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Scheima
10.12.2025
Mathe
e-Funktionen und ln-Funktionen
2.222
•
10. Dez. 2025
•
Scheima
@scheimaelj
Die e-Funktion und der natürliche Logarithmus gehören zu den wichtigsten... Mehr anzeigen
Die natürliche Exponentialfunktion f(x) = e^x basiert auf der Eulerschen Zahl e = 2,718281... Sie ist eine besondere Funktion mit einzigartigen Eigenschaften. Ein einfaches Beispiel: f(0) = e^0 = 1.
Die e-Funktion ist immer positiv - sie nimmt nie den Wert 0 oder negative Werte an. Außerdem wächst sie schneller als jede Potenzfunktion wie x² oder x³. Das macht sie in vielen Anwendungsgebieten so wertvoll.
Zu den wichtigsten Eigenschaften gehören:
💡 Eine Besonderheit der e-Funktion: Sie ist ihre eigene Ableitung! Das ist einzigartig und macht sie für die Differential- und Integralrechnung besonders wichtig.
Die Umkehrfunktion der e-Funktion ist die ln-Funktion. Zudem gilt: e^x·e^y = e^ und jede beliebige Exponentialfunktion b^x lässt sich als e^(ln(b)·x) darstellen.
Durch Transformationen kannst du aus der Grundform f(x) = e^x verschiedene Varianten erzeugen. Mit einem Faktor wie in f(x) = 3·e^x wird die Funktion gestreckt - hier ist der y-Achsenabschnitt dann P(0|3) statt P(0|1).
Wenn du das Vorzeichen im Exponenten änderst, wie bei f(x) = e^, erhältst du eine an der y-Achse gespiegelte e-Funktion. Diese fällt dann statt zu steigen. Bei f(x) = 3·e^ kombinierst du Streckung und Spiegelung.
Durch Verschiebungen wie bei f(x) = 3e^x - 1 verschiebst du die gesamte Funktion - hier um 1 Einheit nach unten. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist dann P(0|2).
🔍 Bei e^(ax) mit a > 1 wird die Funktion gestaucht, während sie bei 0 < a < 1 gestreckt wird. Vergleiche z.B. f(x) = e^(2x) und f(x) = e^.
Eine Verschiebung in x-Richtung wie bei f(x) = e^ bewirkt, dass die Funktion nach links wandert. Generell gilt: Bei f(x) = e^ verschiebt sich die Funktion um c Einheiten nach links.
Die natürliche Logarithmusfunktion f(x) = ln(x) ist die Umkehrfunktion der e-Funktion. Sie hat den Definitionsbereich D = ℝ^+ (nur positive Zahlen) und den Wertebereich W = ℝ.
Die ln-Funktion hat wichtige Eigenschaften:
Die wichtigsten Logarithmengesetze sind:
🧩 Mit Hilfe des natürlichen Logarithmus kannst du Exponentialgleichungen lösen! Die Formel e^(ln x) = x für x > 0 und ln = x für alle x ∈ ℝ ist dafür der Schlüssel.
Bei Exponentialgleichungen wie a^x = b kannst du auf beiden Seiten den ln nehmen: x·ln(a) = ln(b) → x = ln(b)/ln(a). Auch Substitutionen helfen bei komplizierteren Gleichungen wie e^(2x) - 5e^x + 4 = 0, indem du u = e^x setzt und dann eine quadratische Gleichung löst.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Anna
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Jana V
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Lena M
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Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Scheima
@scheimaelj
Die e-Funktion und der natürliche Logarithmus gehören zu den wichtigsten Funktionen in der Mathematik. Diese Funktionen bilden die Grundlage vieler Anwendungen in Naturwissenschaften, Wirtschaft und Technik. Du wirst sehen, wie diese Funktionen aufgebaut sind, welche besonderen Eigenschaften sie haben und... Mehr anzeigen
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Die natürliche Exponentialfunktion f(x) = e^x basiert auf der Eulerschen Zahl e = 2,718281... Sie ist eine besondere Funktion mit einzigartigen Eigenschaften. Ein einfaches Beispiel: f(0) = e^0 = 1.
Die e-Funktion ist immer positiv - sie nimmt nie den Wert 0 oder negative Werte an. Außerdem wächst sie schneller als jede Potenzfunktion wie x² oder x³. Das macht sie in vielen Anwendungsgebieten so wertvoll.
