App öffnen

Fächer

Mathe

2. Dez. 2025

2.383

13 Seiten

Eigenschaften und Beispiele von ganzrationalen Funktionen

Hier geht's um ganzrationale Funktionenund ihre praktische Anwendung! Du lernst, wie du Wendepunkte findest, Extremwerte berechnest und... Mehr anzeigen

LK Mathematik 20/21
Nr. 1 25.09.2020
Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
Teil I: Hilfsmittelfreier Teil (max. 40 min)
Aufgabe 1:
Gegeben

Aufgabenstellung - Ganzrationale Funktionen

Du siehst hier eine typische Mathe-LK Klausur zu ganzrationalen Funktionen. Die Aufgaben zeigen dir, worauf es ankommt Wendepunkte verstehen, Ableitungen richtig bilden und praktische Anwendungen lösen.

Bei der Funktion f(x) = 0,25x⁴ - 4x³ + 10,5x² musst du beweisen, dass maximal zwei Wendepunkte möglich sind. Der Trick? Die zweite Ableitung ist eine Funktion 2. Grades - mehr als zwei Nullstellen sind mathematisch unmöglich.

Die Ebola-Aufgabe zeigt, wie Mathematik echte Probleme modelliert. Mit der Funktion e(t) = 1/400t348t2t³ - 48t² berechnest du, wann eine Epidemie ihren Höhepunkt erreicht.

💡 Merke dir Bei Wendepunkten gilt immer f''(x) = 0 UND f'''(x) ≠ 0. Beide Bedingungen müssen erfüllt sein!

LK Mathematik 20/21
Nr. 1 25.09.2020
Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
Teil I: Hilfsmittelfreier Teil (max. 40 min)
Aufgabe 1:
Gegeben

Lösungsansätze - Wendepunkte und Ableitungen

Die Lösungsstrategie ist klar strukturiert Erst alle Ableitungen bilden, dann systematisch die Bedingungen prüfen. Bei f(x) = 0,25x⁴ - 4x³ + 10,5x² erhältst du f''(x) = 3x² - 24x + 21.

Für Wendepunkte setzt du f''(x) = 0 und löst die quadratische Gleichung 3x² - 24x + 21 = 0. Mit der p-q-Formel findest du x₁ = 7 und x₂ = 1. Wichtig Beide Werte müssen noch mit der dritten Ableitung geprüft werden!

Die Wendetangente berechnest du mit der Punkt-Steigungs-Form. An der Stelle x = 1 brauchst du f'(1) = 10 für die Steigung und f(1) = 6,75 für den y-Wert.

🎯 Tipp Rechne immer sauber Schritt für Schritt - Flüchtigkeitsfehler bei Ableitungen kosten wertvolle Punkte!

LK Mathematik 20/21
Nr. 1 25.09.2020
Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
Teil I: Hilfsmittelfreier Teil (max. 40 min)
Aufgabe 1:
Gegeben

Praxisanwendung - Epidemie-Modellierung

Bei der Epidemie-Aufgabe suchst du das Maximum der Erkrankten mit e(t) = -1/400t348t2t³ - 48t². Die erste Ableitung e'(t) = -3/400·t² + 96/400·t wird null gesetzt.

Durch Ausklammern erhältst du t3/400t+96/400-3/400·t + 96/400 = 0, was t₁ = 0 und t₂ = 32 ergibt. Das Hinreichende Kriterium e''(32) < 0 bestätigt das Maximum nach 32 Monaten.

Für den Wendepunkt (schnellster Anstieg) setzt du die zweite Ableitung null e''(t) = -6/400·t + 96/400 = 0. Das ergibt t = 16 Monate.

Das Erlöschen der Epidemie findest du durch e(t) = 0 - hier setzt du die ursprüngliche Funktion gleich null.

Wichtig Bei Anwendungsaufgaben immer die Einheiten beachten und das Ergebnis im Kontext interpretieren!

LK Mathematik 20/21
Nr. 1 25.09.2020
Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
Teil I: Hilfsmittelfreier Teil (max. 40 min)
Aufgabe 1:
Gegeben

Fortsetzung der Berechnungen

Die Wendepunkt-Berechnung wird hier abgeschlossen Bei t = 16 Monaten steigt die Zahl der Erkrankten am schnellsten. Das erkennst du daran, dass e''(16) = 0 und e'''(16) ≠ 0.

