Mathematik

Exponential- und logistische Modelle

2.218

•

26. Jan. 2026

•

3 Seiten

Exponentielles Wachstum einfach erklärt

luischen

@luischen16

Exponentielles Wachstum begegnet dir überall - von der Vermehrung von... Mehr anzeigen

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$# Exponentielles Wachstum Lineare Funktion Funktionsgraph. Gerade Funktionsgleichung: f(x)=mx+b m. Steigung der Geraden $m=\frac{y_2-y_1$

Grundlagen: Linear vs. Exponentiell

Lineares Wachstum kennst du bereits: Bei einer Geraden mit der Gleichung f(x) = mx + b kommt in gleichen Zeitabständen immer die gleiche Menge dazu. Die Steigung m bleibt konstant, b ist der y-Achsenabschnitt.

Exponentielles Wachstum funktioniert anders: Hier wird die vorhandene Menge immer mit dem gleichen Wachstumsfaktor multipliziert. Die Formel lautet B(t) = a · b^t, wobei a der Anfangsbestand und b der Wachstumsfaktor ist.

Der Trick liegt in der Prozentrechnung: Bei einer Zunahme um p% ist der Wachstumsfaktor q = $1 + p/100$ . Bei 3% Wachstum rechnest du also mit dem Faktor 1,03. Das kennst du vom Zinseszins: K_n = K_0 · $1 + p/100$ ^n.

Merktipp: Beim linearen Wachstum addierst du, beim exponentiellen multiplizierst du!

Ein Beispiel: 5000€ bei 3% Zinsen über 7 Jahre ergeben K_7 = 5000€ · 1,03^7 ≈ 6149,37€.

$# Exponentielles Wachstum Lineare Funktion Funktionsgraph. Gerade Funktionsgleichung: f(x)=mx+b m. Steigung der Geraden $m=\frac{y_2-y_1$

Exponentieller Zerfall und Eigenschaften

Exponentielle Abnahme läuft genauso ab, nur rückwärts: Der Abnahmefaktor liegt zwischen 0 und 1. Bei p% Abnahme rechnest du mit $1 - p/100$ . Radioaktive Stoffe zerfallen so - nach der Halbwertszeit ist die Hälfte verschwunden.

Die Verdopplungszeit kannst du schnell schätzen: d = 72/p (p ist die Wachstumsrate in Prozent). Bei 3% Wachstum dauert es etwa 24 Jahre bis zur Verdopplung.

Exponentialfunktionen haben besondere Eigenschaften: Sie haben keinen Schnittpunkt mit der x-Achse, schneiden die y-Achse bei (0|1), und ihre Definitionsmenge ist ℝ. Bei b > 1 steigt der Graph, bei 0 < b < 1 fällt er.

Grundregel: Wächst x um eine Einheit, wird der Funktionswert mit b multipliziert.

Die Grundeigenschaft: f $x+3$ = f(x) · b³ - das macht Exponentialfunktionen so vorhersagbar!

$# Exponentielles Wachstum Lineare Funktion Funktionsgraph. Gerade Funktionsgleichung: f(x)=mx+b m. Steigung der Geraden $m=\frac{y_2-y_1$

Graphen verändern und Funktionen finden

Du kannst Exponentialfunktionen auf verschiedene Weise transformieren: g(x) = a·b^x streckt den Graph um den Faktor a in y-Richtung. Den Streckfaktor siehst du am y-Achsenabschnitt.

Verschiebungen funktionieren so: f(x) = b^x + d verschiebt um d Einheiten nach oben (d > 0) oder unten (d < 0). f(x) = b^ $x+c$ verschiebt um c Einheiten nach links (c > 0) oder rechts (c < 0).

Cleverer Trick: Eine x-Verschiebung entspricht einer y-Streckung! b^ $x+c$ = b^c · b^x bedeutet, dass du statt zu verschieben auch mit b^c strecken kannst.

Praxistipp: Um eine Exponentialfunktion zu zwei Punkten zu finden, setzt du beide in f(x) = a·b^x ein und dividierst die Gleichungen durcheinander.

Beispiel: Für P(1|6) und Q(2|18) erhältst du durch Division 18/6 = b, also b = 3. Einsetzen ergibt a = 2, somit f(x) = 2·3^x.

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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