Erste Klausur: Ganzrationale Funktionen und Ableitung

Grundlagen der Ableitung

Die mittlere Änderungsrate ist wie der Durchschnittswert - sie zeigt dir, wie sich eine Funktion über ein ganzes Intervall verändert. Du berechnest sie mit der Formel: M = $f(x₀+h) - f(x₀)$/h, was auch der Steigung der Sekante durch zwei Punkte entspricht.

Die momentane Änderungsrate ist viel präziser - sie gibt dir die exakte Veränderung an einem bestimmten Punkt. Das ist die Ableitung f'(x₀), die du als Grenzwert erhältst: f'(x₀) = lim (h→0) $f(x₀+h) - f(x₀)$/h.

Die Ableitung entspricht der Steigung der Tangente an diesem Punkt. Wenn f'$x$ > 0 ist, steigt die Funktion (streng monoton steigend). Ist f'$x$ < 0, fällt sie (streng monoton fallend).

Tipp: Mit dem Taschenrechner findest du Tangenten schnell über Shift → Sketch → Tangente!

Tangentengleichung bestimmen: 1) Ableitung bilden, 2) x₀ einsetzen für die Steigung m, 3) Punkt in y = mx + n einsetzen, um n zu finden.

Die wichtigsten Ableitungsregeln

Mit der Faktorregel bleibt ein konstanter Faktor erhalten: f$x$ = r·g$x$ → f'$x$ = r·g'$x$. Bei 2x³ wird das zu 2·3x² = 6x².

Die Summenregel ist super einfach - du leitest jeden Term einzeln ab: f$x$ = k$x$ + h$x$ → f'$x$ = k'$x$ + h'$x$. Aus 2x³ + 4x² wird also 6x² + 8x.

Die Potenzregel ist dein bester Freund: f$x$ = xⁿ → f'$x$ = n·xⁿ⁻¹. Du ziehst den Exponenten nach vorne und ziehst 1 davon ab. x³ wird zu 3x².

Merkhilfe: Exponent nach vorne, dann um 1 verringern!

Bei Extremstellen ändert sich das Monotonieverhalten - dort hat f'$x$ eine Nullstelle und einen Vorzeichenwechsel (VZW).

Zusammenhang zwischen f, f' und f''

Die erste Ableitung f' gibt dir die Steigung der ursprünglichen Funktion an. Positive Bereiche bedeuten steigende Funktion, negative Bereiche fallende Funktion.

Extrempunkte entstehen bei Nullstellen von f' - dort ist die Steigung null (waagerechte Tangente). Wechselt f' von + nach -, hast du einen Hochpunkt (HP). Wechselt f' von - nach +, ist es ein Tiefpunkt (TP).

Die zweite Ableitung f'' zeigt dir Wendepunkte und die Krümmung an. Nullstellen von f'' ergeben Wendepunkte bei f.

Visualisierungstipp: Je steiler die Kurve, desto höher oder tiefer die Ableitung!

Zeichenregeln: Bei Nullstellen von f' zeichnest du waagerechte Tangenten bei f ein. Bei Nullstellen von f'' entstehen Wendepunkte. Du verbindest am Ende alle Punkte zu einem sinnvollen Graphen.

Zusatzwissen und Grundlagen

Scheitelpunktform: f$x$ = a$x-d$² + e hat den Scheitelpunkt bei S(d|e). Die allgemeine Form ax² + bx + c hat den y-Achsenabschnitt bei c.

Bei Textaufgaben bedeutet "Geschwindigkeit nach 5 Sekunden": v(5) = 25. "Momentane Änderung der Geschwindigkeit" ist die Ableitung, also die Beschleunigung.

Zahlenmengen: ℕ (natürliche Zahlen), ℕ₀ (mit Null), ℤ (ganze Zahlen), ℚ (rationale Zahlen), ℝ (reelle Zahlen).

Eselsbrücke: Proportional = "doppelt-doppelt", Antiproportional = "doppelt-halb"!

Binomische Formeln sind wichtig: $a+b$² = a² + 2ab + b², $a-b$² = a² - 2ab + b², a+b$$a-b = a² - b².

Ganzrationale Funktionen bestimmen

Du bekommst immer Vorgaben: Grad der Funktion, Symmetrie und bestimmte Punkte (normale Punkte, Hoch-/Tiefpunkte, Wendepunkte).

Bei Achsensymmetrie zur y-Achse streichst du alle ungeraden Exponenten weg. Bei Punktsymmetrie zum Ursprung bleiben nur ungerade Exponenten übrig.

Lösungsstrategie: 1) Funktionsansatz aufstellen, 2) Symmetrie berücksichtigen, 3) Punkte einsetzen: f(x₀) = y₀, 4) Bei Extrempunkten: f'(x₀) = 0, 5) Bei Wendepunkten: f''(x₀) = 0.

Du erhältst so viele Gleichungen wie unbekannte Variablen hast. Diese löst du am besten mit dem Taschenrechner (Menü → Equa → A → Anzahl Unbekannte eingeben).

Taschenrechner-Tipp: Bei f(2) = -1 gibst du ein: 16a + 4c + e = -1

Rücksubstitution: Wenn eine Variable bestimmt ist, setzt du sie sofort in die anderen Gleichungen ein, bis alle Werte bekannt sind.