Für das Erlöschen der Epidemie musst du e(t) = 0 lösen. Das bedeutet -1/400t348t2t³ - 48t² = 0, also t³ - 48t² = 0.

Durch Ausklammern t²t48t - 48 = 0 erhältst du t₁ = 0 (Beginn) und t₂ = 48 (Ende der Epidemie).

🔢 Rechencheck Setze deine Ergebnisse immer in die ursprüngliche Funktion ein, um Fehler zu vermeiden!

LK Mathematik 20/21
Nr. 1 25.09.2020
Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
Teil I: Hilfsmittelfreier Teil (max. 40 min)
Aufgabe 1:
Gegeben

Hilfsmittelteil - Funktionsbestimmung

Im Hilfsmittelteil wird's komplexer! Du musst aus einem Graphen die Funktionsgleichung bestimmen. Die Funktion ist mindestens 4. Grades, weil sie vier Nullstellen und drei Extrempunkte hat.

Wegen der Achsensymmetrie vereinfacht sich f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e zu f(x) = ax⁴ + cx² + e. Die Punkte A, B, C, D aus der Grafik liefern dir ein Gleichungssystem.

Mit den Bedingungen f(0) = 3, f(1) = 0 und f(2) = 3 erhältst du e = 3, a + c + 3 = 0 und 16a + 4c + 3 = 3. Das Kontrollergebnis f(x) = x⁴ - 4x² + 3 bestätigt deine Rechnung.

Die Nullstellen findest du mit dem GTR x₁ ≈ -1,73, x₂ = -1, x₃ = 1, x₄ ≈ 1,73.

📊 GTR-Tipp Nutze "Poly Roots" für schnelle Nullstellenberechnung und "linsolve" für Gleichungssysteme!

LK Mathematik 20/21
Nr. 1 25.09.2020
Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
Teil I: Hilfsmittelfreier Teil (max. 40 min)
Aufgabe 1:
Gegeben

Medikamentenwirkung und Optimierungsprobleme

Die Medikamenten-Aufgabe c(t) = t³ - 18t² + 81t zeigt eine typische Anwendung der Kurvendiskussion. Die Funktion ist nur für t ≥ 0 sinnvoll, da negative Zeiten vor der Einnahme keinen Sinn ergeben.

Nach 45 Minuten (0,75 Stunden) beträgt die Konzentration c(0,75) ≈ 51,05 μg/ml. Das vollständige Abbauen erfolgt bei c(t) = 0, also nach 9 Stunden.

Die maximale Konzentration findest du über c'(t) = 0 Nach 3 Stunden mit c''(3) < 0 als Bestätigung.

Bei der Optimierungsaufgabe (Päckchen) stellst du die Extremalbedingung V = πr²h und die Nebenbedingung h + 4r ≤ 104 auf.

💊 Praxis-Bezug Solche Modelle helfen Ärzten, optimale Dosierungen zu bestimmen!

LK Mathematik 20/21
Nr. 1 25.09.2020
Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
Teil I: Hilfsmittelfreier Teil (max. 40 min)
Aufgabe 1:
Gegeben

Lösungen zur Funktionsbestimmung

Die Begründung für eine Funktion 4. Grades ist klar Vier Nullstellen und drei Extrempunkte sind eindeutige Indikatoren. Eine Funktion n-ten Grades hat maximal n-1 Extrempunkte.

Für die Funktionsgleichung nutzt du die Achsensymmetrie geschickt aus. Das reduziert die Unbekannten von fünf auf drei f(x) = ax⁴ + cx² + e.

Mit dem Gleichungssystem aus den gegebenen Punkten

  • f(0) = 3 → e = 3
  • f(1) = 0 → a + c + 3 = 0
  • f(2) = 3 → 16a + 4c + 3 = 3

Lösung a = 1, c = -4, e = 3, also f(x) = x⁴ - 4x² + 3.

Die Nullstellen mit dem GTR N₁(-√3|0), N₂(-1|0), N₃(1|0), N₄(√3|0).

Kontrolle Setze die Nullstellen in deine Funktion ein - das Ergebnis muss immer 0 sein!

