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IamWunderland
24.11.2025
Mathe
LK Klausur:Integrale(Rotationskörper/Funktionsscharen)
3.589
•
24. Nov. 2025
•
IamWunderland
@die6zwerge
In dieser Klausur geht's um die wichtigsten Anwendungen der Integralrechnung... Mehr anzeigen
Das Schwimmbad-Beispiel zeigt perfekt, wie Integrale echte Probleme lösen. Die Funktion f(t) gibt an, wie sich die Besucherzahl pro Stunde ändert. Das Maximum liegt bei t=1,2 (also 9:12 Uhr), weil dort die Steigung am größten ist.
Die meisten Besucher sind um 11:00 Uhr im Bad, denn ab da wird f(t) negativ - es kommen also weniger rein als rausgehen. Flächenvergleich unter der Kurve zeigt: Die positive Fläche ist größer als die negative .
Bei Flächenberechnungen zwischen Kurven wie f(x) = x² + 4 und g(x) = x + 2 findest du zuerst die Schnittpunkte durch Gleichsetzen. Dann integrierst du |f(x) - g(x)| zwischen den Grenzen.
💡 Praxistipp: Bei Anwendungsaufgaben immer überlegen, was das Integral physikalisch bedeutet - das hilft beim Verstehen!
Stammfunktionen zu finden ist eigentlich nicht so schwer, wenn du die Grundregeln kennst. Bei Funktionen wie f(x) = 2x³ - 4x² + 5 + sin(x) gehst du einfach Term für Term vor und wendest die Potenzregel an.
Bestimmte Integrale berechnest du mit dem Hauptsatz: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a). Das Coole dabei ist, dass negative Ergebnisse völlig normal sind - sie zeigen nur, dass die Fläche unterhalb der x-Achse liegt.
Bei uneigentlichen Integralen wie ∫₂^∞ 16/x³ dx musst du mit Grenzwerten arbeiten. Hier konvergiert das Integral gegen 2, weil x⁻³ schnell genug gegen null geht.
💡 Merktipp: Bei Stammfunktionen immer die Ableitung zur Kontrolle machen - dann siehst du sofort, ob's stimmt!
Beim Tunnelprojekt berechnest du die Querschnittsfläche als Differenz zweier Parabeln. Die äußere hat f(x) = -¾x² + 3, die innere g(x) = -9/10x² + 2,5. Die Betonmenge ergibt sich aus Querschnitt mal Tunnellänge.
Rotationskörper entstehen, wenn Flächen um die x-Achse rotieren. Das Volumen berechnest du mit V = π·∫ₐᵇ ² dx. Bei zusammengesetzten Körpern ziehst du das Innenvolumen vom Außenvolumen ab.
Die Solaranlagen-Aufgabe kombiniert verschiedene Konzepte: Durchschnittsberechnung über Integrale, Extremwertbestimmung durch Ableitung und praktische Energieberechnungen über mehrere Monate.
💡 Visualisierungstipp: Bei Rotationskörpern stell dir vor, wie die Fläche um die Achse "gedreht" wird - das macht die Formel verständlicher!
Die Lösungsstrategien zeigen dir typische Herangehensweisen. Bei Stammfunktionen mit Zusatzbedingungen wie F(1) = 2 bestimmst du zuerst die allgemeine Form, dann die Konstante durch Einsetzen.
Quadratische Gleichungen beim Integralgrenzen finden löst du mit der pq-Formel: x₁/₂ = -0,5 ± √(0,25 + 2). Die Punkte x₁ = -2 und x₂ = 1 sind dann deine Integrationsgrenzen.
Bei der Flächenberechnung zwischen Kurven ist wichtig: Du integrierst immer die obere minus die untere Funktion. Das Ergebnis 4,5 FE zeigt, dass du richtig gerechnet hast.
💡 Kontrolltipp: Skizzier dir die Funktionen - dann siehst du sofort, welche oben liegt und ob dein Ergebnis plausibel ist!
Funktionenscharen wie fₖ(x) = x² + kx - k haben für jeden k-Wert andere Eigenschaften. Das globale Minimum findest du durch Ableitung: f'ₖ(x) = 2x + k, also liegt es bei x = -k/2.
Der Berührpunkt mit der x-Achse tritt auf, wenn das Minimum den y-Wert null hat. Das führt zu -¼k² - k = 0, also k = 0 oder k = -4.
Gemeinsame Punkte aller Graphen findest du durch Gleichsetzen: Wenn fₐ(x) = fᵦ(x) für alle a,b gilt, dann muss x = 1 sein. Der Punkt S(1|1) liegt auf allen Parabeln der Schar.
💡 Verstehenstipp: Bei Funktionenscharen überleg dir, wie sich der Graph verändert, wenn k wächst - das macht die Zusammenhänge klarer!
Die Solaranlagen-Berechnung kombiniert mehrere Konzepte geschickt. Der durchschnittliche Leistungsbedarf ergibt sich aus 1/12 · ∫₀¹² g(t)dt = 1022,8 kWh/Monat.
Extremwertaufgaben löst du über die zweite Ableitung: g''(t) = -12t² + 156t - 335. Die Nullstellen zeigen, wann der Leistungsbedarf am stärksten abnimmt (bei t ≈ 2,7 Monate).
Die Energiebilanz für den Pool berechnest du als ∫₃^9,5 dt ≈ 6037 kWh. Das zeigt, wie viel überschüssige Solarenergie verfügbar ist.
💡 Realitätscheck: Solche Energieberechnungen sind superrelevant für Nachhaltigkeit - Mathe meets Klimaschutz!
