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30. Nov. 2025
•
Niluxan Srikanthan
@niluxansrikanthan_tewc
Ganzrationale Funktionen sind ein Kernthema der Oberstufe - und keine... Mehr anzeigen
Das Wichtigste zuerst: Ableitungen sind dein Werkzeug für alles! Bei einer Funktion wie f(x) = x³ - 3x² bildest du einfach die erste, zweite und dritte Ableitung: f'(x) = 3x² - 6x, f''(x) = 6x - 6, f'''(x) = 6.
Das Krümmungsverhalten erkennst du an der zweiten Ableitung. Ist f''(x) > 0, dann ist die Kurve linksgekrümmt (wie ein Lächeln). Ist f''(x) < 0, dann rechtsgekrümmt (wie ein Stirnrunzeln).
Merktipp: Positive zweite Ableitung = Lächeln = Linkskrümmung
Extrempunkte findest du in drei Schritten: Erst f'(x) = 0 setzen und x-Werte berechnen. Dann prüfst du mit der zweiten Ableitung: f''(x) < 0 bedeutet Hochpunkt, f''(x) > 0 bedeutet Tiefpunkt.
Zuletzt setzt du die x-Werte in die ursprüngliche Funktion ein, um die y-Koordinaten zu bekommen. Bei unserem Beispiel: x₁ = 0 ergibt Hochpunkt H(0|0), x₂ = 2 ergibt Tiefpunkt T(2|-4).
Wendepunkte findest du, indem du f''(x) = 0 setzt und mit f'''(x) ≠ 0 prüfst. Die Wendetangente hat die Steigung f'(x) an der Wendestelle.
Bei Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen gehst du systematisch vor: Hauptbedingung aufstellen (meist eine Formel für Volumen, Fläche oder Gewinn), Nebenbedingung finden, alles in eine Variable umformen und dann wie gewohnt ableiten.
Praxistipp: Extremwertprobleme kommen sehr gern in Klausuren - übe sie besonders intensiv!
Du kannst ganzrationale Funktionen aus gegebenen Punkten und Eigenschaften rekonstruieren! Fängst du mit einer allgemeinen Funktion f(x) = ax³ + bx² + cx + d an und stellst für jeden gegebenen Punkt oder jede Eigenschaft eine Gleichung auf.
Normale Punkte setzt du direkt in f(x) ein. Bei Extrempunkten nutzt du zusätzlich f'(x) = 0, bei Wendepunkten auch f''(x) = 0. So entstehen genug Gleichungen, um alle Unbekannten zu bestimmen.
Das Gleichungssystem löst du am besten mit dem GTR oder durch systematisches Einsetzen. Am Ende kontrollierst du dein Ergebnis durch Einsetzen der ursprünglichen Bedingungen.
Strategietipp: Zähle immer erst die Bedingungen - du brauchst genauso viele wie unbekannte Parameter!
Eine Funktionenschar enthält einen Parameter (meist t), der wie eine normale Zahl behandelt wird. Aus ft(x) = x³ - 3tx² + 1 wird beim Ableiten ft'(x) = 3x² - 6tx.
Alle normalen Untersuchungen funktionieren genauso: Extremstellen mit ft'(x) = 0, Wendestellen mit ft''(x) = 0. Deine Ergebnisse enthalten dann den Parameter t.
So bekommst du zum Beispiel Extrempunkte in Abhängigkeit von t: HP(0|1) und TP. Das zeigt, wie sich die Funktion mit verschiedenen t-Werten verändert.
Verstehen statt Rechnen: Funktionsscharen zeigen, wie Parameter die Funktionseigenschaften beeinflussen!
Die Anwendungsaufgaben in Klausuren folgen meist ähnlichen Mustern. Bei Preisen, Verkaufszahlen oder physikalischen Problemen modelierst du die Situation mit ganzrationalen Funktionen und untersuchst sie systematisch.
Geschwindigkeits- und Beschleunigungsprobleme löst du über Ableitungen: f'(t) ist die Geschwindigkeit, f''(t) die Beschleunigung. Wendepunkte zeigen oft wichtige Änderungen im Verlauf an.
Bei Optimierungsaufgaben wie dem Dreieck mit maximalem Flächeninhalt stellst du die Zielfunktion auf und bestimmst ihr Maximum. Denk daran, den Definitionsbereich zu beachten!
Erfolgsgarantie: Verstehe das Grundprinzip einmal richtig, dann sind alle Variationen nur noch Fleißarbeit!
Funktionsgleichungen aus Graphen zu bestimmen ist reine Detektivarbeit. Zähle Nullstellen, erkenne Symmetrien und identifiziere Extrem- und Wendepunkte. Der Grad der Funktion ergibt sich aus dem Verlauf.
Bei Funktionsscharen untersuchst du gemeinsame Eigenschaften aller Funktionen der Schar. Punktsymmetrie, gemeinsame Durchgangspunkte oder die Form der Extrempunkte in Abhängigkeit vom Parameter sind typische Fragestellungen.
Ortskurven der Extrempunkte zeigen, wo die Hoch- und Tiefpunkte für verschiedene Parameterwerte liegen. Das ist besonders nützlich für das Verständnis des Gesamtverlaufs.