LK Mathematik 20/21
Nr. 1 25.09.2020
Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
Teil I: Hilfsmittelfreier Teil (max. 40 min)
Aufgabe 1:
Gegeben

Rechteck-Optimierung unter der Kurve

Für das Flächenmaximum des Rechtecks unter der Kurve stellst du die Zielfunktion A(x) = 2x·f(x) auf. Die Breite ist 2x symmetrischzuryAchsesymmetrisch zur y-Achse, die Höhe f(x) = x⁴ - 4x² + 3.

Die Zielfunktion A(x) = 2x⁵ - 8x³ + 6x führt zu A'(x) = 10x⁴ - 24x² + 6. Mit dem GTR findest du die kritischen Stellen.

Bei x ≈ 0,53 liegt ein Maximum vor (A''(0,53) < 0). Die maximale Fläche beträgt etwa A(0,53) ≈ 2,07.

Die Rechteck-Eckpunkte sind P₁(-0,53|0), P₂(0,53|0), P₃(0,53|2,07), P₄(-0,53|2,07).

📐 Visualisierung Skizziere das Rechteck im Koordinatensystem - das hilft beim Verständnis!

LK Mathematik 20/21
Nr. 1 25.09.2020
Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
Teil I: Hilfsmittelfreier Teil (max. 40 min)
Aufgabe 1:
Gegeben

Medikamentenwirkung - Detailberechnungen

Die Modellgültigkeit beschränkt sich auf t ≥ 0, da vor der Medikamenteneinnahme keine Konzentration vorhanden ist. Nach 9 Stunden ist das Medikament vollständig abgebaut.

Die Konzentration nach 45 Minuten c(0,75) = (0,75)³ - 18(0,75)² + 81(0,75) ≈ 51,05 μg/ml. Umrechnung von Minuten in Stunden nicht vergessen!

Für den kompletten Abbau löst du c(t) = 0 t³ - 18t² + 81t = 0. Durch Ausklammern tt218t+81t² - 18t + 81 = 0 erhältst du t₁ = 0 und t₂ = 9.

Die maximale Konzentration tritt bei t = 3 Stunden auf. Das prüfst du mit c'(3) = 0 und c''(3) < 0.

Zeitumrechnung 45 Minuten = 0,75 Stunden - solche Umrechnungen sind klausurrelevant!

LK Mathematik 20/21
Nr. 1 25.09.2020
Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
Teil I: Hilfsmittelfreier Teil (max. 40 min)
Aufgabe 1:
Gegeben

Wendepunkt und Optimierung abschließen

Der schnellste Konzentrationsanstieg erfolgt am Wendepunkt bei t = 6 Stunden. Hier gilt c''(6) = 0 und c'''(6) ≠ 0.

Für die Schmerzausschaltung bei ≥ 80 μg/ml musst du c(t) = 80 lösen. Durch Probieren oder numerische Verfahren findest du Der Zustand hält von etwa t = 1,4 bis t = 5 Stunden an - also circa 3,6 Stunden.

Bei der Päckchen-Optimierung lautet die Extremalbedingung V = πr²h → max und die Nebenbedingung h + 4r ≤ 104. Daraus folgt h = 104 - 4r.

Die Zielfunktion V(r) = πr²1044r104 - 4r = 104πr² - 4πr³ führt zu V'(r) = 208πr - 12πr² für die weitere Berechnung.

🎯 Strategie Bei Optimierungsproblemen immer erst die Nebenbedingung in die Zielfunktion einsetzen!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

78

Smarte Tools NEU

Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen

Probeklausur
Quiz
Flashcards
Aufsatz

Ähnliche Inhalte

Ober- und Untersummen Berechnung

Erlerne die Berechnung von Ober- und Untersummen anhand der Funktion f(x) = 1 - x² im Intervall [0, 1]. Diese Zusammenfassung bietet eine Schritt-für-Schritt-Anleitung zur grafischen Darstellung, Zerlegung des Intervalls und zur Berechnung der Summen. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Integrationsmethoden vertraut machen möchten.

MatheMathe
11

Analyse von Funktionen

Diese Klausur behandelt die Analyse von Funktionen, einschließlich der Bestimmung von Funktionsgleichungen, Ableitungen, Extrempunkten und Wendepunkten. Sie umfasst sowohl den hilfsmittelfreien als auch den mit Hilfsmitteln durchgeführten Teil. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen in Mathematik vorbereiten. Themen: Differentialquotient, Kurvenverhalten, Anwendung der Differenzierung, und Gleichungssysteme.

