Mathematik

Exponential- und logistische Modelle

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•

4. Dez. 2025

•

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Exponentielles Wachstum einfach erklärt

luischen

@luischen16

Exponentielles Wachstum begegnet dir überall - von der Vermehrung von... Mehr anzeigen

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$# Exponentielles Wachstum Lineare Funktion Funktionsgraph. Gerade Funktionsgleichung: f(x)=mx+b m. Steigung der Geraden $m=\frac{y_2-y_1$

Grundlagen: Linear vs. Exponentiell

Lineares Wachstum kennst du bereits: Bei einer Geraden mit der Gleichung f(x) = mx + b kommt in gleichen Zeitabständen immer die gleiche Menge dazu. Die Steigung m bleibt konstant, b ist der y-Achsenabschnitt.

Exponentielles Wachstum funktioniert anders: Hier wird die vorhandene Menge immer mit dem gleichen Wachstumsfaktor multipliziert. Die Formel lautet B(t) = a · b^t, wobei a der Anfangsbestand und b der Wachstumsfaktor ist.

Der Trick liegt in der Prozentrechnung: Bei einer Zunahme um p% ist der Wachstumsfaktor q = $1 + p/100$ . Bei 3% Wachstum rechnest du also mit dem Faktor 1,03. Das kennst du vom Zinseszins: K_n = K_0 · $1 + p/100$ ^n.

Merktipp: Beim linearen Wachstum addierst du, beim exponentiellen multiplizierst du!

Ein Beispiel: 5000€ bei 3% Zinsen über 7 Jahre ergeben K_7 = 5000€ · 1,03^7 ≈ 6149,37€.

$# Exponentielles Wachstum Lineare Funktion Funktionsgraph. Gerade Funktionsgleichung: f(x)=mx+b m. Steigung der Geraden $m=\frac{y_2-y_1$

Exponentieller Zerfall und Eigenschaften

Exponentielle Abnahme läuft genauso ab, nur rückwärts: Der Abnahmefaktor liegt zwischen 0 und 1. Bei p% Abnahme rechnest du mit $1 - p/100$ . Radioaktive Stoffe zerfallen so - nach der Halbwertszeit ist die Hälfte verschwunden.

Die Verdopplungszeit kannst du schnell schätzen: d = 72/p (p ist die Wachstumsrate in Prozent). Bei 3% Wachstum dauert es etwa 24 Jahre bis zur Verdopplung.

Exponentialfunktionen haben besondere Eigenschaften: Sie haben keinen Schnittpunkt mit der x-Achse, schneiden die y-Achse bei (0|1), und ihre Definitionsmenge ist ℝ. Bei b > 1 steigt der Graph, bei 0 < b < 1 fällt er.

Grundregel: Wächst x um eine Einheit, wird der Funktionswert mit b multipliziert.

Die Grundeigenschaft: f $x+3$ = f(x) · b³ - das macht Exponentialfunktionen so vorhersagbar!

$# Exponentielles Wachstum Lineare Funktion Funktionsgraph. Gerade Funktionsgleichung: f(x)=mx+b m. Steigung der Geraden $m=\frac{y_2-y_1$

Graphen verändern und Funktionen finden

Du kannst Exponentialfunktionen auf verschiedene Weise transformieren: g(x) = a·b^x streckt den Graph um den Faktor a in y-Richtung. Den Streckfaktor siehst du am y-Achsenabschnitt.

Verschiebungen funktionieren so: f(x) = b^x + d verschiebt um d Einheiten nach oben (d > 0) oder unten (d < 0). f(x) = b^ $x+c$ verschiebt um c Einheiten nach links (c > 0) oder rechts (c < 0).

Cleverer Trick: Eine x-Verschiebung entspricht einer y-Streckung! b^ $x+c$ = b^c · b^x bedeutet, dass du statt zu verschieben auch mit b^c strecken kannst.

Praxistipp: Um eine Exponentialfunktion zu zwei Punkten zu finden, setzt du beide in f(x) = a·b^x ein und dividierst die Gleichungen durcheinander.

Beispiel: Für P(1|6) und Q(2|18) erhältst du durch Division 18/6 = b, also b = 3. Einsetzen ergibt a = 2, somit f(x) = 2·3^x.

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

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Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

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Samantha Klich

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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@luischen16

Exponentielles Wachstum begegnet dir überall - von der Vermehrung von Bakterien bis hin zu deinem Sparbuch mit Zinsen. Im Gegensatz zum linearen Wachstum, wo immer die gleiche Menge dazukommt, wird beim exponentiellen Wachstum immer mit dem gleichen Faktor multipliziert.

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Merktipp: Beim linearen Wachstum addierst du, beim exponentiellen multiplizierst du!

Ein Beispiel: 5000€ bei 3% Zinsen über 7 Jahre ergeben K_7 = 5000€ · 1,03^7 ≈ 6149,37€.

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Die Verdopplungszeit kannst du schnell schätzen: d = 72/p (p ist die Wachstumsrate in Prozent). Bei 3% Wachstum dauert es etwa 24 Jahre bis zur Verdopplung.

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Graphen verändern und Funktionen finden

Du kannst Exponentialfunktionen auf verschiedene Weise transformieren: g(x) = a·b^x streckt den Graph um den Faktor a in y-Richtung. Den Streckfaktor siehst du am y-Achsenabschnitt.

Verschiebungen funktionieren so: f(x) = b^x + d verschiebt um d Einheiten nach oben (d > 0) oder unten (d < 0). f(x) = b^ $x+c$ verschiebt um c Einheiten nach links (c > 0) oder rechts (c < 0).

Cleverer Trick: Eine x-Verschiebung entspricht einer y-Streckung! b^ $x+c$ = b^c · b^x bedeutet, dass du statt zu verschieben auch mit b^c strecken kannst.

Praxistipp: Um eine Exponentialfunktion zu zwei Punkten zu finden, setzt du beide in f(x) = a·b^x ein und dividierst die Gleichungen durcheinander.

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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