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Mathe

28. Nov. 2025

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Funktionen: Eine Einführung

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Amy @amyjkses

Funktionen sind überall um dich herum - vom Handytarif bis zur Flugbahn eines Balls. Du lernst hier, wie... Mehr anzeigen

Funktionen
Begritte rund um den Funktionsbegriff:
Funktionen: zuordnungen x→y (einem x-wert genau
ein y-wert zugeordnet.
YA
Mr.
Mit einer Fu

Grundlagen der Funktionen

Funktionen sind einfach Zuordnungen Jedem x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet (x → y). Mit einer Funktionsgleichung kannst du zu einem bestimmten x-Wert den passenden y-Wert berechnen.

Die Definitionsmenge D umfasst alle x-Werte, die du in die Funktion einsetzen darfst. Die Wertemenge W zeigt dir alle möglichen Funktionswerte, die dabei rauskommen können.

Am Graphen erkennst du eine echte Funktion daran, dass jede senkrechte Linie den Graphen höchstens einmal schneidet. Gibt's mehrere Schnittpunkte, ist's keine Funktion.

Bei Potenzfunktionen f(x) = ax^n bestimmt der Faktor a das Aussehen |a| > 1 macht den Graphen schmaler, 0 < |a| < 1 breiter. Ist a negativ, wird der Graph an der x-Achse gespiegelt.

Merktipp Zeichne dir immer ein Steigungsdreieck - das hilft beim Verstehen!

Funktionen
Begritte rund um den Funktionsbegriff:
Funktionen: zuordnungen x→y (einem x-wert genau
ein y-wert zugeordnet.
YA
Mr.
Mit einer Fu

Lineare Funktionen und quadratische Gleichungen

Die Geradengleichung y = mx + n ist dein bester Freund m ist die Steigung, n der y-Achsenabschnitt. Die Steigung berechnest du mit m = y2y1y₂ - y₁/x2x1x₂ - x₁.

Hast du zwei Punkte gegeben? Erst die Steigung berechnen, dann einen Punkt einsetzen, um n zu finden. So kriegst du jede Geradengleichung hin.

Quadratische Gleichungen löst du mit der pq-Formel x₁,₂ = -p/2 ± √(p/2)2q(p/2)² - q. Wichtig Die Gleichung muss in der Form x² + px + q = 0 stehen.

Das Ergebnis sind die Nullstellen - also die Punkte, wo der Graph die x-Achse schneidet. Diese kannst du immer mit dem GTR überprüfen.

Praxistipp Mit dem GTR gehts schneller - G-SOLV → ROOT zeigt dir die Nullstellen direkt!

Funktionen
Begritte rund um den Funktionsbegriff:
Funktionen: zuordnungen x→y (einem x-wert genau
ein y-wert zugeordnet.
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Mit einer Fu

Nullstellen berechnen

Nullstellen findest du, indem du die Funktion gleich null setzt. Bei linearen Funktionen ist das easy, bei quadratischen brauchst du oft die pq-Formel oder Ausklammern.

Das Kugelstoß-Beispiel zeigt, wie praktisch das ist f(x) = -0,08x² + 0,56x + 1,44 beschreibt die Flugbahn. Für die Stoßweite setzt du f(x) = 0 und löst die quadratische Gleichung.

Nach Umformen und Anwenden der pq-Formel erhältst du x₁ = 9 und x₂ = -2. Da negative Entfernungen keinen Sinn machen, beträgt die Stoßweite 9 Meter.

Solche Anwendungsaufgaben kommen gerne in Klausuren vor - sie zeigen, dass Mathe im echten Leben nützlich ist.

Klausurtipp Vergiss nie die Einheiten und prüfe, ob deine Lösung realistisch ist!

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Begritte rund um den Funktionsbegriff:
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Anwendungsprobleme lösen

Manchmal suchst du nicht die Nullstellen, sondern setzt die Funktion gleich einem bestimmten Wert. Beim Kugelstoß-Beispiel Wann ist die Kugel wieder auf Abwurfhöhe (1,44m)?

Du löst f(x) = 1,44, also -0,08x² + 0,56x + 1,44 = 1,44. Nach Vereinfachen bleibt -0,08x² + 0,56x = 0. Ausklammern ergibt x0,08x+0,56-0,08x + 0,56 = 0.

Die Lösungen sind x₁ = 0 (Abwurf) und x₂ = 7 (nach 7 Metern). Die Kugel ist also 7 Meter vom Abwurfpunkt entfernt.