MatheMathe
12

Kostenfunktionen und Gewinnanalyse

Erforschen Sie die Grundlagen der Wirtschaftsmathematik mit Fokus auf Kostenfunktionen, variable und fixe Kosten, sowie Gewinn- und Verlustrechnung. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Erklärung der Kostenstruktur, Grenzkosten, Break-even-Point und Betriebsoptimum. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Kostenanalyse vertiefen möchten.

MatheMathe
7

Zentrale Klausur Mathematik 2018

Diese Zusammenstellung umfasst die Aufgaben und Lösungen der zentralen Klausur im Fach Mathematik für das Jahr 2018. Die Themen beinhalten multistufige Zufallsexperimente, Funktionen und deren Ableitungen, Gewinnwahrscheinlichkeiten, sowie die Analyse von Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten und ihre Kenntnisse in Stochastik und Analysis vertiefen möchten.

MatheMathe
10

Kostentheorie: Gewinnmaximierung

Entdecken Sie die Grundlagen der Kostentheorie mit Fokus auf Gewinnfunktionen, Preis-Absatz-Funktionen und cournotische Punkte. Dieser Lernzettel behandelt wichtige Konzepte wie Betriebsoptimum, Monopol und Polypol sowie die mathematischen Grundlagen zur Gewinnmaximierung. Ideal für Studierende der Wirtschaftswissenschaften.

MatheMathe
11

Grenzwerte und Grenzverhalten

Erforschen Sie die Konzepte der Grenzwerte und das Grenzverhalten von Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt die Definition von Grenzwerten, Konvergenz und Divergenz sowie spezifische Beispiele für Grenzwerte im Unendlichen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Analysis vertiefen möchten.

MatheMathe
11

Beliebteste Inhalte: Maximumpunkt

Beliebteste Inhalte in Mathe

Beliebteste Inhalte

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

 

Mathe

2.383

2. Dez. 2025

13 Seiten

Eigenschaften und Beispiele von ganzrationalen Funktionen

Hier geht's um ganzrationale Funktionen und ihre praktische Anwendung! Du lernst, wie du Wendepunkte findest, Extremwerte berechnest und Funktionen für reale Probleme wie Epidemien oder Medikamentenwirkung nutzt.

LK Mathematik 20/21
Nr. 1 25.09.2020
Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
Teil I: Hilfsmittelfreier Teil (max. 40 min)
Aufgabe 1:
Gegeben

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Aufgabenstellung - Ganzrationale Funktionen

Du siehst hier eine typische Mathe-LK Klausur zu ganzrationalen Funktionen. Die Aufgaben zeigen dir, worauf es ankommt: Wendepunkte verstehen, Ableitungen richtig bilden und praktische Anwendungen lösen.

Bei der Funktion f(x) = 0,25x⁴ - 4x³ + 10,5x² musst du beweisen, dass maximal zwei Wendepunkte möglich sind. Der Trick? Die zweite Ableitung ist eine Funktion 2. Grades - mehr als zwei Nullstellen sind mathematisch unmöglich.

Die Ebola-Aufgabe zeigt, wie Mathematik echte Probleme modelliert. Mit der Funktion e(t) = 1/400t348t2t³ - 48t² berechnest du, wann eine Epidemie ihren Höhepunkt erreicht.

💡 Merke dir: Bei Wendepunkten gilt immer f''(x) = 0 UND f'''(x) ≠ 0. Beide Bedingungen müssen erfüllt sein!

LK Mathematik 20/21
Nr. 1 25.09.2020
Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
Teil I: Hilfsmittelfreier Teil (max. 40 min)
Aufgabe 1:
Gegeben

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Lösungsansätze - Wendepunkte und Ableitungen

Die Lösungsstrategie ist klar strukturiert: Erst alle Ableitungen bilden, dann systematisch die Bedingungen prüfen. Bei f(x) = 0,25x⁴ - 4x³ + 10,5x² erhältst du f''(x) = 3x² - 24x + 21.

