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5.504
•
7. Dez. 2025
•
Zou<3
@zou_03
Diese Zusammenfassung hilft dir, die wichtigsten Inhalte zur Exponentialfunktionen und... Mehr anzeigen
Exponentialgleichungen lassen sich oft durch geschicktes Umformen lösen. Du musst dabei die Eigenschaften von Potenzen nutzen!
Bei Gleichungen wie 2^ = 64 kannst du beide Seiten auf die gleiche Basis bringen. Da 64 = 2^6 ist, erhältst du 2^ = 2^6, woraus x-2 = 6 folgt, also x = 8.
Ähnlich funktioniert es bei Gleichungen wie 3^x = 1/81. Hier kannst du die rechte Seite als 3^(-4) schreiben und erhältst x = -4.
Merke: Bei Exponentialgleichungen mit gleicher Basis müssen die Exponenten gleich sein! Wenn a^r = a^s, dann gilt r = s.
Bei Transformationsaufgaben ist es wichtig zu erkennen, wie eine Funktion verschoben, gestreckt oder gestaucht wurde. Zum Beispiel wurde f(x) = 3·0,4^ + 1 aus g(x) = 0,4^x abgeleitet durch: Streckung mit Faktor 3, Verschiebung um 2 nach rechts und um 1 nach oben.
Bei komplexeren Exponentialgleichungen wie 4·11^ = 9·5^ musst du auf beiden Seiten Logarithmen verwenden.
Für Gleichungen mit verschiedenen Basen kannst du den Logarithmus auf beiden Seiten anwenden. Bei 3·5^(2x) = 7^ isolierst du zunächst die Exponentialterme und verwendest dann Logarithmen zur Lösung.
Gleichungen wie 2^x + x = 3 lassen sich nicht direkt mit Logarithmen lösen. Hier musst du numerische Verfahren oder Probieren anwenden.
Tipp: Bei Gleichungen mit mehreren Exponentialausdrücken auf beiden Seiten hilft es oft, Terme so zu gruppieren, dass du logarithmieren kannst.
Bei Wachstumsprozessen stellst du Funktionen der Form f(t) = c·a^t auf. Zum Beispiel wird ein Anfangsbestand von 1500, der sich alle 12 Stunden halbiert, durch f(t) = 1500·0,5^ beschrieben. Die Zeit t wird hier in Stunden gemessen.
Beim Bakterienwachstum arbeiten wir mit Exponentialfunktionen der Form m(t) = m₀·a^t, wobei m₀ der Anfangsbestand und a der Wachstumsfaktor ist.
Wenn ein Bakterienstamm mit 50 Individuen täglich um 20% wächst, bedeutet das einen Wachstumsfaktor von 1,2. Die Funktion lautet also m(t) = 50·1,2^t. Nach einer Woche gibt es etwa 179 Bakterien.
Um den Zeitpunkt zu berechnen, wann ein bestimmter Bestand erreicht wird, stellst du eine Gleichung auf und löst nach t auf. Für 200 Bakterien: 200 = 50·1,2^t, was zu t ≈ 7,6 Tage führt.
Praktischer Tipp: Die Verdopplungszeit eines exponentiellen Wachstums kannst du mit der Gleichung 2·m₀ = m₀·a^t berechnen, was zu t = log₂(a) führt.
Wenn sich die Wachstumsbedingungen ändern, kannst du den neuen Wachstumsfaktor aus gegebenen Werten berechnen. Wenn aus 50 Bakterien nach 5 Tagen 80 werden, gilt 80 = 50·a^5, woraus sich a ≈ 1,1 ergibt.
Der radioaktive Zerfall folgt einer exponentiellen Abnahme, beschrieben durch f(t) = A₀·a^t, wobei a < 1 ist und der täglichen Abnahme entspricht.
Wenn täglich 16,5% des Radons zerfallen, verbleiben täglich 83,5%. Unsere Funktion lautet also f(t) = 20·0,835^t mit 20g als Anfangsmenge. Die Halbwertszeit (HWZ) berechnen wir, indem wir die Zeit bestimmen, nach der nur noch die Hälfte vorhanden ist: 10 = 20·0,835^HWZ, was zu HWZ ≈ 3,84 Tage führt.
Nach 5 Tagen sind noch etwa 8,2g Radon vorhanden. Unter 1g fällt die Menge nach etwa 16,6 Tagen. Die prozentuale Abnahme nach 14 Tagen beträgt etwa 92%.
