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6. Feb. 2026
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Scheima
@scheimaelj
Die e-Funktion und der natürliche Logarithmus gehören zu den wichtigsten... Mehr anzeigen
Die natürliche Exponentialfunktion f(x) = e^x basiert auf der Eulerschen Zahl e = 2,718281... Sie ist eine besondere Funktion mit einzigartigen Eigenschaften. Ein einfaches Beispiel: f(0) = e^0 = 1.
Die e-Funktion ist immer positiv - sie nimmt nie den Wert 0 oder negative Werte an. Außerdem wächst sie schneller als jede Potenzfunktion wie x² oder x³. Das macht sie in vielen Anwendungsgebieten so wertvoll.
Zu den wichtigsten Eigenschaften gehören:
💡 Eine Besonderheit der e-Funktion: Sie ist ihre eigene Ableitung! Das ist einzigartig und macht sie für die Differential- und Integralrechnung besonders wichtig.
Die Umkehrfunktion der e-Funktion ist die ln-Funktion. Zudem gilt: e^x·e^y = e^ und jede beliebige Exponentialfunktion b^x lässt sich als e^(ln(b)·x) darstellen.
Durch Transformationen kannst du aus der Grundform f(x) = e^x verschiedene Varianten erzeugen. Mit einem Faktor wie in f(x) = 3·e^x wird die Funktion gestreckt - hier ist der y-Achsenabschnitt dann P(0|3) statt P(0|1).
Wenn du das Vorzeichen im Exponenten änderst, wie bei f(x) = e^, erhältst du eine an der y-Achse gespiegelte e-Funktion. Diese fällt dann statt zu steigen. Bei f(x) = 3·e^ kombinierst du Streckung und Spiegelung.
Durch Verschiebungen wie bei f(x) = 3e^x - 1 verschiebst du die gesamte Funktion - hier um 1 Einheit nach unten. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist dann P(0|2).
🔍 Bei e^(ax) mit a > 1 wird die Funktion gestaucht, während sie bei 0 < a < 1 gestreckt wird. Vergleiche z.B. f(x) = e^(2x) und f(x) = e^.
Eine Verschiebung in x-Richtung wie bei f(x) = e^ bewirkt, dass die Funktion nach links wandert. Generell gilt: Bei f(x) = e^ verschiebt sich die Funktion um c Einheiten nach links.
Die natürliche Logarithmusfunktion f(x) = ln(x) ist die Umkehrfunktion der e-Funktion. Sie hat den Definitionsbereich D = ℝ^+ (nur positive Zahlen) und den Wertebereich W = ℝ.
Die ln-Funktion hat wichtige Eigenschaften:
Die wichtigsten Logarithmengesetze sind:
🧩 Mit Hilfe des natürlichen Logarithmus kannst du Exponentialgleichungen lösen! Die Formel e^(ln x) = x für x > 0 und ln = x für alle x ∈ ℝ ist dafür der Schlüssel.
Bei Exponentialgleichungen wie a^x = b kannst du auf beiden Seiten den ln nehmen: x·ln(a) = ln(b) → x = ln(b)/ln(a). Auch Substitutionen helfen bei komplizierteren Gleichungen wie e^(2x) - 5e^x + 4 = 0, indem du u = e^x setzt und dann eine quadratische Gleichung löst.
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
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App Store
Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
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Anna
iOS-Nutzerin
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Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Paul T
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Scheima
@scheimaelj
Die e-Funktion und der natürliche Logarithmus gehören zu den wichtigsten Funktionen in der Mathematik. Diese Funktionen bilden die Grundlage vieler Anwendungen in Naturwissenschaften, Wirtschaft und Technik. Du wirst sehen, wie diese Funktionen aufgebaut sind, welche besonderen Eigenschaften sie haben und... Mehr anzeigen
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Die natürliche Exponentialfunktion f(x) = e^x basiert auf der Eulerschen Zahl e = 2,718281... Sie ist eine besondere Funktion mit einzigartigen Eigenschaften. Ein einfaches Beispiel: f(0) = e^0 = 1.
Die e-Funktion ist immer positiv - sie nimmt nie den Wert 0 oder negative Werte an. Außerdem wächst sie schneller als jede Potenzfunktion wie x² oder x³. Das macht sie in vielen Anwendungsgebieten so wertvoll.
Zu den wichtigsten Eigenschaften gehören:
💡 Eine Besonderheit der e-Funktion: Sie ist ihre eigene Ableitung! Das ist einzigartig und macht sie für die Differential- und Integralrechnung besonders wichtig.
Die Umkehrfunktion der e-Funktion ist die ln-Funktion. Zudem gilt: e^x·e^y = e^ und jede beliebige Exponentialfunktion b^x lässt sich als e^(ln(b)·x) darstellen.
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Durch Verschiebungen wie bei f(x) = 3e^x - 1 verschiebst du die gesamte Funktion - hier um 1 Einheit nach unten. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist dann P(0|2).
🔍 Bei e^(ax) mit a > 1 wird die Funktion gestaucht, während sie bei 0 < a < 1 gestreckt wird. Vergleiche z.B. f(x) = e^(2x) und f(x) = e^.
Eine Verschiebung in x-Richtung wie bei f(x) = e^ bewirkt, dass die Funktion nach links wandert. Generell gilt: Bei f(x) = e^ verschiebt sich die Funktion um c Einheiten nach links.
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Die natürliche Logarithmusfunktion f(x) = ln(x) ist die Umkehrfunktion der e-Funktion. Sie hat den Definitionsbereich D = ℝ^+ (nur positive Zahlen) und den Wertebereich W = ℝ.
Die ln-Funktion hat wichtige Eigenschaften:
Die wichtigsten Logarithmengesetze sind:
🧩 Mit Hilfe des natürlichen Logarithmus kannst du Exponentialgleichungen lösen! Die Formel e^(ln x) = x für x > 0 und ln = x für alle x ∈ ℝ ist dafür der Schlüssel.
Bei Exponentialgleichungen wie a^x = b kannst du auf beiden Seiten den ln nehmen: x·ln(a) = ln(b) → x = ln(b)/ln(a). Auch Substitutionen helfen bei komplizierteren Gleichungen wie e^(2x) - 5e^x + 4 = 0, indem du u = e^x setzt und dann eine quadratische Gleichung löst.
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Detaillierte Analyse und Kurvendiskussion von e-Funktionen mit Beispielen zu Ableitungen, Nullstellen, Wendepunkten und Verhalten im Unendlichen. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit den Eigenschaften und Anwendungen der Exponentialfunktion beschäftigen.
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Samantha Klich
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Anna
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Thomas R
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Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Paul T
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