Kurvendiskussion - Definitionsmenge

Die Definitionsmenge Df umfasst alle x-Werte, die du in eine Funktion einsetzen darfst. Das ist der erste Schritt jeder Kurvendiskussion.

Bei ganzrationalen Funktionen wie x² - 4x + 4 gilt: Df = ℝ (alle reellen Zahlen). Du kannst jeden beliebigen x-Wert einsetzen.

Kritische Stellen entstehen bei: Brüchen (Nenner darf nicht null werden!) - z.B. 1/x hat Df = ℝ{0}. Bei Wurzeln dürfen keine negativen Zahlen unter der Wurzel stehen - √$x-2$ hat Df = ℝ≥2.

Faustregel: Was macht mathematisch keinen Sinn? Das darf nicht in die Definitionsmenge!

Beispiele: f$x$ = 1/$x-3$ → Df = ℝ{3}, f$x$ = √x → Df = ℝ≥0, f$x$ = 7/$x²-4$ → Df = ℝ{-2; 2}.

Symmetrie prüfen

Achsensymmetrie zur y-Achse liegt vor, wenn nur gerade Exponenten auftreten. Test: f$-x$ = f$x$. Die Funktion ist "spiegelgleich" zur y-Achse.

Punktsymmetrie zum Ursprung erkennst du an nur ungeraden Exponenten. Test: f$-x$ = -f$x$. Drehst du den Graph um 180° um den Ursprung, sieht er gleich aus.

Praktisches Vorgehen: 1) Setze -x für jedes x ein, 2) Vereinfache den Term, 3) Vergleiche mit f$x$ oder -f$x$.

Merkregel: Gerade Exponenten = achsensymmetrisch, ungerade = punktsymmetrisch!

Beispiel: f$x$ = x⁴ + x² ist achsensymmetrisch, weil f$-x$ = $-x$⁴ + $-x$² = x⁴ + x² = f$x$. Gemischte Exponenten bedeuten keine Symmetrie.

Verhalten im Unendlichen

Das Verhalten für x → ±∞ wird vom höchsten Exponenten bestimmt. Du betrachtest nur den Term mit der größten Potenz: y = axⁿ.

Grenzwerte schreibst du als: lim $x→+∞$ f$x$ und lim $x→-∞$ f$x$. Diese sagen dir, wie sich der Graph links und rechts verhält.

Regeln: Bei geradem Exponenten gehen beide Äste in dieselbe Richtung (beide nach +∞ oder -∞). Bei ungeradem Exponenten gehen sie in entgegengesetzte Richtungen.

Das Vorzeichen des höchsten Koeffizienten entscheidet: Positiv bedeutet "nach oben", negativ "nach unten".

Beispiel: lim $x→-∞$ $-2x³$ = +∞, weil (-∞)³ = -∞ und $-2$·(-∞) = +∞

Praktisch: x → -∞ bestimmt den Verlauf links, x → +∞ den Verlauf rechts der y-Achse.

Nullstellen finden

Nullstellen findest du, indem du f$x$ = 0 setzt. Es gibt verschiedene Lösungsverfahren je nach Funktionstyp.

Ausklammern funktioniert, wenn alle Terme einen gemeinsamen Faktor haben. Bei x² - 2x = x$x - 2$ = 0 erhältst du x₁ = 0 und x₂ = 2.

Die pq-Formel nutzt du bei quadratischen Gleichungen: x = -p/2 ± √$(p/2)² - q$. Wichtig: Erst in die Form x² + px + q = 0 bringen!

Substitution hilft bei Funktionen mit nur geraden oder ungeraden Exponenten. Setze z = x² und löse die entstehende quadratische Gleichung.

Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist!

Mehrfache Nullstellen: $x+1$¹ = einfache, $x-3$² = doppelte, $x-1$³ = dreifache Nullstelle. Das beeinflusst das Verhalten des Graphen an diesen Stellen.

Extrempunkte bestimmen

Extrempunkte findest du durch zwei Kriterien: Notwendig ist f'$x$ = 0 (waagerechte Tangente). Hinreichend ist f''$x$ ≠ 0 (keine Sattelpunkte).

Auswertung der zweiten Ableitung: f'(x₀) = 0 ∧ f''(x₀) < 0 = lokales Maximum (Hochpunkt). f'(x₀) = 0 ∧ f''(x₀) > 0 = lokales Minimum (Tiefpunkt).

Alternative: Vorzeichenwechsel-Kriterium - prüfe das Vorzeichen von f' links und rechts der Nullstelle. Wechsel von + nach - = Hochpunkt, von - nach + = Tiefpunkt.

Vorgehen: 1) f'$x$ und f''$x$ bilden, 2) f'$x$ = 0 lösen, 3) Kandidaten in f''$x$ einsetzen, 4) y-Koordinaten durch Einsetzen in f$x$ bestimmen.

Unterschied: Lokale Extrema sind "Gipfel/Täler" in der Umgebung, globale sind die absolut höchsten/tiefsten Punkte!

Krümmungsverhalten: f''$x$ > 0 = linksgekrümmt (Tal), f''$x$ < 0 = rechtsgekrümmt (Berg).