Wichtig zu verstehen: Bei exponentiellem Zerfall nimmt die Menge prozentual immer gleich ab, während die absolute Abnahme mit der Zeit kleiner wird.
Lineares und exponentielles Wachstum unterscheiden sich grundlegend:
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Samantha Klich
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Sudenaz Ocak
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Zou<3
@zou_03
Diese Zusammenfassung hilft dir, die wichtigsten Inhalte zur Exponentialfunktionen und Exponentialgleichungen zu verstehen. Wir schauen uns verschiedene Aufgabentypen an - von einfachen Gleichungen bis hin zu praktischen Anwendungen wie Bakterienwachstum oder radioaktivem Zerfall.
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Exponentialgleichungen lassen sich oft durch geschicktes Umformen lösen. Du musst dabei die Eigenschaften von Potenzen nutzen!
Bei Gleichungen wie 2^ = 64 kannst du beide Seiten auf die gleiche Basis bringen. Da 64 = 2^6 ist, erhältst du 2^ = 2^6, woraus x-2 = 6 folgt, also x = 8.
Ähnlich funktioniert es bei Gleichungen wie 3^x = 1/81. Hier kannst du die rechte Seite als 3^(-4) schreiben und erhältst x = -4.
Merke: Bei Exponentialgleichungen mit gleicher Basis müssen die Exponenten gleich sein! Wenn a^r = a^s, dann gilt r = s.
Bei Transformationsaufgaben ist es wichtig zu erkennen, wie eine Funktion verschoben, gestreckt oder gestaucht wurde. Zum Beispiel wurde f(x) = 3·0,4^ + 1 aus g(x) = 0,4^x abgeleitet durch: Streckung mit Faktor 3, Verschiebung um 2 nach rechts und um 1 nach oben.
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Bei komplexeren Exponentialgleichungen wie 4·11^ = 9·5^ musst du auf beiden Seiten Logarithmen verwenden.
Für Gleichungen mit verschiedenen Basen kannst du den Logarithmus auf beiden Seiten anwenden. Bei 3·5^(2x) = 7^ isolierst du zunächst die Exponentialterme und verwendest dann Logarithmen zur Lösung.
Gleichungen wie 2^x + x = 3 lassen sich nicht direkt mit Logarithmen lösen. Hier musst du numerische Verfahren oder Probieren anwenden.
Tipp: Bei Gleichungen mit mehreren Exponentialausdrücken auf beiden Seiten hilft es oft, Terme so zu gruppieren, dass du logarithmieren kannst.
Bei Wachstumsprozessen stellst du Funktionen der Form f(t) = c·a^t auf. Zum Beispiel wird ein Anfangsbestand von 1500, der sich alle 12 Stunden halbiert, durch f(t) = 1500·0,5^ beschrieben. Die Zeit t wird hier in Stunden gemessen.
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Beim Bakterienwachstum arbeiten wir mit Exponentialfunktionen der Form m(t) = m₀·a^t, wobei m₀ der Anfangsbestand und a der Wachstumsfaktor ist.
Wenn ein Bakterienstamm mit 50 Individuen täglich um 20% wächst, bedeutet das einen Wachstumsfaktor von 1,2. Die Funktion lautet also m(t) = 50·1,2^t. Nach einer Woche gibt es etwa 179 Bakterien.
Um den Zeitpunkt zu berechnen, wann ein bestimmter Bestand erreicht wird, stellst du eine Gleichung auf und löst nach t auf. Für 200 Bakterien: 200 = 50·1,2^t, was zu t ≈ 7,6 Tage führt.
Praktischer Tipp: Die Verdopplungszeit eines exponentiellen Wachstums kannst du mit der Gleichung 2·m₀ = m₀·a^t berechnen, was zu t = log₂(a) führt.
Wenn sich die Wachstumsbedingungen ändern, kannst du den neuen Wachstumsfaktor aus gegebenen Werten berechnen. Wenn aus 50 Bakterien nach 5 Tagen 80 werden, gilt 80 = 50·a^5, woraus sich a ≈ 1,1 ergibt.
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Nach 5 Tagen sind noch etwa 8,2g Radon vorhanden. Unter 1g fällt die Menge nach etwa 16,6 Tagen. Die prozentuale Abnahme nach 14 Tagen beträgt etwa 92%.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Anna
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Greenlight Bonnie
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