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9. Jan. 2026
•
Katrin
@katrinwnr_
Folgen sind ein grundlegendes Konzept der Mathematik, das uns hilft,... Mehr anzeigen
Eine Folge ist eine mathematische Abbildung, die jeder natürlichen Zahl n ∈ ℕ genau eine reelle Zahl aus ℝ zuordnet. Die Schreibweise dafür ist (aₙ).
Es gibt zwei Hauptarten von Folgen: rekursive und explizite. Bei rekursiven Folgen wird ein Anfangsglied a₁ (Startwert) festgelegt und jedes weitere Glied durch eine Rekursionsgleichung aus dem vorherigen berechnet. Zum Beispiel: a₁ = 1; aₙ₊₁ = 2 + aₙ.
Bei expliziten Folgen wird jedes Glied direkt durch eine Formel bestimmt. Beispielsweise ergibt aₙ = 2n/ für alle n ≥ 2 die konstante Folge (2, 2, 2, 2, ...), was du leicht nachrechnen kannst.
📌 Merke: Mit rekursiven Folgen berechnest du jedes neue Glied aus dem vorherigen, während bei expliziten Folgen jedes Glied direkt berechnet werden kann!
Folgen können verschiedene Verhaltensmuster zeigen. Einige wichtige Typen sind monoton steigende, monoton fallende oder alternierende Folgen, die entweder beschränkt oder unbeschränkt sein können.
Beispiele für unterschiedliche Folgentypen: aₙ = 1/n ist monoton fallend und stets größer als 0. Die Folge aₙ = 3n+1 steigt monoton, ist aber nicht beschränkt. Besonders interessant sind Folgen wie aₙ = 2+1/n, die monoton fallen und immer größer als 2 bleiben.
Alternierende Folgen wechseln zwischen positiven und negativen Werten, wie bei aₙ = (-1)ⁿ. Komplexere Beispiele wie aₙ = (-1)ⁿ·/n zeigen interessante Muster, wenn man die ersten Glieder berechnet.
🔍 Tipp: Durch Berechnung der ersten 4-5 Glieder einer Folge erkennst du oft schon ihr grundlegendes Verhalten!
Eine Folge aₙ ist monoton steigend, wenn für alle n gilt: aₙ₊₁ ≥ aₙ oder anders ausgedrückt: aₙ₊₁ - aₙ ≥ 0. Bei konstanten Folgen gilt aₙ₊₁ = aₙ, also aₙ₊₁ - aₙ = 0. Ist die Ungleichung streng (>), dann sprechen wir von streng monoton steigend.
Eine Folge aₙ ist monoton fallend, wenn für alle n gilt: aₙ₊₁ ≤ aₙ oder anders ausgedrückt: aₙ₊₁ - aₙ ≤ 0.
Die Beschränktheit ist eine weitere wichtige Eigenschaft. Eine Folge ist nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl S gibt, sodass aₙ ≤ S für alle n gilt. Nach unten beschränkt ist sie, wenn es eine Zahl s gibt mit aₙ ≥ s für alle n.
💡 Praxistipp: Um die Monotonie einer Folge zu prüfen, vergleiche einfach zwei aufeinanderfolgende Glieder (aₙ₊₁ und aₙ) und schaue, ob ihre Differenz immer ≥ 0 oder ≤ 0 ist.
Der Grenzwert einer Folge ist jene Zahl g, der sich die Folgenglieder beliebig nah annähern. Mathematisch ausgedrückt: |aₙ - g| < ε für fast alle Folgenglieder, wobei ε eine beliebig kleine positive Zahl ist.
Wir schreiben g = lim(n→∞) aₙ ("Limes von aₙ für n gegen Unendlich") und sagen, die Folge ist konvergent. Konvergiert eine Folge gegen 0, nennen wir sie eine Nullfolge.
Jede konvergente Folge besitzt genau einen Grenzwert - das ist ein wichtiger Satz! Außerdem gilt: Jede monoton wachsende, nach oben beschränkte Folge ist konvergent, und jede monoton fallende, nach unten beschränkte Folge ist konvergent.
⭐ Wichtig für Klausuren: Nicht jede konvergente Folge muss monoton sein, aber jede monoton wachsende und nach oben beschränkte (oder monoton fallende und nach unten beschränkte) Folge ist konvergent!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Katrin
@katrinwnr_
Folgen sind ein grundlegendes Konzept der Mathematik, das uns hilft, Zahlenreihen zu beschreiben und zu verstehen. Eine Folge ordnet jeder natürlichen Zahl genau eine reelle Zahl zu und bildet damit eine geordnete Reihe von Zahlen mit bestimmten Eigenschaften und Verhaltensmustern.
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Eine Folge ist eine mathematische Abbildung, die jeder natürlichen Zahl n ∈ ℕ genau eine reelle Zahl aus ℝ zuordnet. Die Schreibweise dafür ist (aₙ).
Es gibt zwei Hauptarten von Folgen: rekursive und explizite. Bei rekursiven Folgen wird ein Anfangsglied a₁ (Startwert) festgelegt und jedes weitere Glied durch eine Rekursionsgleichung aus dem vorherigen berechnet. Zum Beispiel: a₁ = 1; aₙ₊₁ = 2 + aₙ.
Bei expliziten Folgen wird jedes Glied direkt durch eine Formel bestimmt. Beispielsweise ergibt aₙ = 2n/ für alle n ≥ 2 die konstante Folge (2, 2, 2, 2, ...), was du leicht nachrechnen kannst.
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Alternierende Folgen wechseln zwischen positiven und negativen Werten, wie bei aₙ = (-1)ⁿ. Komplexere Beispiele wie aₙ = (-1)ⁿ·/n zeigen interessante Muster, wenn man die ersten Glieder berechnet.
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Eine Folge aₙ ist monoton fallend, wenn für alle n gilt: aₙ₊₁ ≤ aₙ oder anders ausgedrückt: aₙ₊₁ - aₙ ≤ 0.
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Der Grenzwert einer Folge ist jene Zahl g, der sich die Folgenglieder beliebig nah annähern. Mathematisch ausgedrückt: |aₙ - g| < ε für fast alle Folgenglieder, wobei ε eine beliebig kleine positive Zahl ist.
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Entdecke die Grundlagen der Grenzwertbetrachtung und Monotonie von Zahlenfolgen. Diese Zusammenfassung behandelt die Definitionen, Beispiele und das Verhalten von Zahlenfolgen im Unendlichen. Ideal für Schüler, die sich auf das ABI vorbereiten. Themen: Konvergenz, beschränkte und monotone Folgen.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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