Für Wendepunkte setzt du f''(x) = 0 und löst die quadratische Gleichung 3x² - 24x + 21 = 0. Mit der p-q-Formel findest du x₁ = 7 und x₂ = 1. Wichtig: Beide Werte müssen noch mit der dritten Ableitung geprüft werden!

Die Wendetangente berechnest du mit der Punkt-Steigungs-Form. An der Stelle x = 1 brauchst du f'(1) = 10 für die Steigung und f(1) = 6,75 für den y-Wert.

🎯 Tipp: Rechne immer sauber Schritt für Schritt - Flüchtigkeitsfehler bei Ableitungen kosten wertvolle Punkte!

LK Mathematik 20/21
Nr. 1 25.09.2020
Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
Teil I: Hilfsmittelfreier Teil (max. 40 min)
Aufgabe 1:
Gegeben

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Praxisanwendung - Epidemie-Modellierung

Bei der Epidemie-Aufgabe suchst du das Maximum der Erkrankten mit e(t) = -1/400t348t2t³ - 48t². Die erste Ableitung e'(t) = -3/400·t² + 96/400·t wird null gesetzt.

Durch Ausklammern erhältst du t3/400t+96/400-3/400·t + 96/400 = 0, was t₁ = 0 und t₂ = 32 ergibt. Das Hinreichende Kriterium e''(32) < 0 bestätigt das Maximum nach 32 Monaten.

Für den Wendepunkt (schnellster Anstieg) setzt du die zweite Ableitung null: e''(t) = -6/400·t + 96/400 = 0. Das ergibt t = 16 Monate.

Das Erlöschen der Epidemie findest du durch e(t) = 0 - hier setzt du die ursprüngliche Funktion gleich null.

Wichtig: Bei Anwendungsaufgaben immer die Einheiten beachten und das Ergebnis im Kontext interpretieren!

LK Mathematik 20/21
Nr. 1 25.09.2020
Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
Teil I: Hilfsmittelfreier Teil (max. 40 min)
Aufgabe 1:
Gegeben

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Fortsetzung der Berechnungen

Die Wendepunkt-Berechnung wird hier abgeschlossen: Bei t = 16 Monaten steigt die Zahl der Erkrankten am schnellsten. Das erkennst du daran, dass e''(16) = 0 und e'''(16) ≠ 0.

Für das Erlöschen der Epidemie musst du e(t) = 0 lösen. Das bedeutet: -1/400t348t2t³ - 48t² = 0, also t³ - 48t² = 0.

Durch Ausklammern: t²t48t - 48 = 0 erhältst du t₁ = 0 (Beginn) und t₂ = 48 (Ende der Epidemie).

🔢 Rechencheck: Setze deine Ergebnisse immer in die ursprüngliche Funktion ein, um Fehler zu vermeiden!

LK Mathematik 20/21
Nr. 1 25.09.2020
Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
Teil I: Hilfsmittelfreier Teil (max. 40 min)
Aufgabe 1:
Gegeben

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Hilfsmittelteil - Funktionsbestimmung

Im Hilfsmittelteil wird's komplexer! Du musst aus einem Graphen die Funktionsgleichung bestimmen. Die Funktion ist mindestens 4. Grades, weil sie vier Nullstellen und drei Extrempunkte hat.

Wegen der Achsensymmetrie vereinfacht sich f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e zu f(x) = ax⁴ + cx² + e. Die Punkte A, B, C, D aus der Grafik liefern dir ein Gleichungssystem.

Mit den Bedingungen f(0) = 3, f(1) = 0 und f(2) = 3 erhältst du: e = 3, a + c + 3 = 0 und 16a + 4c + 3 = 3. Das Kontrollergebnis f(x) = x⁴ - 4x² + 3 bestätigt deine Rechnung.

Die Nullstellen findest du mit dem GTR: x₁ ≈ -1,73, x₂ = -1, x₃ = 1, x₄ ≈ 1,73.

📊 GTR-Tipp: Nutze "Poly Roots" für schnelle Nullstellenberechnung und "linsolve" für Gleichungssysteme!

LK Mathematik 20/21
Nr. 1 25.09.2020
Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
Teil I: Hilfsmittelfreier Teil (max. 40 min)
Aufgabe 1:
Gegeben

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Medikamentenwirkung und Optimierungsprobleme

Die Medikamenten-Aufgabe c(t) = t³ - 18t² + 81t zeigt eine typische Anwendung der Kurvendiskussion. Die Funktion ist nur für t ≥ 0 sinnvoll, da negative Zeiten vor der Einnahme keinen Sinn ergeben.