Beim Vergleich zweier Funktionen berechnest du beide Stoßweiten. Function g(x) erreicht 9,6m statt 9m - also 0,6m mehr. Das ist definitiv erstrebenswert!

Erfolgsformel Stelle dir immer vor, was die Zahlen in der Realität bedeuten!

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Potenzfunktionen verstehen

Potenzfunktionen f(x) = a·x^n haben je nach Exponent typische Formen. Gerade Exponenten (x², x⁴) ergeben U-förmige Graphen, ungerade (x³, x⁵) haben eine S-Form.

Negative Exponenten (x⁻², x⁻³) erzeugen Hyperbeln - die kommen der x- und y-Achse immer näher, berühren sie aber nie.

Für den GTR musst du die y-Bereiche clever wählen. Bei f(x) = 0,25x⁵ im Intervall 4;2-4; 2 berechnest du die Extremwerte f(-4) = -256 und f(2) = 8.

Das Verhalten für x → ±∞ wird immer vom Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt. Bei f(x) = 3x⁷ - 4x² + 5 zählt nur 3x⁷.

Graphik-Trick Skizziere erst die Grundform, dann die Streckungen und Verschiebungen!

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Funktionen: zuordnungen x→y (einem x-wert genau
ein y-wert zugeordnet.
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Grenzverhalten und Limes

Für x → ±∞ schausi du nur auf den höchsten Exponenten. Bei f(x) = 3x⁷ - 4x² + 5 verhält sich der Graph wie 3x⁷ links geht's nach -∞, rechts nach +∞.

Die Limes-Schreibweise drückt das mathematisch aus limx+x→+∞ f(x) = +∞ bedeutet "wenn x gegen plus unendlich geht, wird f(x) unendlich groß".

Für x nahe 0 ist der niedrigste Exponent entscheidend. Bei f(x) = 2x⁵ + x² - 5x + 2 dominiert -5x + 2 das Verhalten um den Nullpunkt.

Das hilft dir beim Skizzieren Du weißt sofort, wie sich der Graph an den Rändern und um null herum verhält.

Lernhilfe Stelle dir vor, wie die dominierenden Terme den Graphen "ziehen"!

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Symmetrien erkennen

Achsensymmetrie zur y-Achse liegt vor, wenn fx-x = f(x) gilt. Punktsymmetrie zum Ursprung, wenn -fx-x = f(x) erfüllt ist.

Du kannst Symmetrie auch direkt am Funktionsterm ablesen Nur gerade Exponenten (x², x⁴) → achsensymmetrisch. Nur ungerade Exponenten (x³, x⁵) → punktsymmetrisch.

Bei f(x) = x⁵ + 2x³ hast du nur ungerade Potenzen, also Punktsymmetrie. Das prüfst du -fx-x = -x52x3-x⁵ - 2x³ = x⁵ + 2x³ = f(x) ✓

Mischformen (gerade und ungerade Potenzen) haben keine der beiden Symmetrien. Eine Konstante (x⁰) zählt als gerade Potenz.

Schnellcheck Gerade Exponenten = gespiegelt an y-Achse, ungerade = gedreht um Ursprung!

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Schnittpunkte bestimmen

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen findest du ganz systematisch. Für den y-Achsenabschnitt setzt du x = 0 ein. Für die Nullstellen xAchsex-Achse setzt du die Funktion gleich null.

Der y-Achsenabschnitt ist immer der konstante Term deiner Funktion. Bei f(x) = 2x³ - 5x + 3 ist das der Punkt (0|3).

Mit dem GTR gehts noch einfacher Lass dir den Graphen zeichnen und verwende die TRACE-Funktion oder G-SOLV für die genauen Koordinaten.

Zeit sparen GTR für die Kontrolle, Kopfrechnen für's Verständnis!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Grundlagen der Funktionen

Funktionen sind einfach Zuordnungen: Jedem x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet (x → y). Mit einer Funktionsgleichung kannst du zu einem bestimmten x-Wert den passenden y-Wert berechnen.

Die Definitionsmenge D umfasst alle x-Werte, die du in die Funktion einsetzen darfst. Die Wertemenge W zeigt dir alle möglichen Funktionswerte, die dabei rauskommen können.

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Bei Potenzfunktionen f(x) = ax^n bestimmt der Faktor a das Aussehen: |a| > 1 macht den Graphen schmaler, 0 < |a| < 1 breiter. Ist a negativ, wird der Graph an der x-Achse gespiegelt.

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Lineare Funktionen und quadratische Gleichungen

Die Geradengleichung y = mx + n ist dein bester Freund: m ist die Steigung, n der y-Achsenabschnitt. Die Steigung berechnest du mit m = y2y1y₂ - y₁/x2x1x₂ - x₁.

