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Mathe

Funktionen und analysis

Ableitungsregeln

Quotientenregel

Mathe

26. Nov. 2025

1.035

3 Seiten

Einführung in die Differentialrechnung

Charlotte @lottilindlau

Die Differentialrechnung ist ein mega wichtiger Teil der Analysis, der dir hilft, Veränderungen und Verhalten von Funktionen zu... Mehr anzeigen

$# MATHE LERNZETTEL Differentialrechnung: Differenz quotient: (mittlere Änderungsrate) AX = X2-X4 Ay = yz - Ya m=$\frac{\Delta y}{\Delta$

Grundlagen der Differentialrechnung

Differenzenquotient und Differentialquotient sind die Basis für alles Weitere. Der Differenzenquotient gibt dir die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Punkten an m = Δy/Δx. Das ist einfach die Steigung der Geraden zwischen den Punkten.

Der Differentialquotient geht einen Schritt weiter - hier lässt du die beiden Punkte immer näher zusammenrücken. Mit der h-Methode berechnest du lim $f(x+h)-f(x)$ /h für h→0. Das ergibt die erste Ableitung f'(x).

Die Ableitungsregeln sind dein Werkzeug Konstante Faktoren bleiben bestehen, Summen werden einzeln abgeleitet, und für Potenzen gilt f(x)=xⁿ → f'(x)=n·xⁿ⁻¹. Diese Regeln machst du im Schlaf!

Merktipp Die erste Ableitung zeigt die Steigung, die zweite Ableitung die Krümmung der ursprünglichen Funktion.

Bei Modellierungsaufgaben übersetzt du reale Probleme in mathematische Sprache, löst sie mathematisch und interpretierst das Ergebnis wieder für die Realität. Das ist besonders klausurrelevant!

$# MATHE LERNZETTEL Differentialrechnung: Differenz quotient: (mittlere Änderungsrate) AX = X2-X4 Ay = yz - Ya m=$\frac{\Delta y}{\Delta$

Anwendungen der Ableitung

Steigungsprobleme löst du ganz direkt Ableitung bilden, x-Wert einsetzen, fertig. Für Steigungswinkel verwendest du tan(α) = m, wobei m die Steigung ist.

Extrempunkte findest du systematisch Erst f'(x) = 0 setzen für die x-Werte, dann mit f''(x) prüfen. f''(x) > 0 bedeutet Tiefpunkt, f''(x) < 0 bedeutet Hochpunkt. Den y-Wert bekommst du durch Einsetzen in die ursprüngliche Funktion.

Wendepunkte versteckten sich in der zweiten Ableitung - dort wo f''(x) = 0 ist. Das sind die Stellen, wo die Krümmung wechselt.

Klausurtipp Bei Berührproblemen müssen sowohl die Funktionswerte als auch die Ableitungen an der Berührstelle gleich sein!

Für Schnittwinkél berechnest du erst die Schnittstelle $f(x) = g(x)$ , dann die Steigungen an dieser Stelle und schließlich den Winkel über tan⁻¹.

$# MATHE LERNZETTEL Differentialrechnung: Differenz quotient: (mittlere Änderungsrate) AX = X2-X4 Ay = yz - Ya m=$\frac{\Delta y}{\Delta$

Polynomdivision und Funktionsformen

Nullstellen bei Polynomen dritten Grades findest du durch intelligentes Raten der Teiler. Alle positiven und negativen Teiler von Absolutglied und Leitkoeffizient sind möglich. Nach dem Finden einer Nullstelle machst du eine Polynomdivision.

Die verschiedenen Funktionsformen haben jeweils ihre Vorteile Scheitelpunktform f(x) = a $x-d$ ² + e zeigt direkt den Scheitelpunkt (d|e). Linearform f(x) = a $x-x₁$ $x-x₂$ macht die Nullstellen x₁ und x₂ sofort sichtbar.

Grenzwerte berechnest du oft durch Ausklammern des höchsten Exponenten. Die Grenzwertsätze erlauben dir, Grenzwerte von Summen, Differenzen, Produkten und Quotienten einzeln zu berechnen.

Prüfungstrick Bei der Funktionsuntersuchung immer systematisch vorgehen - Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte, y-Achsenabschnitt!

Eine vollständige Funktionsuntersuchung umfasst alle charakteristischen Punkte und gibt dir das komplette Bild der Funktion für den Graphen.

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

Android user

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Lena M

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Timo S

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Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Julia S

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Marcus B

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Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Charlotte

@lottilindlau

Die Differentialrechnung ist ein mega wichtiger Teil der Analysis, der dir hilft, Veränderungen und Verhalten von Funktionen zu verstehen. Du lernst hier alles von den Grundlagen der Ableitungen bis hin zu komplexeren Anwendungen wie Extrempunkten und Modellierungsaufgaben.

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Differenzenquotient und Differentialquotient sind die Basis für alles Weitere. Der Differenzenquotient gibt dir die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Punkten an: m = Δy/Δx. Das ist einfach die Steigung der Geraden zwischen den Punkten.

Der Differentialquotient geht einen Schritt weiter - hier lässt du die beiden Punkte immer näher zusammenrücken. Mit der h-Methode berechnest du: lim $f(x+h)-f(x)$ /h für h→0. Das ergibt die erste Ableitung f'(x).

Die Ableitungsregeln sind dein Werkzeug: Konstante Faktoren bleiben bestehen, Summen werden einzeln abgeleitet, und für Potenzen gilt f(x)=xⁿ → f'(x)=n·xⁿ⁻¹. Diese Regeln machst du im Schlaf!

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Anwendungen der Ableitung

Steigungsprobleme löst du ganz direkt: Ableitung bilden, x-Wert einsetzen, fertig. Für Steigungswinkel verwendest du tan(α) = m, wobei m die Steigung ist.

Extrempunkte findest du systematisch: Erst f'(x) = 0 setzen für die x-Werte, dann mit f''(x) prüfen. f''(x) > 0 bedeutet Tiefpunkt, f''(x) < 0 bedeutet Hochpunkt. Den y-Wert bekommst du durch Einsetzen in die ursprüngliche Funktion.

Wendepunkte versteckten sich in der zweiten Ableitung - dort wo f''(x) = 0 ist. Das sind die Stellen, wo die Krümmung wechselt.

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Polynomdivision und Funktionsformen

Die verschiedenen Funktionsformen haben jeweils ihre Vorteile: Scheitelpunktform f(x) = a $x-d$ ² + e zeigt direkt den Scheitelpunkt (d|e). Linearform f(x) = a $x-x₁$ $x-x₂$ macht die Nullstellen x₁ und x₂ sofort sichtbar.

Grenzwerte berechnest du oft durch Ausklammern des höchsten Exponenten. Die Grenzwertsätze erlauben dir, Grenzwerte von Summen, Differenzen, Produkten und Quotienten einzeln zu berechnen.

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