Fächer
Bedeutende Theaterstücke der deutschen Literatur
Deutsche Kulturelle Identität
Deutsche Dichter und Lyrik
Deutsche Bildungsliteratur
Goethes Hauptwerke
Deutsche Kunstströmungen und Bewegungen
Deutsche Kurzgeschichten der Nachkriegszeit
Deutsche Sprachgrundlagen
Kafkas Hauptwerke
Moderne Deutsche Familienstrukturen
Alle Themen anzeigen
Neuronale Kommunikationssysteme
RNA-Biologie und Genexpression
Zellulärer Energiestoffwechsel
Autotrophe Energieprozesse
Membranumschlossene Organellen
Ökologische Systeme und Wechselwirkungen
DNA-Replikation und -Reparatur
Organsysteme des Menschen
Vererbungsmuster und Vererbungsprinzipien
Enzymstruktur und -regulation
Alle Themen anzeigen
Classic and Contemporary Novels
Literary Character Analysis
Verb Forms and Functions
Classic Dramatic Literature
Thesis Development and Structure
Rhetorical Theory and Practice
Evidence Analysis and Integration
Common Expression Pairs
English Language Components
Reading Analysis and Interpretation
Alle Themen anzeigen
Eigenschaften von Funktionsgraphen
Quadratische Ausdrücke und Formen
Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Zufallsvariablen
Grundlegende Ableitungsregeln
Lineare Gleichungen und Graphen
Methoden der Funktionsoptimierung
Flächenberechnungsmethoden mit Integralen
Geometrische Systeme und Modelle
Ableitungen und Anwendungen
Eigenschaften von Potenzen und Logarithmen
Alle Themen anzeigen
Nationalsozialismus und Holocaust 1933-1945
Deutsche Sozialbewegungen und gesellschaftlicher Wandel
Moderne Demokratische Revolutionen
Weltkriege und Friedensverträge
Europäische Monarchen und Staatsmänner
Globale Spannungen im Kalten Krieg
Die Europäische Renaissance und Aufklärung
Historische Quellen und Dokumentation
Die Ära der Weltkriege und ihre Auswirkungen
Moderne Militärische Konflikte
Alle Themen anzeigen
5.301
•
2. Feb. 2026
•
Franzi
@fr4nziska_
Funktionen und ihre Graphen sind ein zentrales Thema der Oberstufenmathematik.... Mehr anzeigen
Du kennst bereits drei wichtige Funktionsklassen: Potenzfunktionen wie f(x) = x², lineare und quadratische Funktionen sowie Exponentialfunktionen wie f(x) = 2^x. Diese bilden das Fundament für komplexere Funktionen.
Die Schreibweise f(x) bedeutet einfach "der Funktionswert von f an der Stelle x". Wenn du beispielsweise f(x) = x² hast und x = 3 einsetzt, erhältst du f(3) = 9.
Merke dir: Jeder x-Wert aus der Definitionsmenge wird genau einem y-Wert zugeordnet - das ist das Grundprinzip jeder Funktion!
Eine Funktion f ordnet jedem x-Wert aus der Definitionsmenge D_f genau einen Funktionswert f(x) zu. Alle möglichen Funktionswerte zusammen bilden die Wertemenge W_f.
Der Graph einer Funktion entsteht, wenn du alle Punkte P(x|y) mit y = f(x) in ein Koordinatensystem einzeichnest. So wird aus einer abstrakten Formel eine sichtbare Kurve.
Exponentialfunktionen wie f(x) = 2^x wachsen extrem schnell, während f(x) = 0,5^x schnell gegen null geht. Das siehst du sofort an ihren Graphen.
Negative Exponenten sorgen für völlig andere Graphen: f(x) = x^(-1) = 1/x und g(x) = x^(-2) = 1/x². Diese Funktionen haben eine wichtige Eigenschaft - sie sind bei x = 0 nicht definiert!
Beide Funktionen haben Definitionsbereich D = ℝ{0}, das bedeutet alle reellen Zahlen außer der null. Die Wertetabelle zeigt: Je näher x an null kommt, desto größer werden die Funktionswerte.
Die Graphen sind Hyperbeln, die sich den Koordinatenachsen nähern, sie aber nie berühren. f(x) = x^(-1) verläuft im 1. und 3. Quadranten, g(x) = x^(-2) nur im 1. und 2. Quadranten.