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💡 Eine Besonderheit der e-Funktion: Sie ist ihre eigene Ableitung! Das ist einzigartig und macht sie für die Differential- und Integralrechnung besonders wichtig.
Die Umkehrfunktion der e-Funktion ist die ln-Funktion. Zudem gilt: e^x·e^y = e^ und jede beliebige Exponentialfunktion b^x lässt sich als e^(ln(b)·x) darstellen.
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Durch Transformationen kannst du aus der Grundform f(x) = e^x verschiedene Varianten erzeugen. Mit einem Faktor wie in f(x) = 3·e^x wird die Funktion gestreckt - hier ist der y-Achsenabschnitt dann P(0|3) statt P(0|1).
Wenn du das Vorzeichen im Exponenten änderst, wie bei f(x) = e^, erhältst du eine an der y-Achse gespiegelte e-Funktion. Diese fällt dann statt zu steigen. Bei f(x) = 3·e^ kombinierst du Streckung und Spiegelung.
Durch Verschiebungen wie bei f(x) = 3e^x - 1 verschiebst du die gesamte Funktion - hier um 1 Einheit nach unten. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist dann P(0|2).
🔍 Bei e^(ax) mit a > 1 wird die Funktion gestaucht, während sie bei 0 < a < 1 gestreckt wird. Vergleiche z.B. f(x) = e^(2x) und f(x) = e^.
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Die natürliche Logarithmusfunktion f(x) = ln(x) ist die Umkehrfunktion der e-Funktion. Sie hat den Definitionsbereich D = ℝ^+ (nur positive Zahlen) und den Wertebereich W = ℝ.
Die ln-Funktion hat wichtige Eigenschaften:
Die wichtigsten Logarithmengesetze sind:
🧩 Mit Hilfe des natürlichen Logarithmus kannst du Exponentialgleichungen lösen! Die Formel e^(ln x) = x für x > 0 und ln = x für alle x ∈ ℝ ist dafür der Schlüssel.
Bei Exponentialgleichungen wie a^x = b kannst du auf beiden Seiten den ln nehmen: x·ln(a) = ln(b) → x = ln(b)/ln(a). Auch Substitutionen helfen bei komplizierteren Gleichungen wie e^(2x) - 5e^x + 4 = 0, indem du u = e^x setzt und dann eine quadratische Gleichung löst.
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Detaillierte Analyse und Kurvendiskussion von e-Funktionen mit Beispielen zu Ableitungen, Nullstellen, Wendepunkten und Verhalten im Unendlichen. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit den Eigenschaften und Anwendungen der Exponentialfunktion beschäftigen.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der natürlichen Exponentialfunktionen und deren Anwendungen in der Finanzmathematik und Biologie. Diese Zusammenfassung behandelt die Ableitung, Integration, den natürlichen Logarithmus sowie Beispiele zur Berechnung von Wachstums- und Zerfallsprozessen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die wichtigsten Konzepte der Ableitung und Integration in der Mathematik für das Abitur. Dieser umfassende Leitfaden behandelt Differenzierungsregeln, Exponential- und Logarithmusfunktionen, die Kettenregel, sowie die Berechnung von Flächeninhalten zwischen Graphen. Ideal für Schüler im Leistungskurs Mathematik (2022).
MatheEntdecken Sie die Grundlagen des exponentiellen Wachstums und der Exponentialfunktionen. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie Funktionsgleichungen, Wachstumsfaktoren und graphische Darstellungen. Ideal für Mathematikstudenten, die sich auf Klassenarbeiten vorbereiten oder ihr Wissen über exponentielles Wachstum vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie praxisnahe Anwendungsaufgaben zu exponentiellen Funktionen, einschließlich Wachstums- und Zerfallsprozessen. Diese Zusammenstellung behandelt wichtige Konzepte wie die natürliche Exponentialfunktion, logarithmische Beziehungen und deren Anwendung in biologischen Systemen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheVertiefte Analyse von Exponentialfunktionen, der Eulerschen Zahl und Logarithmen. Diese Zusammenfassung behandelt die Gesetze der Logarithmen, das Verhalten von Exponentialfunktionen im Unendlichen, sowie verschiedene Wachstumsarten. Ideal für das Abitur in Baden-Württemberg. Typ: Zusammenfassung.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Stefan S
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