Funktionenscharen systematisch zu analysieren ist eine Kernkompetenz. Bei fₖ(x) = x² + kx - k findest du das Minimum durch f'ₖ(x) = 2x + k = 0, also bei x = -k/2.
Der Berührungsnachweis erfolgt über die Bedingung, dass das Minimum auf der x-Achse liegt: -¼k² - k = 0 führt zu k = 0 oder k = -4.
Beweise mit dem Hauptsatz zeigen die Grundstruktur der Integralrechnung: ∫ₐᶜ f(x)dx = ∫ₐᵇ f(x)dx + ∫ᵇᶜ f(x)dx folgt direkt aus F(c) - F(a) = + .
💡 Beweisstrategie: Geh vom bekannten Hauptsatz aus und forme schrittweise um - das macht Beweise nachvollziehbar!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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IamWunderland
@die6zwerge
In dieser Klausur geht's um die wichtigsten Anwendungen der Integralrechnung - von der Flächenberechnung bis hin zu realen Problemen wie Solaranlagen und Tunnelbau. Du lernst, wie Integrale praktisch eingesetzt werden und wie du komplexere Aufgaben systematisch löst.
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Bei Flächenberechnungen zwischen Kurven wie f(x) = x² + 4 und g(x) = x + 2 findest du zuerst die Schnittpunkte durch Gleichsetzen. Dann integrierst du |f(x) - g(x)| zwischen den Grenzen.
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Bestimmte Integrale berechnest du mit dem Hauptsatz: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a). Das Coole dabei ist, dass negative Ergebnisse völlig normal sind - sie zeigen nur, dass die Fläche unterhalb der x-Achse liegt.
Bei uneigentlichen Integralen wie ∫₂^∞ 16/x³ dx musst du mit Grenzwerten arbeiten. Hier konvergiert das Integral gegen 2, weil x⁻³ schnell genug gegen null geht.
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Beim Tunnelprojekt berechnest du die Querschnittsfläche als Differenz zweier Parabeln. Die äußere hat f(x) = -¾x² + 3, die innere g(x) = -9/10x² + 2,5. Die Betonmenge ergibt sich aus Querschnitt mal Tunnellänge.
Rotationskörper entstehen, wenn Flächen um die x-Achse rotieren. Das Volumen berechnest du mit V = π·∫ₐᵇ ² dx. Bei zusammengesetzten Körpern ziehst du das Innenvolumen vom Außenvolumen ab.
Die Solaranlagen-Aufgabe kombiniert verschiedene Konzepte: Durchschnittsberechnung über Integrale, Extremwertbestimmung durch Ableitung und praktische Energieberechnungen über mehrere Monate.
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Bei der Flächenberechnung zwischen Kurven ist wichtig: Du integrierst immer die obere minus die untere Funktion. Das Ergebnis 4,5 FE zeigt, dass du richtig gerechnet hast.
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Gemeinsame Punkte aller Graphen findest du durch Gleichsetzen: Wenn fₐ(x) = fᵦ(x) für alle a,b gilt, dann muss x = 1 sein. Der Punkt S(1|1) liegt auf allen Parabeln der Schar.
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Beweise mit dem Hauptsatz zeigen die Grundstruktur der Integralrechnung: ∫ₐᶜ f(x)dx = ∫ₐᵇ f(x)dx + ∫ᵇᶜ f(x)dx folgt direkt aus F(c) - F(a) = + .
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Erforschen Sie die Konzepte des bestimmten Integrals, einschließlich der Eigenschaften, der Anwendung auf positive und negative Funktionen sowie der Flächenbilanz bei Vorzeichenwechsel. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Erklärung der Rechenregeln und des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.
MatheEntdecken Sie die grundlegenden Konzepte der Stochastik, einschließlich Zufallsexperimente, Wahrscheinlichkeitsberechnung, Baumdiagramme, Pfadregeln, kombinatorische Abzählverfahren und bedingte Wahrscheinlichkeiten. Ideal für Studierende, die ein solides Verständnis der Stochastik entwickeln möchten.
MatheDiese Zusammenfassung bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung, einschließlich der Herleitung des Integrals, der Leibniz-Schreibweise und des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung. Erfahren Sie, wie man den Flächeninhalt unter krummlinigen Funktionen berechnet und die Bedeutung der Konstante c in der Integration versteht. Ideal für Studierende der Mathematik und Naturwissenschaften.
MatheErfahre alles über bestimmte und unbestimmte Integrale, die Bildung von Stammfunktionen und deren Anwendung in der Integralrechnung. Diese Zusammenfassung behandelt die Grundlagen der Integration, den Hauptsatz der Integralrechnung und wichtige Regeln wie die Summen- und Faktorregel. Ideal für Studierende der Mathematik und Naturwissenschaften.
MatheDieser Lernzettel behandelt die Berechnung uneigentlicher Integrale in der Integralrechnung. Er erklärt die Schritte zur Bestimmung der Stammfunktion, den Umgang mit variablen Grenzen und die Bestimmung von Grenzwerten. Ideal für Studierende der Mathematik, die ein tieferes Verständnis für unendliche Flächeninhalte und deren Berechnung entwickeln möchten.
MatheVertiefte Konzepte zu Rotationskörpern, uneigentlichen Integralen, Ketten- und Produktregel sowie Ableitungen von e-Funktionen und Logarithmen. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über die wichtigsten Themen der Differential- und Integralrechnung, ideal für die Vorbereitung auf die Klausur.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Sudenaz Ocak
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Julia S
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