Nach 45 Minuten (0,75 Stunden) beträgt die Konzentration c(0,75) ≈ 51,05 μg/ml. Das vollständige Abbauen erfolgt bei c(t) = 0, also nach 9 Stunden.

Die maximale Konzentration findest du über c'(t) = 0: Nach 3 Stunden mit c''(3) < 0 als Bestätigung.

Bei der Optimierungsaufgabe (Päckchen) stellst du die Extremalbedingung V = πr²h und die Nebenbedingung h + 4r ≤ 104 auf.

💊 Praxis-Bezug: Solche Modelle helfen Ärzten, optimale Dosierungen zu bestimmen!

LK Mathematik 20/21
Nr. 1 25.09.2020
Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
Teil I: Hilfsmittelfreier Teil (max. 40 min)
Aufgabe 1:
Gegeben

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Lösungen zur Funktionsbestimmung

Die Begründung für eine Funktion 4. Grades ist klar: Vier Nullstellen und drei Extrempunkte sind eindeutige Indikatoren. Eine Funktion n-ten Grades hat maximal n-1 Extrempunkte.

Für die Funktionsgleichung nutzt du die Achsensymmetrie geschickt aus. Das reduziert die Unbekannten von fünf auf drei: f(x) = ax⁴ + cx² + e.

Mit dem Gleichungssystem aus den gegebenen Punkten:

  • f(0) = 3 → e = 3
  • f(1) = 0 → a + c + 3 = 0
  • f(2) = 3 → 16a + 4c + 3 = 3

Lösung: a = 1, c = -4, e = 3, also f(x) = x⁴ - 4x² + 3.

Die Nullstellen mit dem GTR: N₁(-√3|0), N₂(-1|0), N₃(1|0), N₄(√3|0).

Kontrolle: Setze die Nullstellen in deine Funktion ein - das Ergebnis muss immer 0 sein!

LK Mathematik 20/21
Nr. 1 25.09.2020
Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
Teil I: Hilfsmittelfreier Teil (max. 40 min)
Aufgabe 1:
Gegeben

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Rechteck-Optimierung unter der Kurve

Für das Flächenmaximum des Rechtecks unter der Kurve stellst du die Zielfunktion A(x) = 2x·f(x) auf. Die Breite ist 2x symmetrischzuryAchsesymmetrisch zur y-Achse, die Höhe f(x) = x⁴ - 4x² + 3.

Die Zielfunktion A(x) = 2x⁵ - 8x³ + 6x führt zu A'(x) = 10x⁴ - 24x² + 6. Mit dem GTR findest du die kritischen Stellen.

Bei x ≈ 0,53 liegt ein Maximum vor (A''(0,53) < 0). Die maximale Fläche beträgt etwa A(0,53) ≈ 2,07.

Die Rechteck-Eckpunkte sind: P₁(-0,53|0), P₂(0,53|0), P₃(0,53|2,07), P₄(-0,53|2,07).

📐 Visualisierung: Skizziere das Rechteck im Koordinatensystem - das hilft beim Verständnis!

LK Mathematik 20/21
Nr. 1 25.09.2020
Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
Teil I: Hilfsmittelfreier Teil (max. 40 min)
Aufgabe 1:
Gegeben

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Medikamentenwirkung - Detailberechnungen

Die Modellgültigkeit beschränkt sich auf t ≥ 0, da vor der Medikamenteneinnahme keine Konzentration vorhanden ist. Nach 9 Stunden ist das Medikament vollständig abgebaut.

Die Konzentration nach 45 Minuten: c(0,75) = (0,75)³ - 18(0,75)² + 81(0,75) ≈ 51,05 μg/ml. Umrechnung von Minuten in Stunden nicht vergessen!

Für den kompletten Abbau löst du c(t) = 0: t³ - 18t² + 81t = 0. Durch Ausklammern: tt218t+81t² - 18t + 81 = 0 erhältst du t₁ = 0 und t₂ = 9.

