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Das bestimmte Integral verständlich erklärt

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✨Emilias Lernzettel✨

3.12.2025

Mathe

bestimmtes Integral

Mathematik

Flächenberechnungsmethoden mit Integralen

Bestimmtes Integral

2.196

•

3. Dez. 2025

•

4 Seiten

Das bestimmte Integral verständlich erklärt

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✨Emilias Lernzettel✨

@emilix.xalernzettel

Das bestimmte Integral ist ein super wichtiges Werkzeug in der... Mehr anzeigen

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5.4 Das bestimmte Integral Merke-Definition Das bestimmte integral von f in den Grenzen a und b umfasst den Flächeninhalt nach der Streifen

Das bestimmte Integral - Grundlagen

Stell dir vor, du willst den exakten Flächeninhalt zwischen einer Kurve und der x-Achse messen. Genau dafür brauchst du das bestimmte Integral! Es wird geschrieben als ∫abf(x)dx\int_a^b f(x) dx, wobei a die untere und b die obere Grenze ist.

Der wichtigste Unterschied zum unbestimmten Integral: Während das unbestimmte Integral eine Flächeninhaltsfunktion ist, gibt dir das bestimmte Integral einen konkreten Zahlenwert für ein bestimmtes Intervall a,ba,b.

Das bestimmte Integral bildet eine Flächenbilanz. Das bedeutet: Flächen oberhalb der x-Achse zählen positiv, Flächen unterhalb negativ. Deshalb kann das Ergebnis auch null sein, wenn sich positive und negative Flächen ausgleichen!

Merktipp: Das bestimmte Integral ist wie ein Kassensturz für Flächen - positive und negative Bereiche werden verrechnet.

5.4 Das bestimmte Integral Merke-Definition Das bestimmte integral von f in den Grenzen a und b umfasst den Flächeninhalt nach der Streifen

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Hier kommt der absolute Gamechanger: Der Hauptsatz macht die Berechnung bestimmter Integrale super einfach! Die Formel lautet: ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), wobei F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist.

Das funktioniert so: Du bildest zuerst die Stammfunktion F(x), dann setzt du die obere Grenze ein, ziehst das Ergebnis der unteren Grenze ab - fertig! Beispiel: ∫12(12x3−x+1)dx=[18x4−12x2+x]12=F(2)−F(1)=118\int_1^2 (\frac{1}{2}x^3 - x + 1) dx = [\frac{1}{8}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + x]_1^2 = F(2) - F(1) = \frac{11}{8}

Bei negativen Funktionen wird das Integral negativ. Willst du den tatsächlichen Flächeninhalt, musst du den Betrag nehmen: A=∣∫abf(x)dx∣A = |\int_a^b f(x) dx|

Praxis-Tipp: Die eckigen Klammern mit den Grenzen sind nur Schreibweise - rechne immer F(obere Grenze) minus F(untere Grenze).

5.4 Das bestimmte Integral Merke-Definition Das bestimmte integral von f in den Grenzen a und b umfasst den Flächeninhalt nach der Streifen

Vorzeichenwechsel und Einzelflächen

Wenn eine Funktion die x-Achse kreuzt, wird's spannend! Das bestimmte Integral über das ganze Intervall kann null ergeben, obwohl definitiv Fläche vorhanden ist. Das passiert, wenn sich positive und negative Bereiche aufheben.

Um die tatsächlichen Flächeninhalte zu finden, musst du die Einzelflächen getrennt berechnen. Die Nullstellen der Funktion werden dabei zu deinen neuen Integralgrenzen! Dann rechnest du jedes Teilintegral einzeln aus.

Beispiel: Bei ∫02(x3−3x2+2)dx=0\int_0^2 (x^3 - 3x^2 + 2) dx = 0 heben sich die Flächen auf. Teilst du aber bei der Nullstelle x=1, bekommst du zwei Einzelflächen von je 54\frac{5}{4} FE.

Am Ende addierst du alle Beträge der Einzelflächen: Agesamt=∣A1∣+∣A2∣+...A_{gesamt} = |A_1| + |A_2| + ...

Wichtig: Bei Vorzeichenwechseln nie das Gesamtintegral für den Flächeninhalt nehmen - immer die Einzelflächen berechnen!

5.4 Das bestimmte Integral Merke-Definition Das bestimmte integral von f in den Grenzen a und b umfasst den Flächeninhalt nach der Streifen

Das Differential dx und Rechenregeln

Das Differential dx zeigt dir, nach welcher Variable integriert wird. Bei ∫(6xt2)dx\int (6xt^2) dx integrierst du nach x (t ist konstant), bei ∫(6xt2)dt\int (6xt^2) dt nach t (x ist konstant). Das Ergebnis ist komplett unterschiedlich!

Die wichtigsten Rechenregeln machen dein Leben leichter:

  • ∫aaf(x)dx=0\int_a^a f(x) dx = 0 gleicheGrenzen=nullgleiche Grenzen = null
  • ∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx Grenzenvertauscht=VorzeichenwechseltGrenzen vertauscht = Vorzeichen wechselt
  • ∫abk⋅f(x)dx=k⋅∫abf(x)dx\int_a^b k \cdot f(x) dx = k \cdot \int_a^b f(x) dx (Konstante vor das Integral)

Du kannst Integrale auch aufteilen: ∫acf(x)dx=∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx\int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx und Funktionen getrennt integrieren: ∫ab[f(x)+g(x)]dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx\int_a^b [f(x) + g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx

Rechentrick: Nutze die Regeln geschickt - manchmal ist es einfacher, komplizierte Integrale aufzuteilen!



Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Flächenberechnungsmethoden mit Integralen

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Das bestimmte Integral ist ein super wichtiges Werkzeug in der Analysis, mit dem du konkrete Flächeninhalte zwischen Funktionsgraphen und der x-Achse berechnen kannst. Es funktioniert wie eine "Flächenbilanz" und ist eng mit dem unbestimmten Integral verwandt.

5.4 Das bestimmte Integral Merke-Definition Das bestimmte integral von f in den Grenzen a und b umfasst den Flächeninhalt nach der Streifen

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Das bestimmte Integral - Grundlagen

Stell dir vor, du willst den exakten Flächeninhalt zwischen einer Kurve und der x-Achse messen. Genau dafür brauchst du das bestimmte Integral! Es wird geschrieben als ∫abf(x)dx\int_a^b f(x) dx, wobei a die untere und b die obere Grenze ist.

Der wichtigste Unterschied zum unbestimmten Integral: Während das unbestimmte Integral eine Flächeninhaltsfunktion ist, gibt dir das bestimmte Integral einen konkreten Zahlenwert für ein bestimmtes Intervall a,ba,b.

Das bestimmte Integral bildet eine Flächenbilanz. Das bedeutet: Flächen oberhalb der x-Achse zählen positiv, Flächen unterhalb negativ. Deshalb kann das Ergebnis auch null sein, wenn sich positive und negative Flächen ausgleichen!

Merktipp: Das bestimmte Integral ist wie ein Kassensturz für Flächen - positive und negative Bereiche werden verrechnet.

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Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Hier kommt der absolute Gamechanger: Der Hauptsatz macht die Berechnung bestimmter Integrale super einfach! Die Formel lautet: ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), wobei F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist.

Das funktioniert so: Du bildest zuerst die Stammfunktion F(x), dann setzt du die obere Grenze ein, ziehst das Ergebnis der unteren Grenze ab - fertig! Beispiel: ∫12(12x3−x+1)dx=[18x4−12x2+x]12=F(2)−F(1)=118\int_1^2 (\frac{1}{2}x^3 - x + 1) dx = [\frac{1}{8}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + x]_1^2 = F(2) - F(1) = \frac{11}{8}

Bei negativen Funktionen wird das Integral negativ. Willst du den tatsächlichen Flächeninhalt, musst du den Betrag nehmen: A=∣∫abf(x)dx∣A = |\int_a^b f(x) dx|

Praxis-Tipp: Die eckigen Klammern mit den Grenzen sind nur Schreibweise - rechne immer F(obere Grenze) minus F(untere Grenze).

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Vorzeichenwechsel und Einzelflächen

Wenn eine Funktion die x-Achse kreuzt, wird's spannend! Das bestimmte Integral über das ganze Intervall kann null ergeben, obwohl definitiv Fläche vorhanden ist. Das passiert, wenn sich positive und negative Bereiche aufheben.

Um die tatsächlichen Flächeninhalte zu finden, musst du die Einzelflächen getrennt berechnen. Die Nullstellen der Funktion werden dabei zu deinen neuen Integralgrenzen! Dann rechnest du jedes Teilintegral einzeln aus.

Beispiel: Bei ∫02(x3−3x2+2)dx=0\int_0^2 (x^3 - 3x^2 + 2) dx = 0 heben sich die Flächen auf. Teilst du aber bei der Nullstelle x=1, bekommst du zwei Einzelflächen von je 54\frac{5}{4} FE.

Am Ende addierst du alle Beträge der Einzelflächen: Agesamt=∣A1∣+∣A2∣+...A_{gesamt} = |A_1| + |A_2| + ...

Wichtig: Bei Vorzeichenwechseln nie das Gesamtintegral für den Flächeninhalt nehmen - immer die Einzelflächen berechnen!

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Das Differential dx und Rechenregeln

Das Differential dx zeigt dir, nach welcher Variable integriert wird. Bei ∫(6xt2)dx\int (6xt^2) dx integrierst du nach x (t ist konstant), bei ∫(6xt2)dt\int (6xt^2) dt nach t (x ist konstant). Das Ergebnis ist komplett unterschiedlich!

Die wichtigsten Rechenregeln machen dein Leben leichter:

  • ∫aaf(x)dx=0\int_a^a f(x) dx = 0 gleicheGrenzen=nullgleiche Grenzen = null
  • ∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx Grenzenvertauscht=VorzeichenwechseltGrenzen vertauscht = Vorzeichen wechselt
  • ∫abk⋅f(x)dx=k⋅∫abf(x)dx\int_a^b k \cdot f(x) dx = k \cdot \int_a^b f(x) dx (Konstante vor das Integral)

Du kannst Integrale auch aufteilen: ∫acf(x)dx=∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx\int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx und Funktionen getrennt integrieren: ∫ab[f(x)+g(x)]dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx\int_a^b [f(x) + g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx

Rechentrick: Nutze die Regeln geschickt - manchmal ist es einfacher, komplizierte Integrale aufzuteilen!

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Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

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