Hast du zwei Punkte gegeben? Erst die Steigung berechnen, dann einen Punkt einsetzen, um n zu finden. So kriegst du jede Geradengleichung hin.

Quadratische Gleichungen löst du mit der pq-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √(p/2)2q(p/2)² - q. Wichtig: Die Gleichung muss in der Form x² + px + q = 0 stehen.

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Nullstellen berechnen

Nullstellen findest du, indem du die Funktion gleich null setzt. Bei linearen Funktionen ist das easy, bei quadratischen brauchst du oft die pq-Formel oder Ausklammern.

Das Kugelstoß-Beispiel zeigt, wie praktisch das ist: f(x) = -0,08x² + 0,56x + 1,44 beschreibt die Flugbahn. Für die Stoßweite setzt du f(x) = 0 und löst die quadratische Gleichung.

Nach Umformen und Anwenden der pq-Formel erhältst du x₁ = 9 und x₂ = -2. Da negative Entfernungen keinen Sinn machen, beträgt die Stoßweite 9 Meter.

Solche Anwendungsaufgaben kommen gerne in Klausuren vor - sie zeigen, dass Mathe im echten Leben nützlich ist.

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Manchmal suchst du nicht die Nullstellen, sondern setzt die Funktion gleich einem bestimmten Wert. Beim Kugelstoß-Beispiel: Wann ist die Kugel wieder auf Abwurfhöhe (1,44m)?

Du löst f(x) = 1,44, also -0,08x² + 0,56x + 1,44 = 1,44. Nach Vereinfachen bleibt -0,08x² + 0,56x = 0. Ausklammern ergibt x0,08x+0,56-0,08x + 0,56 = 0.

Die Lösungen sind x₁ = 0 (Abwurf) und x₂ = 7 (nach 7 Metern). Die Kugel ist also 7 Meter vom Abwurfpunkt entfernt.

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Potenzfunktionen verstehen

Potenzfunktionen f(x) = a·x^n haben je nach Exponent typische Formen. Gerade Exponenten (x², x⁴) ergeben U-förmige Graphen, ungerade (x³, x⁵) haben eine S-Form.

Negative Exponenten (x⁻², x⁻³) erzeugen Hyperbeln - die kommen der x- und y-Achse immer näher, berühren sie aber nie.

Für den GTR musst du die y-Bereiche clever wählen. Bei f(x) = 0,25x⁵ im Intervall 4;2-4; 2 berechnest du die Extremwerte: f(-4) = -256 und f(2) = 8.

Das Verhalten für x → ±∞ wird immer vom Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt. Bei f(x) = 3x⁷ - 4x² + 5 zählt nur 3x⁷.

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Für x → ±∞ schausi du nur auf den höchsten Exponenten. Bei f(x) = 3x⁷ - 4x² + 5 verhält sich der Graph wie 3x⁷: links geht's nach -∞, rechts nach +∞.

Die Limes-Schreibweise drückt das mathematisch aus: limx+x→+∞ f(x) = +∞ bedeutet "wenn x gegen plus unendlich geht, wird f(x) unendlich groß".

Für x nahe 0 ist der niedrigste Exponent entscheidend. Bei f(x) = 2x⁵ + x² - 5x + 2 dominiert -5x + 2 das Verhalten um den Nullpunkt.

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Symmetrien erkennen

Achsensymmetrie zur y-Achse liegt vor, wenn fx-x = f(x) gilt. Punktsymmetrie zum Ursprung, wenn -fx-x = f(x) erfüllt ist.

Du kannst Symmetrie auch direkt am Funktionsterm ablesen: Nur gerade Exponenten (x², x⁴) → achsensymmetrisch. Nur ungerade Exponenten (x³, x⁵) → punktsymmetrisch.

Bei f(x) = x⁵ + 2x³ hast du nur ungerade Potenzen, also Punktsymmetrie. Das prüfst du: -fx-x = -x52x3-x⁵ - 2x³ = x⁵ + 2x³ = f(x) ✓

Mischformen (gerade und ungerade Potenzen) haben keine der beiden Symmetrien. Eine Konstante (x⁰) zählt als gerade Potenz.

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Schnittpunkte bestimmen

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen findest du ganz systematisch. Für den y-Achsenabschnitt setzt du x = 0 ein. Für die Nullstellen xAchsex-Achse setzt du die Funktion gleich null.

Der y-Achsenabschnitt ist immer der konstante Term deiner Funktion. Bei f(x) = 2x³ - 5x + 3 ist das der Punkt (0|3).

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Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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