Die maximale Konzentration tritt bei t = 3 Stunden auf. Das prüfst du mit c'(3) = 0 und c''(3) < 0.

Zeitumrechnung: 45 Minuten = 0,75 Stunden - solche Umrechnungen sind klausurrelevant!

LK Mathematik 20/21
Nr. 1 25.09.2020
Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
Teil I: Hilfsmittelfreier Teil (max. 40 min)
Aufgabe 1:
Gegeben

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Wendepunkt und Optimierung abschließen

Der schnellste Konzentrationsanstieg erfolgt am Wendepunkt bei t = 6 Stunden. Hier gilt c''(6) = 0 und c'''(6) ≠ 0.

Für die Schmerzausschaltung bei ≥ 80 μg/ml musst du c(t) = 80 lösen. Durch Probieren oder numerische Verfahren findest du: Der Zustand hält von etwa t = 1,4 bis t = 5 Stunden an - also circa 3,6 Stunden.

Bei der Päckchen-Optimierung lautet die Extremalbedingung V = πr²h → max und die Nebenbedingung h + 4r ≤ 104. Daraus folgt h = 104 - 4r.

Die Zielfunktion V(r) = πr²1044r104 - 4r = 104πr² - 4πr³ führt zu V'(r) = 208πr - 12πr² für die weitere Berechnung.

🎯 Strategie: Bei Optimierungsproblemen immer erst die Nebenbedingung in die Zielfunktion einsetzen!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

78

Smarte Tools NEU

Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen

Probeklausur
Quiz
Flashcards
Aufsatz

Ähnliche Inhalte

Ober- und Untersummen Berechnung

Erlerne die Berechnung von Ober- und Untersummen anhand der Funktion f(x) = 1 - x² im Intervall [0, 1]. Diese Zusammenfassung bietet eine Schritt-für-Schritt-Anleitung zur grafischen Darstellung, Zerlegung des Intervalls und zur Berechnung der Summen. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Integrationsmethoden vertraut machen möchten.

MatheMathe
11

Analyse von Funktionen

Diese Klausur behandelt die Analyse von Funktionen, einschließlich der Bestimmung von Funktionsgleichungen, Ableitungen, Extrempunkten und Wendepunkten. Sie umfasst sowohl den hilfsmittelfreien als auch den mit Hilfsmitteln durchgeführten Teil. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen in Mathematik vorbereiten. Themen: Differentialquotient, Kurvenverhalten, Anwendung der Differenzierung, und Gleichungssysteme.

MatheMathe
12

Kostenfunktionen und Gewinnanalyse

Erforschen Sie die Grundlagen der Wirtschaftsmathematik mit Fokus auf Kostenfunktionen, variable und fixe Kosten, sowie Gewinn- und Verlustrechnung. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Erklärung der Kostenstruktur, Grenzkosten, Break-even-Point und Betriebsoptimum. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Kostenanalyse vertiefen möchten.

MatheMathe
7

Zentrale Klausur Mathematik 2018

Diese Zusammenstellung umfasst die Aufgaben und Lösungen der zentralen Klausur im Fach Mathematik für das Jahr 2018. Die Themen beinhalten multistufige Zufallsexperimente, Funktionen und deren Ableitungen, Gewinnwahrscheinlichkeiten, sowie die Analyse von Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten und ihre Kenntnisse in Stochastik und Analysis vertiefen möchten.

MatheMathe
10

Kostentheorie: Gewinnmaximierung

Entdecken Sie die Grundlagen der Kostentheorie mit Fokus auf Gewinnfunktionen, Preis-Absatz-Funktionen und cournotische Punkte. Dieser Lernzettel behandelt wichtige Konzepte wie Betriebsoptimum, Monopol und Polypol sowie die mathematischen Grundlagen zur Gewinnmaximierung. Ideal für Studierende der Wirtschaftswissenschaften.

MatheMathe
11

Grenzwerte und Grenzverhalten

Erforschen Sie die Konzepte der Grenzwerte und das Grenzverhalten von Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt die Definition von Grenzwerten, Konvergenz und Divergenz sowie spezifische Beispiele für Grenzwerte im Unendlichen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Analysis vertiefen möchten.

MatheMathe
11

Beliebteste Inhalte: Maximumpunkt

Beliebteste Inhalte in Mathe

Beliebteste Inhalte

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user