Mathematik

Funktionsintervalle und Definitionsbereiche

Intervalle des Anstiegs/Abfalls

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•

3. Dez. 2025

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9 Seiten

Analysis Lernen: Vorbereitung für dein Mathe Abitur

Rebecca Konrad

@rebecca.knrd

Ableitungsregeln, Integrale und Kurvendiskussion sind die Kernthemen der Analysis, die... Mehr anzeigen

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Grundlagen MERKZETTEL
1. ABLEITUNGSREGELN
- Konstante
Potenzregel
Faktorregel
summenregel
Produktregel
Kettenregel
x1=0
f'(-5)=5
f(x) = c
f(

Ableitungsregeln - Dein Werkzeugkasten

Die Potenzregel ist dein wichtigster Freund: Bei $f(x) = x^n$ wird die Ableitung zu $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$ . Der Exponent wandert nach vorne, dann ziehst du 1 ab.

Die Kettenregel brauchst du bei verschachtelten Funktionen wie $(5-x)^2$ . Merke dir: äußere Ableitung mal innere Ableitung. Bei Faktoren vor dem x $wie bei $8(5-x)^2$$ nicht vergessen!

Tangenten findest du mit der Formel $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ . Für waagerechte Tangenten setzt du $f'(x) = 0$ und löst nach x auf.

Tipp: Bei der Monotonie-Untersuchung zeigt dir das Vorzeichen von $f'(x)$ , ob die Funktion steigt (+) oder fällt (-). Die zweite Ableitung $f''(x)$ verrät die Krümmung!

Extrempunkte und Wendepunkte finden

Extrempunkte findest du, indem du $f'(x) = 0$ setzt. Das sind deine Kandidaten. Mit $f''(x)$ checkst du dann: $f''(x) > 0$ bedeutet Tiefpunkt, $f''(x) < 0$ bedeutet Hochpunkt.

Bei Wendepunkten setzt du $f''(x) = 0$ . Hier ändert sich die Krümmungsrichtung der Kurve. Zur Kontrolle prüfst du mit $f'''(x) \neq 0$ , ob wirklich ein Wendepunkt vorliegt.

Das Beispiel $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3$ zeigt das Schema: Erst alle Ableitungen bilden, dann systematisch die Nullstellen der ersten und zweiten Ableitung finden.

Merkhilfe: Extrempunkte → erste Ableitung, Wendepunkte → zweite Ableitung. So verwechselst du nie wieder etwas!

Integrale - Rückwärts ableiten

Stammfunktionen findest du mit der umgekehrten Potenzregel: Aus $x^n$ wird $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ . Den Exponenten um 1 erhöhen und durch die neue Zahl teilen.

Bei der linearen Substitution wie $(2x-1)^5$ teilst du durch die innere Ableitung. Hier wäre das $\frac{1}{2}$ , weil die Ableitung von $2x-1$ gleich $2$ ist.

Flächeninhalte berechnest du mit dem orientierten Integral. Flächen oberhalb der x-Achse zählen positiv, unterhalb negativ. Das ist wichtig beim Rekonstruieren von Größen.

Praxis-Tipp: Bei Volumen-Aufgaben entspricht die Ableitung dem Zu- oder Abfluss, das Integral der Gesamtänderung!

Bestimmte Integrale berechnen

Das bestimmte Integral $\int_a^b f(x)dx$ gibt dir den orientierten Flächeninhalt zwischen den Grenzen a und b. Du berechnest es mit $[F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$ .

Die Rechenregeln sind praktisch: Konstanten kannst du vor das Integral ziehen, Summen kannst du aufteilen. Angrenzende Intervalle lassen sich zusammenfassen.

Bei Betragsfunktionen wie $|2x+1|$ musst du das Intervall an den Nullstellen aufteilen, weil sich das Vorzeichen ändert.

