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30. Jan. 2026
•
Niluxan Srikanthan
@niluxansrikanthan_tewc
Ganzrationale Funktionen sind ein Kernthema der Oberstufe - und keine... Mehr anzeigen
Das Wichtigste zuerst: Ableitungen sind dein Werkzeug für alles! Bei einer Funktion wie f(x) = x³ - 3x² bildest du einfach die erste, zweite und dritte Ableitung: f'(x) = 3x² - 6x, f''(x) = 6x - 6, f'''(x) = 6.
Das Krümmungsverhalten erkennst du an der zweiten Ableitung. Ist f''(x) > 0, dann ist die Kurve linksgekrümmt (wie ein Lächeln). Ist f''(x) < 0, dann rechtsgekrümmt (wie ein Stirnrunzeln).
Merktipp: Positive zweite Ableitung = Lächeln = Linkskrümmung
Extrempunkte findest du in drei Schritten: Erst f'(x) = 0 setzen und x-Werte berechnen. Dann prüfst du mit der zweiten Ableitung: f''(x) < 0 bedeutet Hochpunkt, f''(x) > 0 bedeutet Tiefpunkt.
Zuletzt setzt du die x-Werte in die ursprüngliche Funktion ein, um die y-Koordinaten zu bekommen. Bei unserem Beispiel: x₁ = 0 ergibt Hochpunkt H(0|0), x₂ = 2 ergibt Tiefpunkt T(2|-4).
Wendepunkte findest du, indem du f''(x) = 0 setzt und mit f'''(x) ≠ 0 prüfst. Die Wendetangente hat die Steigung f'(x) an der Wendestelle.
Bei Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen gehst du systematisch vor: Hauptbedingung aufstellen (meist eine Formel für Volumen, Fläche oder Gewinn), Nebenbedingung finden, alles in eine Variable umformen und dann wie gewohnt ableiten.
Praxistipp: Extremwertprobleme kommen sehr gern in Klausuren - übe sie besonders intensiv!
Du kannst ganzrationale Funktionen aus gegebenen Punkten und Eigenschaften rekonstruieren! Fängst du mit einer allgemeinen Funktion f(x) = ax³ + bx² + cx + d an und stellst für jeden gegebenen Punkt oder jede Eigenschaft eine Gleichung auf.
Normale Punkte setzt du direkt in f(x) ein. Bei Extrempunkten nutzt du zusätzlich f'(x) = 0, bei Wendepunkten auch f''(x) = 0. So entstehen genug Gleichungen, um alle Unbekannten zu bestimmen.
Das Gleichungssystem löst du am besten mit dem GTR oder durch systematisches Einsetzen. Am Ende kontrollierst du dein Ergebnis durch Einsetzen der ursprünglichen Bedingungen.
Strategietipp: Zähle immer erst die Bedingungen - du brauchst genauso viele wie unbekannte Parameter!
Eine Funktionenschar enthält einen Parameter (meist t), der wie eine normale Zahl behandelt wird. Aus ft(x) = x³ - 3tx² + 1 wird beim Ableiten ft'(x) = 3x² - 6tx.
Alle normalen Untersuchungen funktionieren genauso: Extremstellen mit ft'(x) = 0, Wendestellen mit ft''(x) = 0. Deine Ergebnisse enthalten dann den Parameter t.
So bekommst du zum Beispiel Extrempunkte in Abhängigkeit von t: HP(0|1) und TP. Das zeigt, wie sich die Funktion mit verschiedenen t-Werten verändert.
Verstehen statt Rechnen: Funktionsscharen zeigen, wie Parameter die Funktionseigenschaften beeinflussen!
Die Anwendungsaufgaben in Klausuren folgen meist ähnlichen Mustern. Bei Preisen, Verkaufszahlen oder physikalischen Problemen modelierst du die Situation mit ganzrationalen Funktionen und untersuchst sie systematisch.
Geschwindigkeits- und Beschleunigungsprobleme löst du über Ableitungen: f'(t) ist die Geschwindigkeit, f''(t) die Beschleunigung. Wendepunkte zeigen oft wichtige Änderungen im Verlauf an.
Bei Optimierungsaufgaben wie dem Dreieck mit maximalem Flächeninhalt stellst du die Zielfunktion auf und bestimmst ihr Maximum. Denk daran, den Definitionsbereich zu beachten!
Erfolgsgarantie: Verstehe das Grundprinzip einmal richtig, dann sind alle Variationen nur noch Fleißarbeit!
Funktionsgleichungen aus Graphen zu bestimmen ist reine Detektivarbeit. Zähle Nullstellen, erkenne Symmetrien und identifiziere Extrem- und Wendepunkte. Der Grad der Funktion ergibt sich aus dem Verlauf.
Bei Funktionsscharen untersuchst du gemeinsame Eigenschaften aller Funktionen der Schar. Punktsymmetrie, gemeinsame Durchgangspunkte oder die Form der Extrempunkte in Abhängigkeit vom Parameter sind typische Fragestellungen.
Ortskurven der Extrempunkte zeigen, wo die Hoch- und Tiefpunkte für verschiedene Parameterwerte liegen. Das ist besonders nützlich für das Verständnis des Gesamtverlaufs.
Durchblick: Bei Funktionsscharen siehst du das große Bild - wie eine ganze Familie von Funktionen zusammenhängt!
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
Du kannst die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Stefan S
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Samantha Klich
Android-Nutzerin
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Anna
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Thomas R
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Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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Elisha
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Paul T
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Niluxan Srikanthan
@niluxansrikanthan_tewc
Ganzrationale Funktionen sind ein Kernthema der Oberstufe - und keine Sorge, sie sind weniger kompliziert als sie aussehen! Mit den richtigen Techniken findest du schnell Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte und löst sogar knifflige Extremwertprobleme.
