Mathematik

Geometrische Systeme und Modelle

geometrische Formeln

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Aktualisiert Mar 10, 2026

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8 Seiten

Wichtige Formelsammlung für Mathe-Abitur

Marie

@marie_k136

Diese Merkhilfe ist dein ultimativer Spickzettel für das Mathe-Abitur in... Mehr anzeigen

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$Abiturprüfung Baden-Württemberg: Mathematische Merkhilfe, 2. Auflage (2021) Ebene Figuren Dreieck C A g B $A = \frac{1}{2} g \cdot h_g$$

Ebene Figuren - Die Grundlagen der Flächenberechnung

Flächenberechnungen sind dein Brot-und-Butter-Geschäft in der Geometrie. Bei Dreiecken merkst du dir einfach: Fläche = ½ · Grundseite · Höhe.

Besondere Dreiecke haben ihre eigenen Tricks: Das gleichseitige Dreieck hat die schöne Formel A = (√3/4) · a², die du dir definitiv merken solltest. Parallelogramme sind simpel - einfach Grundseite mal Höhe.

Bei Trapezen nimmst du den Durchschnitt der parallelen Seiten und multiplizierst mit der Höhe: A = $a+c$ /2 · h. Rauten und Drachenvierecke haben beide dieselbe Formel: A = ½ · e · f (halbes Produkt der Diagonalen).

Merktipp: Beim Kreis brauchst du sowohl Umfang $U = 2πr$ als auch Flächenformel $A = πr²$ - beide kommen garantiert dran!

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Körperberechnungen - Volumen und Oberflächen im 3D-Raum

Körperberechnungen folgen klaren Mustern, die du easy draufhaben kannst. Prismen und Zylinder funktionieren identisch: Volumen = Grundfläche · Höhe. Beim Zylinder ist die Grundfläche πr², also V = πr² · h.

Pyramiden und Kegel haben immer den Faktor ⅓: V = ⅓ · Grundfläche · Höhe. Das gilt für alle Pyramiden, egal welche Grundfläche sie haben. Beim Kegel wird's zu V = ⅓πr² · h.

Der Quader ist simpel: V = a · b · c, und die Raumdiagonale ist e = √ $a² + b² + c²$ . Die Kugel hat sowohl für Volumen $V = 4/3 πr³$ als auch Oberfläche $O = 4πr²$ den Faktor 4π.

Praxis-Tipp: Bei Mantelflächen von Kegeln brauchst du die Seitenhöhe s - das ist oft eine Falle in Aufgaben!

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Elementargeometrie und Grundlagen

Strahlensätze sind dein Werkzeug für ähnliche Figuren. Wenn zwei Geraden parallel sind, entstehen proportionale Strecken: a/b = c/d. Das funktioniert auch mit Erweiterung: $a+b$ /a = $c+d$ /c.

Der Satz des Pythagoras $a² + b² = c²$ ist die Basis für alle rechtwinkligen Dreiecke. Darauf baut die Trigonometrie auf: sin α = Gegenkathete/Hypotenuse, cos α = Ankathete/Hypotenuse, tan α = Gegenkathete/Ankathete.

Potenzgesetze sind essentiell: x⁰ = 1, x⁻ᵃ = 1/xᵃ, xᵃ · xᵇ = x^ $a+b$ . Bei Logarithmen merkst du dir: log_a(1) = 0, log_a(a) = 1, und log_a(bˣ) = x · log_a(b).

Unverzichtbar: Die Werte für sin, cos und tan bei 30°, 45° und 60° musst du auswendig können - die brauchst du ständig!

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Terme, Gleichungen und Analysis-Grundlagen

Binomische Formeln sind deine besten Freunde: $a+b$ ² = a² + 2ab + b², $a-b$ ² = a² - 2ab + b² und $a+b$ $a-b$ = a² - b². Diese kommen in jeder Klausur vor.

Für quadratische Gleichungen hast du zwei Formeln: die p-q-Formel x = -p/2 ± √ $(p/2)² - q$ und die abc-Formel x = $-b ± √(b² - 4ac)$ /(2a). Wähle die, die zur Aufgabe passt.

Ableitungsregeln sind das A und O der Analysis: Summenregel, Faktorregel, Potenzregel (xʳ)' = r·x^ $r-1$ , Produktregel und Kettenregel. Spezielle Ableitungen wie (sin x)' = cos x und (eˣ)' = eˣ musst du draufhaben.

Effizienz-Tipp: Bei Exponentialgleichungen aˣ = b gilt: x = log_a(b) - das spart dir oft langwieriges Umformen!

