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Mathematik

Polarkoordinaten und Kurven

parametrische Gleichungen

Mathe2.538Aktualisiert 9. Sept. 20266 Seiten

Ebenengleichungen und Umwandlungen leicht erklärt

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Ebenengleichungen umwandeln ist ein wichtiger Baustein der analytischen Geometrie. Du lernst hier, wie du zwischen den drei Hauptformen – Normalenform, Koordinatenform und Parameterform – hin und her wechselst.
Ebenengleichungen – Seite 1

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Normalenform in Koordinatenform

Die Umwandlung von der Normalenform zur Koordinatenform ist eigentlich nur Ausmultiplizieren und Vereinfachen. Du startest mit E: x⃗−a⃗x⃗ - a⃗ · n⃗ = 0 und willst zu E: ax + by + cz = d.

Zuerst multiplizierst du die Klammer aus und berechnest das Skalarprodukt. Dabei entstehen Terme wie x−3x-3·2 + y−2y-2·−3-3 + z−0z-0·4 = 0.

Dann löst du alle Klammern auf und fasst zusammen: 2x - 6 - 3y + 6 + 4z = 0. Am Ende bringst du die Konstanten auf die rechte Seite und erhältst die gewünschte Form 2x + 3y + 4z = 12.

Tipp: Das Skalarprodukt ist der Schlüssel – rechne es Schritt für Schritt aus, dann kann nichts schiefgehen!

Ebenengleichungen – Seite 2

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Koordinatenform in Normalenform

Hier machst du den umgekehrten Weg – von E: ax + by + cz = d zur Normalenform E: x⃗−a⃗x⃗ - a⃗ · n⃗ = 0. Das Coole daran: Der Normalenvektor steht schon direkt in der Koordinatenform!

Aus 6x + y + 3z = 12 liest du sofort n⃗ = (6, 1, 3) ab. Für den Stützvektor setzt du einfach zwei Koordinaten gleich null und berechnest die dritte.

Bei 6x + 0 + 0 = 12 erhältst du x = 2, also a⃗ = (2, 0, 0). Jetzt kannst du die Normalenform direkt hinschreiben: E: x⃗−(2,0,0)x⃗ - (2, 0, 0) · (6, 1, 3) = 0.

Merke: Die Koeffizienten der Koordinatenform sind automatisch dein Normalenvektor!

Ebenengleichungen – Seite 3

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Parameterform in Koordinatenform

Von der Parameterform zur Koordinatenform brauchst du das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren. Damit findest du den Normalenvektor n⃗ = v⃗ × w⃗.

Mit diesem Normalenvektor stellst du schon mal die Grundform auf: E: ax + by + cz = d. Den Wert d berechnest du, indem du die Koordinaten des Stützvektors einsetzt.

Wenn dein Stützvektor (6, 0, 0) ist und der Normalenvektor (2, 3, 1), dann: 2·6 + 3·0 + 1·0 = 12. Also ist d = 12 und deine Koordinatenform lautet E: 2x + 3y + z = 12.

Wichtig: Das Kreuzprodukt gibt dir den Normalenvektor – den Rest machst du durch Einsetzen!

Ebenengleichungen – Seite 4

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Koordinatenform in Parameterform

Für diese Umwandlung brauchst du drei Punkte der Ebene. Die findest du, indem du jeweils zwei Koordinaten null setzt und die dritte berechnest.

Aus E: 6x + 4y + 3z = 12 erhältst du die Punkte A(2|0|0), B(0|3|0) und C(0|0|4). Punkt A wird dein Stützvektor.

Die Spannvektoren berechnest du als v⃗ = B⃗ - A⃗ und u⃗ = C⃗ - A⃗. So bekommst du v⃗ = −2,3,0-2, 3, 0 und u⃗ = −2,0,4-2, 0, 4. Fertig ist deine Parameterform!

Trick: Immer zwei Koordinaten null setzen – so findest du schnell drei Punkte der Ebene!

Ebenengleichungen – Seite 5

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Parameterform in Normalenform

Diese Umwandlung ist ziemlich direkt. Du brauchst den Normalenvektor durch das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren: n⃗ = v⃗ × w⃗.

Den Stützvektor liest du einfach aus der Parameterform ab – er steht schon da! Das macht diese Umwandlung besonders einfach.

Jetzt setzt du alles in die Normalenform ein: E: x⃗−a⃗x⃗ - a⃗ · n⃗ = 0. Fertig! Du hast beide Komponenten und musst sie nur noch richtig zusammenfügen.

Easy: Stützvektor ablesen, Kreuzprodukt rechnen, einsetzen – drei Schritte zum Ziel!

Ebenengleichungen – Seite 6

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Normalenform in Parameterform

Das ist die kniffligste Umwandlung. Du hast den Stützvektor schon, aber brauchst zwei Richtungsvektoren, die senkrecht zum Normalenvektor stehen.

Für jeden Richtungsvektor gilt: v⃗ · n⃗ = 0. Du setzt eine Koordinate gleich null und löst das Skalarprodukt nach den anderen beiden auf.

Bei einem Normalenvektor (a, b, c) könntest du z.B. v⃗ = 0,c,−b0, c, -b und u⃗ = c,0,−ac, 0, -a wählen. Dann stellst du die Parameterform auf: E: x⃗ = a⃗ + s·v⃗ + t·u⃗.

Strategie: Eine Koordinate null setzen, dann das Skalarprodukt null machen – so findest du die Richtungsvektoren!

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