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antika
4.12.2025
Mathe
Grundlagen 12/1
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4. Dez. 2025
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antika
@antika_h
Hier ist der ultimative Spickzettel für deine Mathe-Klausur! Von lokalen... Mehr anzeigen
Lokale Änderungsrate ist einfach die Steigung an einem bestimmten Punkt – also wie steil dein Graph genau dort ist. Du berechnest sie mit dem Grenzwert oder einfacher: f'(x₀). Bei f(x) = x² im Punkt x = 1 ist die Steigung beispielsweise 2.
Die mittlere Änderungsrate zeigt dir die durchschnittliche Steigung in einem ganzen Intervall. Die Formel ist simpel: m = / . Das ist wie die Steigung einer Geraden zwischen zwei Punkten.
Bestimmte Integrale geben dir die Flächenbilanz zwischen Graph und x-Achse an. Mit ∫ f(x)dx = F(b) - F(a) berechnest du konkrete Zahlenwerte. Unbestimmte Integrale sind dagegen Funktionsscharen mit der Konstante C.
Merktipp: Bestimmtes Integral = konkrete Zahl, unbestimmtes Integral = Funktionsschar mit +C
Integralfunktionen haben eine feste untere Grenze a und eine variable obere Grenze x. Sie haben immer mindestens eine Nullstelle bei x = a und sind automatisch Stammfunktionen von f(x).
Polynome integrierst du mit der Hochzahlregel: Aus x^n wird x^/ + C. Wurzeln schreibst du erst als Potenz um , dann normal integrieren.
Bei e-Funktionen bleibt alles beim Alten: ∫e^x dx = e^x + C. Sinus und Cosinus drehen sich gegen den Uhrzeigersinn: sin → -cos, cos → -sin.
Gebrochen-rationale Funktionen haben drei Strategien: 1) Ist der Zähler die Ableitung des Nenners? Dann wird's ln|v(x)|. 2) Steht im Nenner eine Potenz? Umformen zu a·x^. 3) "Herzbrüche" aufspalten.
Profi-Tipp: Bei 1/x wird's immer ln|x| + C, das ist die Ausnahme zur Hochzahlregel
Die lineare Kettenregel beim Integrieren: ∫fdx = ·F + C. Vergiss den Faktor 1/a nicht!
Beim graphischen Integrieren gilt die NEW-Regel: Nullstellen, Extrema und Wendepunkte "wandern" von f zu F. Symmetrie ping-pongt: Ist f achsensymmetrisch, wird F punktsymmetrisch und umgekehrt.
Wichtige Merkregel: Wo f positiv ist, steigt F. Wo f negativ ist, fällt F. Asymptoten bleiben meist erhalten, aber senkrechte drehen ihre Symmetrie.
Schnittflächen berechnest du in zwei Schritten: Erst Schnittpunkte finden , dann ∫ |f(x) - g(x)| dx rechnen. Das Betragszeichen sorgt für positive Flächenwerte.
Klausur-Hack: Bei Schnittflächen immer erst skizzieren, welche Funktion oben liegt!
Für die Kurvendiskussion arbeitest du systematisch ab: Nullstellen , y-Achsenabschnitt (f(0)), Randverhalten mit Grenzwerten, dann Extrema über f'(x) = 0 und Monotonietabelle. Wichtige Grenzwerte: e^∞ → ∞, ln(∞) → ∞, 1/∞ → 0.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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antika
@antika_h
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Lokale Änderungsrate ist einfach die Steigung an einem bestimmten Punkt – also wie steil dein Graph genau dort ist. Du berechnest sie mit dem Grenzwert oder einfacher: f'(x₀). Bei f(x) = x² im Punkt x = 1 ist die Steigung beispielsweise 2.
Die mittlere Änderungsrate zeigt dir die durchschnittliche Steigung in einem ganzen Intervall. Die Formel ist simpel: m = / . Das ist wie die Steigung einer Geraden zwischen zwei Punkten.
Bestimmte Integrale geben dir die Flächenbilanz zwischen Graph und x-Achse an. Mit ∫ f(x)dx = F(b) - F(a) berechnest du konkrete Zahlenwerte. Unbestimmte Integrale sind dagegen Funktionsscharen mit der Konstante C.
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Smarte Tools NEU
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Entdecken Sie die Grundlagen der Kosten- und Preistheorie, einschließlich Kostenverläufe, Grenzkostenfunktionen, Durchschnittskosten und Marktgleichgewicht. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie die Berechnung von Extremstellen, Wendepunkten und die Preisbildung durch Angebot und Nachfrage. Ideal für Studierende der Wirtschaftswissenschaften, die sich auf Kostenrechnung und Marktanalysen vorbereiten.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Analyse von Funktionen, einschließlich der Bestimmung von Extrempunkten, Wendepunkten und der Anwendung von Ableitungen. Sie umfasst auch die Berechnung von Laktatkonzentrationen in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit sowie die Modellierung von Flugbahnen. Ideal für Studierende der Differential- und Integralrechnung, die sich auf Klausuren vorbereiten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Grenzwertbetrachtung für Funktionen, einschließlich der Analyse gegen Unendlichkeit und spezifische Werte. Diese Zusammenfassung behandelt Testeinsetzungen, Thermvereinfachungen und die Anwendung der Binomischen Formel. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Grenzwertprozesse vertiefen möchten.
MatheErfahren Sie, wie Sie die Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen für einen polypolistischen Betrieb berechnen. Diese Zusammenfassung behandelt die Bestimmung des Break-Even-Punkts (BEP) und die Analyse von variablen und fixen Kosten. Ideal für Studierende der Wirtschaftswissenschaften, die sich mit betriebswirtschaftlichen Grundlagen beschäftigen.
MatheErlerne die Berechnung von Ober- und Untersummen anhand der Funktion f(x) = 1 - x² im Intervall [0, 1]. Diese Zusammenfassung bietet eine Schritt-für-Schritt-Anleitung zur grafischen Darstellung, Zerlegung des Intervalls und zur Berechnung der Summen. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Integrationsmethoden vertraut machen möchten.
MatheErforschen Sie die Konzepte der Grenzwerte und das Grenzverhalten von Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt die Definition von Grenzwerten, Konvergenz und Divergenz sowie spezifische Beispiele für Grenzwerte im Unendlichen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Analysis vertiefen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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