Was sind Zahlenfolgen?

Stell dir vor, du ordnest Zahlen in einer bestimmten Reihenfolge an – das ist eine Zahlenfolge. Mathematisch gesehen ist das eine Funktion, bei der du nur natürliche Zahlen (1, 2, 3, ...) als Eingabe verwendest.

Anstatt f$x$ schreibst du hier aₙ, wobei n die Position angibt. Das erste Glied heißt a₁, das zweite a₂ und so weiter. Zum Beispiel: Wenn aₙ = n, dann ist a₁ = 1, a₂ = 2, a₃ = 3...

Du kannst Zahlenfolgen auf zwei Arten beschreiben: explizit (direkte Formel wie aₙ = n) oder rekursiv (jedes Glied hängt vom vorherigen ab, wie aₙ = aₙ₋₁ + 5 mit a₁ = 2). Bei der rekursiven Form brauchst du immer ein Startglied.

Merktipp: In Graphen verbindest du die Punkte einer Zahlenfolge NICHT, weil zwischen den natürlichen Zahlen nichts existiert!

Arithmetische und geometrische Folgen

Arithmetische Folgen haben immer die gleiche Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern. Diese Differenz heißt d. Die Formel lautet: aₙ = a₁ + $n-1$·d.

Beispiel: Wenn a₁ = 4 und d = -2, dann ist aₙ = 4 + $n-1$·$-2$ = -2n + 6. Du addierst oder subtrahierst also immer die gleiche Zahl.

Geometrische Folgen haben einen konstanten Quotienten q zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern. Die Formel ist: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹.

Beispiel: Mit a₁ = 48 und q = -2 wird a₇ = 48 · $-2$⁶ = 3072. Hier multiplizierst du immer mit derselben Zahl.

Praxis-Tipp: Arithmetische Folgen erkennst du an konstanten Differenzen, geometrische an konstanten Quotienten!

Monotonie von Folgen

Das Monotonieverhalten zeigt dir, ob eine Folge steigt, fällt oder springt. Eine Folge ist monoton wachsend, wenn aₙ₊₁ ≥ aₙ (jedes Glied ist größer oder gleich dem vorherigen).

Monoton fallend bedeutet aₙ₊₁ ≤ aₙ. Bei den strengen Varianten verwendest du < oder > statt ≤ oder ≥. Alternierende Folgen wechseln das Vorzeichen zwischen positiv und negativ.

Um das Monotonieverhalten zu prüfen, berechnest du aₙ₊₁ - aₙ. Ist das Ergebnis positiv, wächst die Folge. Ist es negativ, fällt sie.

Beispiel: Bei aₙ = n/$n+1$ erhältst du nach der Berechnung aₙ₊₁ - aₙ = 1/$(n+1)(n+2)$ > 0, also ist die Folge streng monoton wachsend.

Klausur-Trick: Monotonie prüfst du immer über aₙ₊₁ - aₙ oder aₙ₊₁/aₙ – das bringt sichere Punkte!