Trick: Zeichne dir bei komplizierteren Integralen die Funktion auf - so siehst du sofort, wo Flächen positiv oder negativ sind!

Von der Ableitung zur Stammfunktion

Der Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung ist dein Schlüssel: Nullstellen von $f'$ werden zu Extremstellen von $f$ . Vorzeichenwechsel von + nach - bedeutet Hochpunkt, von - nach + Tiefpunkt.

Monotonie erkennst du am Vorzeichen: $f'(x) > 0$ bedeutet die Funktion wächst, $f'(x) < 0$ bedeutet sie fällt. Die Krümmung zeigt $f''(x)$ : positiv = linksgekrümmt, negativ = rechtsgekrümmt.

Bei konkreten Stammfunktionen mit Anfangsbedingungen setzt du die gegebenen Werte ein, um die Konstante c zu bestimmen.

Verstehen statt auswendig lernen: Wenn $f'$ über der x-Achse liegt, wächst $f$ . So einfach ist das!

Der große Überblick - Funktionsanalyse

Die Verbindung zwischen f, f' und f'' ist systematisch: Jede Eigenschaft der einen Funktion entspricht einer bestimmten Eigenschaft der anderen.

Wendestellen von f sind Extremstellen von f'. Extremstellen von f sind Nullstellen von f'. Diese Beziehungen helfen dir beim graphischen Argumentieren.

Eine vollständige Funktionsanalyse umfasst: Definitionsbereich, Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte, Monotonie und Krümmung - in dieser Reihenfolge arbeitest du dich durch.

Erfolgsrezept: Einmal verstanden, kannst du aus jedem Graphen die Eigenschaften der anderen Funktionen ableiten!

Funktionen transformieren

Funktionsgleichungen der Form $g(x) = af(x-c) + d$ zeigen dir die Transformation: $a$ streckt in y-Richtung, $c$ verschiebt in x-Richtung, $d$ verschiebt in y-Richtung.

Bei trigonometrischen Funktionen wie $f(x) = a \cdot \sin(b(x-c)) + d$ bestimmt $|a|$ die Amplitude und $\frac{2\pi}{b}$ die Periode. Negative Werte spiegeln an der jeweiligen Achse.

Spiegelungen erkennst du an den Vorzeichen: $f(-x)$ spiegelt an der y-Achse, $-f(x)$ an der x-Achse, $-f(-x)$ am Ursprung.

Merkhilfe: Parameter vor dem x beeinflussen die x-Richtung, Parameter vor der ganzen Funktion die y-Richtung!

Sinus- und Kosinusfunktionen meistern

Die Standardfunktionen $\sin(x)$ und $\cos(x)$ haben Amplitude 1 und Periode $2\pi$ . Der Kosinus ist um $\frac{\pi}{2}$ nach links verschobener Sinus.

Bei transformierten Funktionen wie $f(x) = -1{,}5 \sin(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{4}) - 1$ arbeitest du die Parameter systematisch ab: Amplitude $1{,}5$ , Periode $4\pi$ , Verschiebungen beachten.

Der Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung gilt auch hier: Aus Nullstellen von $f'$ werden Extremstellen von $f$ , aus Extremstellen von $f'$ werden Wendestellen von $f$ .

Praxis-Tipp: Zeichne dir die Grundfunktionen auf und transformiere sie Schritt für Schritt - so behältst du den Überblick!

Sinusfunktion - Parameter im Detail

Die Parameter der Sinusfunktion $f(x) = a \cdot \sin(b(x-c)) + d$ haben klare Aufgaben: $a$ ändert die Amplitude, $b$ die Periode, $c$ verschiebt horizontal, $d$ vertikal.

Nullstellen der Grundfunktion $\sin(x)$ liegen bei $k\pi$ mit $k \in \mathbb{Z}$ . Bei transformierten Funktionen verschieben sich diese entsprechend der Parameter.

