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Aktualisiert Mar 18, 2026
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Grundlagen der Mathematik 12/1: Integralrechnung und Kurvendiskussion
antika
@antika_h
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Änderungsraten und Integralgrundlagen
Lokale Änderungsrate ist einfach die Steigung an einem bestimmten Punkt – also wie steil dein Graph genau dort ist. Du berechnest sie mit dem Grenzwert oder einfacher: f'(x₀). Bei f(x) = x² im Punkt x = 1 ist die Steigung beispielsweise 2.
Die mittlere Änderungsrate zeigt dir die durchschnittliche Steigung in einem ganzen Intervall. Die Formel ist simpel: m = / . Das ist wie die Steigung einer Geraden zwischen zwei Punkten.
Bestimmte Integrale geben dir die Flächenbilanz zwischen Graph und x-Achse an. Mit ∫[a bis b] f(x)dx = F(b) - F(a) berechnest du konkrete Zahlenwerte. Unbestimmte Integrale sind dagegen Funktionsscharen mit der Konstante C.
Merktipp: Bestimmtes Integral = konkrete Zahl, unbestimmtes Integral = Funktionsschar mit +C
Integralfunktionen haben eine feste untere Grenze a und eine variable obere Grenze x. Sie haben immer mindestens eine Nullstelle bei x = a und sind automatisch Stammfunktionen von f(x).
Stammfunktionen finden - Die wichtigsten Regeln
Polynome integrierst du mit der Hochzahlregel: Aus x^n wird x^/ + C. Wurzeln schreibst du erst als Potenz um , dann normal integrieren.
Bei e-Funktionen bleibt alles beim Alten: ∫e^x dx = e^x + C. Sinus und Cosinus drehen sich gegen den Uhrzeigersinn: sin → -cos, cos → -sin.
Gebrochen-rationale Funktionen haben drei Strategien: 1) Ist der Zähler die Ableitung des Nenners? Dann wird's ln|v(x)|. 2) Steht im Nenner eine Potenz? Umformen zu a·x^. 3) "Herzbrüche" aufspalten.
Profi-Tipp: Bei 1/x wird's immer ln|x| + C, das ist die Ausnahme zur Hochzahlregel
Die lineare Kettenregel beim Integrieren: ∫fdx = ·F + C. Vergiss den Faktor 1/a nicht!
Graphisches Integrieren und Anwendungen
Beim graphischen Integrieren gilt die NEW-Regel: Nullstellen, Extrema und Wendepunkte "wandern" von f zu F. Symmetrie ping-pongt: Ist f achsensymmetrisch, wird F punktsymmetrisch und umgekehrt.
Wichtige Merkregel: Wo f positiv ist, steigt F. Wo f negativ ist, fällt F. Asymptoten bleiben meist erhalten, aber senkrechte drehen ihre Symmetrie.
Schnittflächen berechnest du in zwei Schritten: Erst Schnittpunkte finden , dann ∫[x₁ bis x₂] |f(x) - g(x)| dx rechnen. Das Betragszeichen sorgt für positive Flächenwerte.
Klausur-Hack: Bei Schnittflächen immer erst skizzieren, welche Funktion oben liegt!
Für die Kurvendiskussion arbeitest du systematisch ab: Nullstellen , y-Achsenabschnitt (f(0)), Randverhalten mit Grenzwerten, dann Extrema über f'(x) = 0 und Monotonietabelle. Wichtige Grenzwerte: e^∞ → ∞, ln(∞) → ∞, 1/∞ → 0.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
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Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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Elisha
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iOS-Nutzer
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antika
@antika_h
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Lokale Änderungsrate ist einfach die Steigung an einem bestimmten Punkt – also wie steil dein Graph genau dort ist. Du berechnest sie mit dem Grenzwert oder einfacher: f'(x₀). Bei f(x) = x² im Punkt x = 1 ist die Steigung beispielsweise 2.
Die mittlere Änderungsrate zeigt dir die durchschnittliche Steigung in einem ganzen Intervall. Die Formel ist simpel: m = / . Das ist wie die Steigung einer Geraden zwischen zwei Punkten.
Bestimmte Integrale geben dir die Flächenbilanz zwischen Graph und x-Achse an. Mit ∫[a bis b] f(x)dx = F(b) - F(a) berechnest du konkrete Zahlenwerte. Unbestimmte Integrale sind dagegen Funktionsscharen mit der Konstante C.
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Gebrochen-rationale Funktionen haben drei Strategien: 1) Ist der Zähler die Ableitung des Nenners? Dann wird's ln|v(x)|. 2) Steht im Nenner eine Potenz? Umformen zu a·x^. 3) "Herzbrüche" aufspalten.
Profi-Tipp: Bei 1/x wird's immer ln|x| + C, das ist die Ausnahme zur Hochzahlregel
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Beim graphischen Integrieren gilt die NEW-Regel: Nullstellen, Extrema und Wendepunkte "wandern" von f zu F. Symmetrie ping-pongt: Ist f achsensymmetrisch, wird F punktsymmetrisch und umgekehrt.
Wichtige Merkregel: Wo f positiv ist, steigt F. Wo f negativ ist, fällt F. Asymptoten bleiben meist erhalten, aber senkrechte drehen ihre Symmetrie.
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Für die Kurvendiskussion arbeitest du systematisch ab: Nullstellen , y-Achsenabschnitt (f(0)), Randverhalten mit Grenzwerten, dann Extrema über f'(x) = 0 und Monotonietabelle. Wichtige Grenzwerte: e^∞ → ∞, ln(∞) → ∞, 1/∞ → 0.
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Stefan S
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Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Paul T
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Anna
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
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