Wichtig: Bei x = 0 haben diese Funktionen eine Definitionslücke - der Graph "springt" dort!
Potenzfunktionen mit ungeraden negativen Exponenten sind punktsymmetrisch zum Ursprung, mit geraden negativen Exponenten achsensymmetrisch zur y-Achse. Alle haben die gemeinsamen Punkte P(-1|-1) und P(1|1).
Die Transformationsformel f_neu = a·f + e ist dein Werkzeug zum Verschieben und Strecken: a streckt in y-Richtung , d verschiebt in x-Richtung, e in y-Richtung.
Beispiel: Aus f(x) = x⁴ wird g(x) = ½x⁴ durch Stauchung mit Faktor 0,5. Bei g(x) = ⁴ verschiebst du um 1 nach links (Achtung: Vorzeichen beachten!).
Schritt-für-Schritt-Vorgehen macht Transformationen einfach: Bei g(x) = 4³ - 2 startest du mit f(x) = x³, streckst mit Faktor 4, verschiebst um 1 nach rechts und um 2 nach unten.
Die Reihenfolge ist wichtig: Erst strecken, dann in x-Richtung verschieben, zuletzt in y-Richtung. So behältst du den Überblick und machst keine Fehler.
Negative Parameter bedeuten immer Spiegelung: a = -1 spiegelt an der x-Achse, d < 0 verschiebt nach links, e < 0 nach unten.
Praxis-Tipp: Zeichne immer zuerst die Grundfunktion und transformiere dann schrittweise - das verhindert Verwirrung!
Funktionen addieren und subtrahieren ist möglich: f = g + h bedeutet f(x) = g(x) + h(x). Der Definitionsbereich umfasst nur x-Werte, die in beiden Ausgangsfunktionen erlaubt sind.
Ganzrationale Funktionen entstehen durch Addition und Subtraktion von Potenzfunktionen: f(x) = 2x³ - 7x + 5 ist ein typisches Beispiel. Sie haben die Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀.
Der Grad n ist der höchste Exponent, aₙ heißt Leitkoeffizient, a₀ ist das Absolutglied. Bei f(x) = 2x³ - 7x + 5 ist der Grad 3, Leitkoeffizient 2, Absolutglied 5.
Manchmal sind ganzrationale Funktionen "versteckt": f(x) = 2x² wird durch Ausmultiplizieren zu f(x) = 2x³ - 4x².
Systematisches Vorgehen hilft beim Bestimmen der Koeffizienten: Schreibe die Funktion in Normalform aₙxⁿ + ... + a₁x + a₀ und lies die Werte ab.
Bei g(x) = -1,6x² - 16x⁵ + 2x³ - 6 sortierst du zuerst nach fallenden Exponenten: g(x) = -16x⁵ + 2x³ - 1,6x² - 6. Der Grad ist 5, Leitkoeffizient -16.
Fehlende Terme haben Koeffizient null: Bei h(x) = 4x + 7 ist a₂ = 0, a₃ = 0 usw. Das Absolutglied ist immer der Term ohne x.
Ordnung ist alles: Sortiere immer nach fallenden Exponenten, dann siehst du sofort Grad und Leitkoeffizient!
Das Verhalten für große x-Werte wird nur vom höchsten Term bestimmt. Bei f(x) = x³ + 3x² - 2 entscheidet x³ über das Verhalten, die anderen Terme werden unwichtig.
Ungerade Grade bedeuten: Für x → +∞ und x → -∞ gehen die Funktionswerte in entgegengesetzte Richtungen. Gerade Grade bedeuten: Beide Richtungen verhalten sich gleich.
Konkret: f(x) = x³ + 3x² - 2 (Grad ungerade) geht für x → +∞ nach +∞ und für x → -∞ nach -∞. g(x) = x⁴ + 5x - 1 (Grad gerade) geht in beide Richtungen nach +∞.
Die Wertetabelle bestätigt: Bei x = 1000 dominiert eindeutig der höchste Term alle anderen.
Der Leitkoeffizient aₙ und der Grad n bestimmen das Verhalten im Unendlichen vollständig. Es gibt genau vier Fälle: n gerade mit aₙ > 0, n gerade mit aₙ < 0, n ungerade mit aₙ > 0, n ungerade mit aₙ < 0.