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Funktionsuntersuchung - Kurvendiskussion perfekt gemacht

Symmetrie erkennst du sofort: f $-x$ = f(x) bedeutet Achsensymmetrie zur y-Achse, f $-x$ = -f(x) bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung. Transformationen verschieben und strecken Funktionen systematisch.

Monotonie liest du direkt an f'(x) ab: f'(x) > 0 heißt streng monoton wachsend, f'(x) < 0 heißt streng monoton fallend. Das ist die Basis für alle Kurvendiskussionen.

Extrempunkte findest du über f'(x) = 0: Hochpunkt bei Vorzeichenwechsel von + nach - oder f''(x) < 0, Tiefpunkt bei - nach + oder f''(x) > 0. Wendepunkte haben f''(x) = 0 mit Vorzeichenwechsel.

Tangenten und Normalen berechnest du mit der Punktsteigungsform: Tangente hat Steigung f'(u), Normale hat Steigung -1/f'(u).

Kurvendiskussions-Hack: Arbeite immer systematisch: Definitionsbereich → Ableitungen → Nullstellen → Extrema → Wendepunkte → Skizze!

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Integralrechnung - Von der Ableitung zurück zur Funktion

Das bestimmte Integral ∫ᵃᵇ f(x)dx = F(b) - F(a) ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Die Integralfunktion I_a(x) hat als Ableitung wieder die ursprüngliche Funktion: I'_a(x) = f(x).

Stammfunktionen findest du durch Umkehrung der Ableitungsregeln: Potenzregel wird zu $1/(r+1)$ ·x^ $r+1$ , Summen- und Faktorregeln bleiben gleich. Bei linearer Verkettung f $ax+b$ teilst du durch den inneren Faktor a.

Spezielle Stammfunktionen musst du auswendig können: ∫1/x dx = ln(x), ∫sin x dx = -cos x, ∫cos x dx = sin x, ∫eˣ dx = eˣ. Der Mittelwert einer Funktion ist m = 1/ $b-a$ ∫ᵃᵇ f(x)dx.

Anwendungs-Tipp: Rotationsvolumen V = π∫ᵃᵇ (f(x))² dx - hier wird die Funktion quadriert, nicht die Ableitung!

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Analytische Geometrie - Vektoren, Geraden und Ebenen

Vektorrechnung startet mit dem Betrag |a⃗| = √ $a₁² + a₂² + a₃²$ und dem Skalarprodukt a⃗·b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Darüber berechnest du Winkel: cos φ = (a⃗·b⃗)/(|a⃗||b⃗|).

Geraden haben die Form g⃗: x⃗ = p⃗ + r·u⃗, Ebenen gibt's in drei Formen: Parameterform, Normalenform und Koordinatenform. Jede Form hat ihre Vorteile je nach Aufgabenstellung.

Schnittwinkel berechnest du je nach Objekten unterschiedlich: Bei Gerade-Gerade und Ebene-Ebene mit Kosinus, bei Gerade-Ebene mit Sinus. Abstandsberechnungen zwischen Punkt und Ebene laufen über die Hessesche Normalform.

Geometrie-Trick: Orthogonalität erkennst du sofort: a⃗ ⊥ b⃗ ⟺ a⃗·b⃗ = 0. Das spart dir Zeit bei vielen Aufgaben!

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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Zufall mathematisch erfassen

Grundregeln der Wahrscheinlichkeit: P(Ā) = 1 - P(A) für das Gegenereignis, P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) für die Vereinigung. Bei unabhängigen Ereignissen gilt P(A∩B) = P(A)·P(B).

Binomialverteilung beschreibt n unabhängige Versuche: P $X=k$ = (n über k)·p^k· $1-p$ ^ $n-k$ mit Erwartungswert μ = n·p und Standardabweichung σ = √ $n·p·(1-p)$ . Das ist dein Standard-Tool für Bernoulli-Ketten.

Signifikanztests prüfen Hypothesen: Beim linksseitigen Test ist H₁: p < p₀, beim rechtsseitigen H₁: p > p₀, beim zweiseitigen H₁: p ≠ p₀. Fehler 1. Art = H₀ verwerfen obwohl wahr, Fehler 2. Art = H₀ behalten obwohl falsch.

Test-Strategie: Das Signifikanzniveau α ist die maximale Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art - meist 5% oder 1%!

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Geometrische Formeln

Entdecken Sie die wichtigsten Formeln für ebene Figuren und geometrische Körper. Diese Zusammenfassung umfasst Flächeninhalte, Umfänge und Volumina von Quadrat, Dreieck, Kreis, Würfel, Zylinder und mehr. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen über Geometrie vertiefen möchten.

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