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Das Wichtigste zuerst: Ableitungen sind dein Werkzeug für alles! Bei einer Funktion wie f(x) = x³ - 3x² bildest du einfach die erste, zweite und dritte Ableitung: f'(x) = 3x² - 6x, f''(x) = 6x - 6, f'''(x) = 6.
Das Krümmungsverhalten erkennst du an der zweiten Ableitung. Ist f''(x) > 0, dann ist die Kurve linksgekrümmt (wie ein Lächeln). Ist f''(x) < 0, dann rechtsgekrümmt (wie ein Stirnrunzeln).
Merktipp: Positive zweite Ableitung = Lächeln = Linkskrümmung
Extrempunkte findest du in drei Schritten: Erst f'(x) = 0 setzen und x-Werte berechnen. Dann prüfst du mit der zweiten Ableitung: f''(x) < 0 bedeutet Hochpunkt, f''(x) > 0 bedeutet Tiefpunkt.
Zuletzt setzt du die x-Werte in die ursprüngliche Funktion ein, um die y-Koordinaten zu bekommen. Bei unserem Beispiel: x₁ = 0 ergibt Hochpunkt H(0|0), x₂ = 2 ergibt Tiefpunkt T(2|-4).
Wendepunkte findest du, indem du f''(x) = 0 setzt und mit f'''(x) ≠ 0 prüfst. Die Wendetangente hat die Steigung f'(x) an der Wendestelle.
Bei Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen gehst du systematisch vor: Hauptbedingung aufstellen (meist eine Formel für Volumen, Fläche oder Gewinn), Nebenbedingung finden, alles in eine Variable umformen und dann wie gewohnt ableiten.
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Eine Funktionenschar enthält einen Parameter (meist t), der wie eine normale Zahl behandelt wird. Aus ft(x) = x³ - 3tx² + 1 wird beim Ableiten ft'(x) = 3x² - 6tx.
Alle normalen Untersuchungen funktionieren genauso: Extremstellen mit ft'(x) = 0, Wendestellen mit ft''(x) = 0. Deine Ergebnisse enthalten dann den Parameter t.
So bekommst du zum Beispiel Extrempunkte in Abhängigkeit von t: HP(0|1) und TP. Das zeigt, wie sich die Funktion mit verschiedenen t-Werten verändert.
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Geschwindigkeits- und Beschleunigungsprobleme löst du über Ableitungen: f'(t) ist die Geschwindigkeit, f''(t) die Beschleunigung. Wendepunkte zeigen oft wichtige Änderungen im Verlauf an.
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Funktionsgleichungen aus Graphen zu bestimmen ist reine Detektivarbeit. Zähle Nullstellen, erkenne Symmetrien und identifiziere Extrem- und Wendepunkte. Der Grad der Funktion ergibt sich aus dem Verlauf.
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Ortskurven der Extrempunkte zeigen, wo die Hoch- und Tiefpunkte für verschiedene Parameterwerte liegen. Das ist besonders nützlich für das Verständnis des Gesamtverlaufs.
Durchblick: Bei Funktionsscharen siehst du das große Bild - wie eine ganze Familie von Funktionen zusammenhängt!
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Verwandle diesen Lernzettel in: ✓ 50+ Übungsfragen ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Komplette Probeklausur ✓ Aufsatzgliederungen
Diese Klausur behandelt die Analyse von Funktionen, einschließlich der Bestimmung von Funktionsgleichungen, Ableitungen, Extrempunkten und Wendepunkten. Sie umfasst sowohl den hilfsmittelfreien als auch den mit Hilfsmitteln durchgeführten Teil. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen in Mathematik vorbereiten. Themen: Differentialquotient, Kurvenverhalten, Anwendung der Differenzierung, und Gleichungssysteme.
MatheUmfassende Lösungen und Erklärungen zu den Abiturprüfungen in Mathematik 2021. Behandelt werden Themen wie Extremstellen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Flächeninhalte zwischen Graphen, und die Geometrie von Pyramiden. Ideal für die Vorbereitung auf das Abitur. Typ: Zusammenfassung.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Isokosten- und Isoquantenfunktionen sowie die Bestimmung der Minimalkostenkombination. Erfahren Sie, wie man die Gleichungen aufstellt, Schnittpunkte ermittelt und die optimale Inputwahl für eine gegebene Produktionsmenge trifft. Ideal für die Vorbereitung auf Ihre Mathe-Klausur.
MatheEntdecken Sie die Lösungen zu den Aufgaben S. 148 und 149 aus dem Lambacher Schweizer Mathebuch für die Qualifikationsphase. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie Exponentialfunktionen, Ableitungen, Integrationsregeln und die Berechnung von Durchschnittswerten. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten und ein tieferes Verständnis für Differential- und Integralrechnung entwickeln möchten.
MatheUmfassende Übersicht der Mathematik-Themen für das Abitur 2021 in Baden-Württemberg. Behandelt werden Kurvendiskussion, e-Funktionen, Integralrechnung, trigonometrische Funktionen, analytische Geometrie und Stochastik. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.
MatheDiese umfassende Zusammenfassung behandelt die Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen. Erfahren Sie, wie man Extrempunkte und Wendepunkte berechnet, die Steigung analysiert, Symmetrie untersucht und den Werte- sowie Definitionsbereich bestimmt. Zudem werden Methoden zur Berechnung von Nullstellen und zur Aufstellung von Tangentengleichungen erläutert. Ideal für die Vorbereitung auf Klausuren und Prüfungen.
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Stefan S
iOS-Nutzer
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Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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Anna
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Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Sudenaz Ocak
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
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