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65
1
Hannah
30.11.2025
Mathe
Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
2.039
•
30. Nov. 2025
•
Hannah
@hihannah
Hier findest du eine komplette Mathe-Klausur über Extremwertprobleme und Ableitungen... Mehr anzeigen
Du kannst jede ganzrationale Funktion aus gegebenen Eigenschaften konstruieren! Für f(x) = ax³ + bx² + cx + d stellst du ein Gleichungssystem auf: f'(0) = 0 gibt dir c = 0, f(1) = 1,5 liefert a + b + d = 1,5, und so weiter.
Tangentengleichungen berechnest du mit t(x) = mx + b. Die Steigung m ist der Wert der ersten Ableitung am Berührpunkt. Für den y-Achsenabschnitt b setzt du den Punkt in die Gleichung ein.
Parallele Geraden haben die gleiche Steigung. Um weitere Stellen zu finden, wo f(x) parallel zu einer gegebenen Geraden verläuft, löst du f'(x) = m mit der bekannten Steigung m.
Praxis-Tipp: Bei Extremwertproblemen skizzierst du dir immer erst die Situation - das hilft dir, die richtige Zielfunktion aufzustellen!
Flächenoptimierung funktioniert nach einem festen Schema: Du stellst die Zielfunktion für die zu maximierende Größe auf und berücksichtigst alle Nebenbedingungen. Für das Dreieck wird A(u) = u - ⅓u³ - 2u² + 3 maximiert.
Mit dem Taschenrechner findest du die Extremstellen durch Ableiten und Nullsetzen. Der einzige Hochpunkt im zulässigen Bereich liegt bei u ≈ 0,813, was den maximalen Flächeninhalt von etwa 0,792 ergibt.
Bei praktischen Problemen prüfst du immer die Randwerte deines Definitionsbereichs! Oft liegt das Optimum nicht an einer Extremstelle, sondern am Rand des erlaubten Bereichs.
Wichtig: Vergiss nie, deine mathematische Lösung im Sachkontext zu interpretieren - macht das Ergebnis praktisch Sinn?
Extremstellen berechnen ist der Schlüssel, um die maximale Herzfrequenz zu finden. Du setzt die erste Ableitung gleich null: f'(t) = 0,09t² - 3t + 21 = 0 und erhältst t = 10 oder t = 70/3.
Mit der zweiten Ableitung bestätigst du die Art der Extremstelle. Bei t = 10 ist f''(10) = -1,2 < 0, also ein Hochpunkt. Die maximale Herzfrequenz beträgt f(10) = 170 Schläge/Minute nach 10 Minuten Training.
Wendestellen findest du, indem du f''(t) = 0 setzt. Das ergibt t ≈ 16,6 Minuten als Wendepunkt. Die Steigung f'(16,6) = -4 zeigt dir, dass die Herzfrequenz hier am stärksten abnimmt - nämlich um 4 Schläge pro Minute.
Merktipp: Wendestellen zeigen dir, wo sich das Krümmungsverhalten ändert - also wo eine Funktion von "bauchig" zu "hohlförmig" wechselt!
Zusammengesetzte Flächen berechnest du, indem du die Einzelteile addierst. Der Kanalquerschnitt besteht aus einem Rechteck (2r·h) plus einem Halbkreis (½πr²). Die Nebenbedingung kommt vom vorgegebenen Umfang.
Den Definitionsbereich bestimmst du durch die physikalischen Grenzen: r und h müssen positiv sein. Wenn h = 0 ist, erhältst du aus der Umfangsbedingung den maximalen Radius r = 2/(π+2).
Die optimalen Maße findest du durch Ableiten und Nullsetzen: A'(r) = 0 ergibt r ≈ 0,28m. Praktischerweise sind bei der optimalen Lösung Radius und Höhe etwa gleich groß (beide ≈ 0,28m).
Realitäts-Check: Bei Optimierungsproblemen aus der Praxis ergeben sich oft überraschend "runde" oder symmetrische Lösungen!
Funktionsgleichungen aufstellen geht auch ohne Taschenrechner! Du nutzt die gegebenen Bedingungen systematisch: "berührt die x-Achse im Ursprung" bedeutet f(0) = 0 und f'(0) = 0. Das gibt dir schon zwei Parameter.
Wahr-oder-Falsch-Aufgaben löst du durch gezieltes Einsetzen und Ableiten. Bei f(x) = x³ + 3x² prüfst du beispielsweise f'(0) = 0 (nicht 4!) oder f''(-1,5) > 0 (nicht < 0).
Die Funktionsanalyse läuft nach dem bekannten Schema: Extremstellen mit f'(x) = 0, Wendestellen mit f''(x) = 0, und immer schön die Art der Extremstelle mit der zweiten Ableitung bestätigen.
Zeitmanagement: 35 Minuten für den hilfsmittelfreien Teil sind knapp - übe diese Aufgabentypen, bis sie automatisch laufen!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Samantha Klich
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Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Sudenaz Ocak
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Julia S
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hannah
@hihannah
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Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Diese Zusammenfassung behandelt die wesentlichen Konzepte der Kurvenanpassung und Funktionsscharen, einschließlich: 1) Lösen von Gleichungssystemen, 2) Bestimmung ganzrationaler Funktionen, 3) Trassierung von Graphen, 4) Abschnittsweise definierte Funktionen und 5) Analyse von Funktionenscharen. Ideal für die Vorbereitung auf das Abitur.
MatheErfahren Sie, wie man Hoch-, Tief- und Sattelpunkte von Funktionen bestimmt. Diese Präsentation behandelt die notwendigen und hinreichenden Bedingungen zur Identifizierung lokaler und globaler Extrema sowie die Anwendung der Differentiation. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse in der Funktionsuntersuchung vertiefen möchten.
MatheErfahren Sie, wie man Extremwertaufgaben effektiv löst. Dieser Leitfaden behandelt die Ableitung zur Bestimmung von Extremstellen, die Überprüfung von Randwerten, die Formulierung von Extremal- und Nebenbedingungen sowie die Ermittlung des Definitionsbereichs. Ideal für Studierende der Mathematik, die ihre Kenntnisse in der Differentialrechnung vertiefen möchten.
MatheDieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über wichtige Themen für das Mathematik-Abitur 2022, einschließlich Kurvenverhalten, Ableitungen, Integrationsregeln, Vektoren und grundlegende Statistik. Ideal für die Vorbereitung auf Prüfungen, behandelt er Konzepte wie Monotonie, Extremstellen, Wahrscheinlichkeitsrechnung und geometrische Eigenschaften von Linien und Ebenen. Perfekt für Schüler, die ihre Kenntnisse in der Differential- und Integralrechnung vertiefen möchten.
MatheErfahren Sie, wie man Extrempunkte (Hochpunkte, Tiefpunkte, Sattelpunkte) einer Funktion identifiziert. Diese Zusammenfassung behandelt die notwendigen und hinreichenden Kriterien, die Vorgehensweise zur Bestimmung von Extremstellen sowie ein praktisches Beispiel zur Veranschaulichung. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit der Analyse von Funktionen beschäftigen.
MatheDiese Übungsklausur behandelt die Ableitung von Funktionen und die Analyse von Extremstellen sowie Wendepunkten. Sie umfasst Aufgaben zur Bestimmung von Schnittpunkten, Monotonie und die Bedeutung der Ableitungen im Kontext von Funktionengraphen. Ideal für Schüler der 10. Klasse im Fach Mathematik.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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