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Laura H.
1.12.2025
Mathe
Ebenengleichungen
2.404
•
1. Dez. 2025
•
Laura H.
@laurah._1.8
Ebenengleichungen umwandeln ist ein wichtiger Baustein der analytischen Geometrie. Du... Mehr anzeigen
Die Umwandlung von der Normalenform zur Koordinatenform ist eigentlich nur Ausmultiplizieren und Vereinfachen. Du startest mit E: · n⃗ = 0 und willst zu E: ax + by + cz = d.
Zuerst multiplizierst du die Klammer aus und berechnest das Skalarprodukt. Dabei entstehen Terme wie ·2 + ·(-3) + ·4 = 0.
Dann löst du alle Klammern auf und fasst zusammen: 2x - 6 - 3y + 6 + 4z = 0. Am Ende bringst du die Konstanten auf die rechte Seite und erhältst die gewünschte Form 2x + 3y + 4z = 12.
Tipp: Das Skalarprodukt ist der Schlüssel – rechne es Schritt für Schritt aus, dann kann nichts schiefgehen!
Hier machst du den umgekehrten Weg – von E: ax + by + cz = d zur Normalenform E: · n⃗ = 0. Das Coole daran: Der Normalenvektor steht schon direkt in der Koordinatenform!
Aus 6x + y + 3z = 12 liest du sofort n⃗ = (6, 1, 3) ab. Für den Stützvektor setzt du einfach zwei Koordinaten gleich null und berechnest die dritte.
Bei 6x + 0 + 0 = 12 erhältst du x = 2, also a⃗ = (2, 0, 0). Jetzt kannst du die Normalenform direkt hinschreiben: E: · (6, 1, 3) = 0.
Merke: Die Koeffizienten der Koordinatenform sind automatisch dein Normalenvektor!
Von der Parameterform zur Koordinatenform brauchst du das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren. Damit findest du den Normalenvektor n⃗ = v⃗ × w⃗.
Mit diesem Normalenvektor stellst du schon mal die Grundform auf: E: ax + by + cz = d. Den Wert d berechnest du, indem du die Koordinaten des Stützvektors einsetzt.
Wenn dein Stützvektor (6, 0, 0) ist und der Normalenvektor (2, 3, 1), dann: 2·6 + 3·0 + 1·0 = 12. Also ist d = 12 und deine Koordinatenform lautet E: 2x + 3y + z = 12.
Wichtig: Das Kreuzprodukt gibt dir den Normalenvektor – den Rest machst du durch Einsetzen!
Für diese Umwandlung brauchst du drei Punkte der Ebene. Die findest du, indem du jeweils zwei Koordinaten null setzt und die dritte berechnest.
Aus E: 6x + 4y + 3z = 12 erhältst du die Punkte A(2|0|0), B(0|3|0) und C(0|0|4). Punkt A wird dein Stützvektor.
Die Spannvektoren berechnest du als v⃗ = B⃗ - A⃗ und u⃗ = C⃗ - A⃗. So bekommst du v⃗ = (-2, 3, 0) und u⃗ = (-2, 0, 4). Fertig ist deine Parameterform!
Trick: Immer zwei Koordinaten null setzen – so findest du schnell drei Punkte der Ebene!
Diese Umwandlung ist ziemlich direkt. Du brauchst den Normalenvektor durch das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren: n⃗ = v⃗ × w⃗.
Den Stützvektor liest du einfach aus der Parameterform ab – er steht schon da! Das macht diese Umwandlung besonders einfach.
Jetzt setzt du alles in die Normalenform ein: E: · n⃗ = 0. Fertig! Du hast beide Komponenten und musst sie nur noch richtig zusammenfügen.
Easy: Stützvektor ablesen, Kreuzprodukt rechnen, einsetzen – drei Schritte zum Ziel!
Das ist die kniffligste Umwandlung. Du hast den Stützvektor schon, aber brauchst zwei Richtungsvektoren, die senkrecht zum Normalenvektor stehen.
Für jeden Richtungsvektor gilt: v⃗ · n⃗ = 0. Du setzt eine Koordinate gleich null und löst das Skalarprodukt nach den anderen beiden auf.
Bei einem Normalenvektor (a, b, c) könntest du z.B. v⃗ = und u⃗ = wählen. Dann stellst du die Parameterform auf: E: x⃗ = a⃗ + s·v⃗ + t·u⃗.
