Tiefpunkte und Hochpunkte berechnen

Um Extrempunkte einer Funktion zu bestimmen, folgen wir einem strukturierten Verfahren. Zuerst bilden wir die erste Ableitung und setzen diese gleich Null. Diese Gleichung lösen wir, um die sogenannten stationären Punkte (mögliche Extremstellen) zu finden.

Anschließend bilden wir die zweite Ableitung und setzen die gefundenen x-Werte ein. Das Ergebnis verrät uns die Art des Extrempunkts: Ist f''(x) > 0, liegt ein Tiefpunkt vor; bei f''(x) < 0 ein Hochpunkt. Falls f''(x) = 0, haben wir einen Sattelpunkt, der kein Extrempunkt ist.

💡 Merkhilfe: Bei einem Tiefpunkt ist die Funktion nach oben gekrümmt (f''(x) > 0), bei einem Hochpunkt nach unten (f''(x) < 0).

Schauen wir uns ein Beispiel an: Bei f'(x) = 3x²-6x-9 erhalten wir nach Nullsetzen und Auflösen x₁ = 3 und x₂ = -1. Die zweite Ableitung f''(x) = 6x-6 ergibt f''(3) = 12 > 0 (Tiefpunkt) und f''(-1) = -12 < 0 (Hochpunkt). Nach Berechnung der y-Koordinaten haben wir die Punkte (-1|17) als Hochpunkt und (3|-15) als Tiefpunkt.

Bei Sonderfällen wie g'(x) = 3x² mit x = 0 als einziger Lösung ist besondere Vorsicht geboten. Hier ist g''(0) = 0, was auf einen Sattelpunkt S(0|2) hinweist – also keinen Extrempunkt. Ein Sattelpunkt verhält sich in einer Richtung wie ein Maximum, in der anderen wie ein Minimum.