die erste Ableitung gibt dir die momentane Steigung an jeder Stelle. Für Extrempunkte Hoch−undTiefpunkteHoch- und Tiefpunkte suchst du Stellen, wo die Steigung null ist: f′(x)=0f'(x) = 0.

Das notwendige Kriterium ist f′(x)=0f'(x) = 0. Das hinreichende Kriterium prüft den Vorzeichenwechsel: Wechselt f′(x)f'(x) von + nach -, hast du einen Hochpunkt. Wechselt sie von - nach +, ist es ein Tiefpunkt.

Alternativ nutzt du die zweite Ableitung: f′′(x)>0f''(x) > 0 bedeutet Tiefpunkt, f′′(x)<0f''(x) < 0 bedeutet Hochpunkt. Bei f′′(x)=0f''(x) = 0 hast du keinen Extrempunkt, sondern möglicherweise einen Sattelpunkt.

Die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Punkten berechnest du mit m=f(x2)−f(x1)x2−x1m = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} - das ist die Steigung der Sekante.

📊 Merksatz: Extremstelle = x-Wert, Extrempunkt = (x|y)-Wert!



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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

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Greenlight Bonnie

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Elisha

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Paul T

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alina

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Nullstellen, Ableitungen und Extrempunkte sind die wichtigsten Werkzeuge der Analysis - und eigentlich gar nicht so kompliziert, wie sie am Anfang wirken! Mit den richtigen Strategien und etwas Übung wirst du schnell merken, dass hinter den ganzen Formeln ein logisches... Mehr anzeigen

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Substitution - Der clevere Trick

Die Substitution ist dein Rettungsanker bei biquadratischen Gleichungen Funktionen mit $x^4$ und $x^2$, aber ohne $x^3$ und $x$. Du ersetzt einfach x2x^2 durch zz und machst aus einer komplizierten Gleichung eine einfache quadratische.

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Ableitungsregeln - Die Grundausstattung

Ableiten bedeutet die Steigung einer Funktion zu berechnen. Die Ableitungsregeln sind dabei deine Grundausstattung - einmal gelernt, funktionieren sie immer nach dem gleichen Muster.

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Bei höheren Potenzen wird Ausklammern dein bester Freund. Funktionen wie ax3+bx2ax^3 + bx^2 kannst du oft vereinfachen, indem du gemeinsame Faktoren vor die Klammer ziehst. Für richtig knifflige Fälle gibt's noch die Polynomdivision.

💡 Merkhilfe: Schau immer zuerst, ob du ausklammern kannst - das spart oft viel Rechenarbeit!

ableitungsregeen Konstante: f(x) = c f(x) = 10 f'(x) = 0 "Nur" X : f(x)=x fix) = 1 not Potenzregel: fox) = x^ f(x) = n ·x"²" f(x) = x¹0 fix)

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Wendepunkte und Sattelpunkte

Wendepunkte sind Stellen, wo die Krümmung der Funktion wechselt - von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve oder umgekehrt. Das notwendige Kriterium ist f′′(x)=0f''(x) = 0, das hinreichende prüft den Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung.

Bei einem Vorzeichenwechsel von - nach + hast du eine Links-Rechts-Wendestelle, von + nach - eine Rechts-Links-Wendestelle. Wendepunkte haben oft die größte Steigung zwischen zwei Extrema.

Sattelpunkte sind spezielle Wendepunkte mit waagerechter Tangente. Das erkennst du daran, dass sowohl f′(x0)=0f'(x_0) = 0 als auch f′′(x0)=0f''(x_0) = 0 gilt. Die Funktion hat dort einen Wendepunkt, aber die Steigung ist null.

Zur Berechnung: Löse f′′(x)=0f''(x) = 0 für den x-Wert, prüfe den Vorzeichenwechsel und setze den x-Wert in f(x)f(x) ein für den y-Wert.

🎢 Anschauung: Wendepunkte sind wie der Übergang von einer Bergfahrt zur Talfahrt auf der Achterbahn!

ableitungsregeen Konstante: f(x) = c f(x) = 10 f'(x) = 0 "Nur" X : f(x)=x fix) = 1 not Potenzregel: fox) = x^ f(x) = n ·x"²" f(x) = x¹0 fix)

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Steigungen und Extrempunkte bestimmen

Die erste Ableitung gibt dir die momentane Steigung an jeder Stelle. Für Extrempunkte Hoch−undTiefpunkteHoch- und Tiefpunkte suchst du Stellen, wo die Steigung null ist: f′(x)=0f'(x) = 0.

Das notwendige Kriterium ist f′(x)=0f'(x) = 0. Das hinreichende Kriterium prüft den Vorzeichenwechsel: Wechselt f′(x)f'(x) von + nach -, hast du einen Hochpunkt. Wechselt sie von - nach +, ist es ein Tiefpunkt.

Alternativ nutzt du die zweite Ableitung: f′′(x)>0f''(x) > 0 bedeutet Tiefpunkt, f′′(x)<0f''(x) < 0 bedeutet Hochpunkt. Bei f′′(x)=0f''(x) = 0 hast du keinen Extrempunkt, sondern möglicherweise einen Sattelpunkt.

Die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Punkten berechnest du mit m=f(x2)−f(x1)x2−x1m = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} - das ist die Steigung der Sekante.

📊 Merksatz: Extremstelle = x-Wert, Extrempunkt = (x|y)-Wert!

Wir dachten schon, du fragst nie...

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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