Mathematik

Eigenschaften von Funktionsgraphen

Kritische Punkte

2.042

•

8. Feb. 2026

•

5 Seiten

Verständnis ganzrationaler Funktionen: Eine Einführung

Hannah

@hihannah

Hier findest du eine komplette Mathe-Klausur über Extremwertprobleme und Ableitungen... Mehr anzeigen

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Funktionen aus Bedingungen aufstellen

Du kannst jede ganzrationale Funktion aus gegebenen Eigenschaften konstruieren! Für f(x) = ax³ + bx² + cx + d stellst du ein Gleichungssystem auf: f'(0) = 0 gibt dir c = 0, f(1) = 1,5 liefert a + b + d = 1,5, und so weiter.

Tangentengleichungen berechnest du mit t(x) = mx + b. Die Steigung m ist der Wert der ersten Ableitung am Berührpunkt. Für den y-Achsenabschnitt b setzt du den Punkt in die Gleichung ein.

Parallele Geraden haben die gleiche Steigung. Um weitere Stellen zu finden, wo f(x) parallel zu einer gegebenen Geraden verläuft, löst du f'(x) = m mit der bekannten Steigung m.

Praxis-Tipp: Bei Extremwertproblemen skizzierst du dir immer erst die Situation - das hilft dir, die richtige Zielfunktion aufzustellen!

Optimierungsprobleme lösen

Flächenoptimierung funktioniert nach einem festen Schema: Du stellst die Zielfunktion für die zu maximierende Größe auf und berücksichtigst alle Nebenbedingungen. Für das Dreieck wird A(u) = u - ⅓u³ - 2u² + 3 maximiert.

Mit dem Taschenrechner findest du die Extremstellen durch Ableiten und Nullsetzen. Der einzige Hochpunkt im zulässigen Bereich liegt bei u ≈ 0,813, was den maximalen Flächeninhalt von etwa 0,792 ergibt.

Bei praktischen Problemen prüfst du immer die Randwerte deines Definitionsbereichs! Oft liegt das Optimum nicht an einer Extremstelle, sondern am Rand des erlaubten Bereichs.

Wichtig: Vergiss nie, deine mathematische Lösung im Sachkontext zu interpretieren - macht das Ergebnis praktisch Sinn?

Herzfrequenz-Analyse beim Training

Extremstellen berechnen ist der Schlüssel, um die maximale Herzfrequenz zu finden. Du setzt die erste Ableitung gleich null: f'(t) = 0,09t² - 3t + 21 = 0 und erhältst t = 10 oder t = 70/3.

Mit der zweiten Ableitung bestätigst du die Art der Extremstelle. Bei t = 10 ist f''(10) = -1,2 < 0, also ein Hochpunkt. Die maximale Herzfrequenz beträgt f(10) = 170 Schläge/Minute nach 10 Minuten Training.

Wendestellen findest du, indem du f''(t) = 0 setzt. Das ergibt t ≈ 16,6 Minuten als Wendepunkt. Die Steigung f'(16,6) = -4 zeigt dir, dass die Herzfrequenz hier am stärksten abnimmt - nämlich um 4 Schläge pro Minute.

Merktipp: Wendestellen zeigen dir, wo sich das Krümmungsverhalten ändert - also wo eine Funktion von "bauchig" zu "hohlförmig" wechselt!

Kanalquerschnitt optimieren

Zusammengesetzte Flächen berechnest du, indem du die Einzelteile addierst. Der Kanalquerschnitt besteht aus einem Rechteck (2r·h) plus einem Halbkreis (½πr²). Die Nebenbedingung kommt vom vorgegebenen Umfang.

Den Definitionsbereich bestimmst du durch die physikalischen Grenzen: r und h müssen positiv sein. Wenn h = 0 ist, erhältst du aus der Umfangsbedingung den maximalen Radius r = 2/(π+2).

Die optimalen Maße findest du durch Ableiten und Nullsetzen: A'(r) = 0 ergibt r ≈ 0,28m. Praktischerweise sind bei der optimalen Lösung Radius und Höhe etwa gleich groß (beide ≈ 0,28m).

Realitäts-Check: Bei Optimierungsproblemen aus der Praxis ergeben sich oft überraschend "runde" oder symmetrische Lösungen!

Klausur ohne Hilfsmittel meistern

Funktionsgleichungen aufstellen geht auch ohne Taschenrechner! Du nutzt die gegebenen Bedingungen systematisch: "berührt die x-Achse im Ursprung" bedeutet f(0) = 0 und f'(0) = 0. Das gibt dir schon zwei Parameter.

Wahr-oder-Falsch-Aufgaben löst du durch gezieltes Einsetzen und Ableiten. Bei f(x) = x³ + 3x² prüfst du beispielsweise f'(0) = 0 (nicht 4!) oder f''(-1,5) > 0 (nicht < 0).

Die Funktionsanalyse läuft nach dem bekannten Schema: Extremstellen mit f'(x) = 0, Wendestellen mit f''(x) = 0, und immer schön die Art der Extremstelle mit der zweiten Ableitung bestätigen.

Zeitmanagement: 35 Minuten für den hilfsmittelfreien Teil sind knapp - übe diese Aufgabentypen, bis sie automatisch laufen!

Wir dachten schon, du fragst nie...
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4.6/5

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Paul T

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