Symmetrie erkennst du an speziellen Bedingungen: f = f(x) bedeutet Achsensymmetrie zur y-Achse, f = -f(x) bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung.
Beispiele: f(x) = x² + 1 ist achsensymmetrisch , g(x) = 5x ist punktsymmetrisch .
Faustregeln: Nur gerade Exponenten → achsensymmetrisch, nur ungerade Exponenten → punktsymmetrisch!
Rechnerische Symmetrieprüfung funktioniert immer gleich: Setze -x für x ein und vergleiche das Ergebnis mit f(x) und -f(x).
Bei f(x) = 4x⁴ - 3x² + 2 (nur gerade Exponenten) erhältst du f = 4⁴ - 3² + 2 = 4x⁴ - 3x² + 2 = f(x). Das bedeutet Achsensymmetrie.
Bei g(x) = x⁵ + 3x³ + x (nur ungerade Exponenten) wird f = ⁵ + 3³ + = -x⁵ - 3x³ - x = - = -f(x). Das bedeutet Punktsymmetrie.
Merksatz: Gerade Exponenten behalten ihr Vorzeichen, ungerade Exponenten wechseln es bei !
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
Du kannst die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Genau! Genieße kostenlosen Zugang zu Lerninhalten, vernetze dich mit anderen Schülern und hol dir sofortige Hilfe – alles direkt auf deinem Handy.
App Store
Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Franzi
@fr4nziska_
Funktionen und ihre Graphen sind ein zentrales Thema der Oberstufenmathematik. Du lernst hier, wie verschiedene Funktionstypen aussehen, wie man ihre Graphen transformiert und welche besonderen Eigenschaften sie haben.
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Du kennst bereits drei wichtige Funktionsklassen: Potenzfunktionen wie f(x) = x², lineare und quadratische Funktionen sowie Exponentialfunktionen wie f(x) = 2^x. Diese bilden das Fundament für komplexere Funktionen.
Die Schreibweise f(x) bedeutet einfach "der Funktionswert von f an der Stelle x". Wenn du beispielsweise f(x) = x² hast und x = 3 einsetzt, erhältst du f(3) = 9.
Merke dir: Jeder x-Wert aus der Definitionsmenge wird genau einem y-Wert zugeordnet - das ist das Grundprinzip jeder Funktion!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Eine Funktion f ordnet jedem x-Wert aus der Definitionsmenge D_f genau einen Funktionswert f(x) zu. Alle möglichen Funktionswerte zusammen bilden die Wertemenge W_f.
Der Graph einer Funktion entsteht, wenn du alle Punkte P(x|y) mit y = f(x) in ein Koordinatensystem einzeichnest. So wird aus einer abstrakten Formel eine sichtbare Kurve.
Exponentialfunktionen wie f(x) = 2^x wachsen extrem schnell, während f(x) = 0,5^x schnell gegen null geht. Das siehst du sofort an ihren Graphen.
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Negative Exponenten sorgen für völlig andere Graphen: f(x) = x^(-1) = 1/x und g(x) = x^(-2) = 1/x². Diese Funktionen haben eine wichtige Eigenschaft - sie sind bei x = 0 nicht definiert!
Beide Funktionen haben Definitionsbereich D = ℝ{0}, das bedeutet alle reellen Zahlen außer der null. Die Wertetabelle zeigt: Je näher x an null kommt, desto größer werden die Funktionswerte.
Die Graphen sind Hyperbeln, die sich den Koordinatenachsen nähern, sie aber nie berühren. f(x) = x^(-1) verläuft im 1. und 3. Quadranten, g(x) = x^(-2) nur im 1. und 2. Quadranten.
Wichtig: Bei x = 0 haben diese Funktionen eine Definitionslücke - der Graph "springt" dort!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Potenzfunktionen mit ungeraden negativen Exponenten sind punktsymmetrisch zum Ursprung, mit geraden negativen Exponenten achsensymmetrisch zur y-Achse. Alle haben die gemeinsamen Punkte P(-1|-1) und P(1|1).
Die Transformationsformel f_neu = a·f + e ist dein Werkzeug zum Verschieben und Strecken: a streckt in y-Richtung , d verschiebt in x-Richtung, e in y-Richtung.
Beispiel: Aus f(x) = x⁴ wird g(x) = ½x⁴ durch Stauchung mit Faktor 0,5. Bei g(x) = ⁴ verschiebst du um 1 nach links (Achtung: Vorzeichen beachten!).