Durchblick: Bei Funktionsscharen siehst du das große Bild - wie eine ganze Familie von Funktionen zusammenhängt!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hans T
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Niluxan Srikanthan
@niluxansrikanthan_tewc
Ganzrationale Funktionen sind ein Kernthema der Oberstufe - und keine Sorge, sie sind weniger kompliziert als sie aussehen! Mit den richtigen Techniken findest du schnell Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte und löst sogar knifflige Extremwertprobleme.
Zugriff auf alle Dokumente
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Das Wichtigste zuerst: Ableitungen sind dein Werkzeug für alles! Bei einer Funktion wie f(x) = x³ - 3x² bildest du einfach die erste, zweite und dritte Ableitung: f'(x) = 3x² - 6x, f''(x) = 6x - 6, f'''(x) = 6.
Das Krümmungsverhalten erkennst du an der zweiten Ableitung. Ist f''(x) > 0, dann ist die Kurve linksgekrümmt (wie ein Lächeln). Ist f''(x) < 0, dann rechtsgekrümmt (wie ein Stirnrunzeln).
Merktipp: Positive zweite Ableitung = Lächeln = Linkskrümmung
Extrempunkte findest du in drei Schritten: Erst f'(x) = 0 setzen und x-Werte berechnen. Dann prüfst du mit der zweiten Ableitung: f''(x) < 0 bedeutet Hochpunkt, f''(x) > 0 bedeutet Tiefpunkt.
Zuletzt setzt du die x-Werte in die ursprüngliche Funktion ein, um die y-Koordinaten zu bekommen. Bei unserem Beispiel: x₁ = 0 ergibt Hochpunkt H(0|0), x₂ = 2 ergibt Tiefpunkt T(2|-4).
Wendepunkte findest du, indem du f''(x) = 0 setzt und mit f'''(x) ≠ 0 prüfst. Die Wendetangente hat die Steigung f'(x) an der Wendestelle.
Bei Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen gehst du systematisch vor: Hauptbedingung aufstellen (meist eine Formel für Volumen, Fläche oder Gewinn), Nebenbedingung finden, alles in eine Variable umformen und dann wie gewohnt ableiten.
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Strategietipp: Zähle immer erst die Bedingungen - du brauchst genauso viele wie unbekannte Parameter!
Eine Funktionenschar enthält einen Parameter (meist t), der wie eine normale Zahl behandelt wird. Aus ft(x) = x³ - 3tx² + 1 wird beim Ableiten ft'(x) = 3x² - 6tx.
Alle normalen Untersuchungen funktionieren genauso: Extremstellen mit ft'(x) = 0, Wendestellen mit ft''(x) = 0. Deine Ergebnisse enthalten dann den Parameter t.
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Die Anwendungsaufgaben in Klausuren folgen meist ähnlichen Mustern. Bei Preisen, Verkaufszahlen oder physikalischen Problemen modelierst du die Situation mit ganzrationalen Funktionen und untersuchst sie systematisch.
Geschwindigkeits- und Beschleunigungsprobleme löst du über Ableitungen: f'(t) ist die Geschwindigkeit, f''(t) die Beschleunigung. Wendepunkte zeigen oft wichtige Änderungen im Verlauf an.
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Funktionsgleichungen aus Graphen zu bestimmen ist reine Detektivarbeit. Zähle Nullstellen, erkenne Symmetrien und identifiziere Extrem- und Wendepunkte. Der Grad der Funktion ergibt sich aus dem Verlauf.
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Ortskurven der Extrempunkte zeigen, wo die Hoch- und Tiefpunkte für verschiedene Parameterwerte liegen. Das ist besonders nützlich für das Verständnis des Gesamtverlaufs.
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Smarte Tools NEU
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Erlerne die Berechnung von Ober- und Untersummen anhand der Funktion f(x) = 1 - x² im Intervall [0, 1]. Diese Zusammenfassung bietet eine Schritt-für-Schritt-Anleitung zur grafischen Darstellung, Zerlegung des Intervalls und zur Berechnung der Summen. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Integrationsmethoden vertraut machen möchten.
MatheDiese Zusammenstellung umfasst die Aufgaben und Lösungen der zentralen Klausur im Fach Mathematik für das Jahr 2018. Die Themen beinhalten multistufige Zufallsexperimente, Funktionen und deren Ableitungen, Gewinnwahrscheinlichkeiten, sowie die Analyse von Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten und ihre Kenntnisse in Stochastik und Analysis vertiefen möchten.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Analyse von Funktionen, einschließlich der Bestimmung von Extrempunkten, Wendepunkten und der Anwendung von Ableitungen. Sie umfasst auch die Berechnung von Laktatkonzentrationen in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit sowie die Modellierung von Flugbahnen. Ideal für Studierende der Differential- und Integralrechnung, die sich auf Klausuren vorbereiten.
MatheUmfassende Vorbereitung auf die Mathematikprüfung mit Fokus auf Funktionen, Ableitungen, Nullstellen und stochastische Konzepte. Erlerne die Grundlagen der Funktionsuntersuchung, einschließlich rationaler und Wurzelfunktionen, sowie die Anwendung von Baumdiagrammen und Wahrscheinlichkeitsregeln. Ideal für Schüler der EF, die sich auf ihre Klausur vorbereiten.
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MatheErforschen Sie die Konzepte der Grenzwerte und das Grenzverhalten von Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt die Definition von Grenzwerten, Konvergenz und Divergenz sowie spezifische Beispiele für Grenzwerte im Unendlichen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Analysis vertiefen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Marcus B
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