Wenn Parameter d groß genug wird, berührt die Funktion die x-Achse nicht mehr - dann gibt es keine Nullstellen. Das ist wichtig für Anwendungsaufgaben.

Erfolgs-Strategie: Beginne immer mit der Grundfunktion und arbeite die Transformationen systematisch durch!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Stefan S

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Samantha Klich

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Ableitungsregeln, Integrale und Kurvendiskussion sind die Kernthemen der Analysis, die du für dein Abitur beherrschst. Diese Zusammenfassung zeigt dir die wichtigsten Regeln und Strategien, mit denen du alle typischen Aufgaben lösen kannst.

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Ableitungsregeln - Dein Werkzeugkasten

Die Potenzregel ist dein wichtigster Freund: Bei $f(x) = x^n$ wird die Ableitung zu $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$ . Der Exponent wandert nach vorne, dann ziehst du 1 ab.

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Tipp: Bei der Monotonie-Untersuchung zeigt dir das Vorzeichen von $f'(x)$ , ob die Funktion steigt (+) oder fällt (-). Die zweite Ableitung $f''(x)$ verrät die Krümmung!

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Extrempunkte und Wendepunkte finden

Extrempunkte findest du, indem du $f'(x) = 0$ setzt. Das sind deine Kandidaten. Mit $f''(x)$ checkst du dann: $f''(x) > 0$ bedeutet Tiefpunkt, $f''(x) < 0$ bedeutet Hochpunkt.

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Integrale - Rückwärts ableiten

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Bestimmte Integrale berechnen

Das bestimmte Integral $\int_a^b f(x)dx$ gibt dir den orientierten Flächeninhalt zwischen den Grenzen a und b. Du berechnest es mit $[F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$ .

Die Rechenregeln sind praktisch: Konstanten kannst du vor das Integral ziehen, Summen kannst du aufteilen. Angrenzende Intervalle lassen sich zusammenfassen.

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Von der Ableitung zur Stammfunktion

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Der große Überblick - Funktionsanalyse

Die Verbindung zwischen f, f' und f'' ist systematisch: Jede Eigenschaft der einen Funktion entspricht einer bestimmten Eigenschaft der anderen.

Wendestellen von f sind Extremstellen von f'. Extremstellen von f sind Nullstellen von f'. Diese Beziehungen helfen dir beim graphischen Argumentieren.

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Funktionsgleichungen der Form $g(x) = af(x-c) + d$ zeigen dir die Transformation: $a$ streckt in y-Richtung, $c$ verschiebt in x-Richtung, $d$ verschiebt in y-Richtung.

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Sinus- und Kosinusfunktionen meistern

Die Standardfunktionen $\sin(x)$ und $\cos(x)$ haben Amplitude 1 und Periode $2\pi$ . Der Kosinus ist um $\frac{\pi}{2}$ nach links verschobener Sinus.

Bei transformierten Funktionen wie $f(x) = -1{,}5 \sin(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{4}) - 1$ arbeitest du die Parameter systematisch ab: Amplitude $1{,}5$ , Periode $4\pi$ , Verschiebungen beachten.

Der Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung gilt auch hier: Aus Nullstellen von $f'$ werden Extremstellen von $f$ , aus Extremstellen von $f'$ werden Wendestellen von $f$ .

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Sinusfunktion - Parameter im Detail

Die Parameter der Sinusfunktion $f(x) = a \cdot \sin(b(x-c)) + d$ haben klare Aufgaben: $a$ ändert die Amplitude, $b$ die Periode, $c$ verschiebt horizontal, $d$ vertikal.

Nullstellen der Grundfunktion $\sin(x)$ liegen bei $k\pi$ mit $k \in \mathbb{Z}$ . Bei transformierten Funktionen verschieben sich diese entsprechend der Parameter.

Wenn Parameter d groß genug wird, berührt die Funktion die x-Achse nicht mehr - dann gibt es keine Nullstellen. Das ist wichtig für Anwendungsaufgaben.

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