Strategie: Eine Koordinate null setzen, dann das Skalarprodukt null machen – so findest du die Richtungsvektoren!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
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Laura H.
@laurah._1.8
Ebenengleichungen umwandeln ist ein wichtiger Baustein der analytischen Geometrie. Du lernst hier, wie du zwischen den drei Hauptformen – Normalenform, Koordinatenform und Parameterform – hin und her wechselst.
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Die Umwandlung von der Normalenform zur Koordinatenform ist eigentlich nur Ausmultiplizieren und Vereinfachen. Du startest mit E: · n⃗ = 0 und willst zu E: ax + by + cz = d.
Zuerst multiplizierst du die Klammer aus und berechnest das Skalarprodukt. Dabei entstehen Terme wie ·2 + ·(-3) + ·4 = 0.
Dann löst du alle Klammern auf und fasst zusammen: 2x - 6 - 3y + 6 + 4z = 0. Am Ende bringst du die Konstanten auf die rechte Seite und erhältst die gewünschte Form 2x + 3y + 4z = 12.
Tipp: Das Skalarprodukt ist der Schlüssel – rechne es Schritt für Schritt aus, dann kann nichts schiefgehen!
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Hier machst du den umgekehrten Weg – von E: ax + by + cz = d zur Normalenform E: · n⃗ = 0. Das Coole daran: Der Normalenvektor steht schon direkt in der Koordinatenform!
Aus 6x + y + 3z = 12 liest du sofort n⃗ = (6, 1, 3) ab. Für den Stützvektor setzt du einfach zwei Koordinaten gleich null und berechnest die dritte.
Bei 6x + 0 + 0 = 12 erhältst du x = 2, also a⃗ = (2, 0, 0). Jetzt kannst du die Normalenform direkt hinschreiben: E: · (6, 1, 3) = 0.
Merke: Die Koeffizienten der Koordinatenform sind automatisch dein Normalenvektor!
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Von der Parameterform zur Koordinatenform brauchst du das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren. Damit findest du den Normalenvektor n⃗ = v⃗ × w⃗.
Mit diesem Normalenvektor stellst du schon mal die Grundform auf: E: ax + by + cz = d. Den Wert d berechnest du, indem du die Koordinaten des Stützvektors einsetzt.
Wenn dein Stützvektor (6, 0, 0) ist und der Normalenvektor (2, 3, 1), dann: 2·6 + 3·0 + 1·0 = 12. Also ist d = 12 und deine Koordinatenform lautet E: 2x + 3y + z = 12.
Wichtig: Das Kreuzprodukt gibt dir den Normalenvektor – den Rest machst du durch Einsetzen!
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Für diese Umwandlung brauchst du drei Punkte der Ebene. Die findest du, indem du jeweils zwei Koordinaten null setzt und die dritte berechnest.
Aus E: 6x + 4y + 3z = 12 erhältst du die Punkte A(2|0|0), B(0|3|0) und C(0|0|4). Punkt A wird dein Stützvektor.
Die Spannvektoren berechnest du als v⃗ = B⃗ - A⃗ und u⃗ = C⃗ - A⃗. So bekommst du v⃗ = (-2, 3, 0) und u⃗ = (-2, 0, 4). Fertig ist deine Parameterform!
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Diese Umwandlung ist ziemlich direkt. Du brauchst den Normalenvektor durch das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren: n⃗ = v⃗ × w⃗.
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Jetzt setzt du alles in die Normalenform ein: E: · n⃗ = 0. Fertig! Du hast beide Komponenten und musst sie nur noch richtig zusammenfügen.
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Das ist die kniffligste Umwandlung. Du hast den Stützvektor schon, aber brauchst zwei Richtungsvektoren, die senkrecht zum Normalenvektor stehen.
Für jeden Richtungsvektor gilt: v⃗ · n⃗ = 0. Du setzt eine Koordinate gleich null und löst das Skalarprodukt nach den anderen beiden auf.
Bei einem Normalenvektor (a, b, c) könntest du z.B. v⃗ = und u⃗ = wählen. Dann stellst du die Parameterform auf: E: x⃗ = a⃗ + s·v⃗ + t·u⃗.
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Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Marcus B
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