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Schritt-für-Schritt-Vorgehen macht Transformationen einfach: Bei g(x) = 4³ - 2 startest du mit f(x) = x³, streckst mit Faktor 4, verschiebst um 1 nach rechts und um 2 nach unten.
Die Reihenfolge ist wichtig: Erst strecken, dann in x-Richtung verschieben, zuletzt in y-Richtung. So behältst du den Überblick und machst keine Fehler.
Negative Parameter bedeuten immer Spiegelung: a = -1 spiegelt an der x-Achse, d < 0 verschiebt nach links, e < 0 nach unten.
Praxis-Tipp: Zeichne immer zuerst die Grundfunktion und transformiere dann schrittweise - das verhindert Verwirrung!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Funktionen addieren und subtrahieren ist möglich: f = g + h bedeutet f(x) = g(x) + h(x). Der Definitionsbereich umfasst nur x-Werte, die in beiden Ausgangsfunktionen erlaubt sind.
Ganzrationale Funktionen entstehen durch Addition und Subtraktion von Potenzfunktionen: f(x) = 2x³ - 7x + 5 ist ein typisches Beispiel. Sie haben die Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀.
Der Grad n ist der höchste Exponent, aₙ heißt Leitkoeffizient, a₀ ist das Absolutglied. Bei f(x) = 2x³ - 7x + 5 ist der Grad 3, Leitkoeffizient 2, Absolutglied 5.
Manchmal sind ganzrationale Funktionen "versteckt": f(x) = 2x² wird durch Ausmultiplizieren zu f(x) = 2x³ - 4x².
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Systematisches Vorgehen hilft beim Bestimmen der Koeffizienten: Schreibe die Funktion in Normalform aₙxⁿ + ... + a₁x + a₀ und lies die Werte ab.
Bei g(x) = -1,6x² - 16x⁵ + 2x³ - 6 sortierst du zuerst nach fallenden Exponenten: g(x) = -16x⁵ + 2x³ - 1,6x² - 6. Der Grad ist 5, Leitkoeffizient -16.
Fehlende Terme haben Koeffizient null: Bei h(x) = 4x + 7 ist a₂ = 0, a₃ = 0 usw. Das Absolutglied ist immer der Term ohne x.
Ordnung ist alles: Sortiere immer nach fallenden Exponenten, dann siehst du sofort Grad und Leitkoeffizient!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Das Verhalten für große x-Werte wird nur vom höchsten Term bestimmt. Bei f(x) = x³ + 3x² - 2 entscheidet x³ über das Verhalten, die anderen Terme werden unwichtig.
Ungerade Grade bedeuten: Für x → +∞ und x → -∞ gehen die Funktionswerte in entgegengesetzte Richtungen. Gerade Grade bedeuten: Beide Richtungen verhalten sich gleich.
Konkret: f(x) = x³ + 3x² - 2 (Grad ungerade) geht für x → +∞ nach +∞ und für x → -∞ nach -∞. g(x) = x⁴ + 5x - 1 (Grad gerade) geht in beide Richtungen nach +∞.
Die Wertetabelle bestätigt: Bei x = 1000 dominiert eindeutig der höchste Term alle anderen.
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Der Leitkoeffizient aₙ und der Grad n bestimmen das Verhalten im Unendlichen vollständig. Es gibt genau vier Fälle: n gerade mit aₙ > 0, n gerade mit aₙ < 0, n ungerade mit aₙ > 0, n ungerade mit aₙ < 0.
Symmetrie erkennst du an speziellen Bedingungen: f = f(x) bedeutet Achsensymmetrie zur y-Achse, f = -f(x) bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung.
Beispiele: f(x) = x² + 1 ist achsensymmetrisch , g(x) = 5x ist punktsymmetrisch .
Faustregeln: Nur gerade Exponenten → achsensymmetrisch, nur ungerade Exponenten → punktsymmetrisch!
Zugriff auf alle Dokumente
Verbessere deine Noten
Schließ dich Millionen Schülern an
Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und Datenschutzerklärung
Rechnerische Symmetrieprüfung funktioniert immer gleich: Setze -x für x ein und vergleiche das Ergebnis mit f(x) und -f(x).
Bei f(x) = 4x⁴ - 3x² + 2 (nur gerade Exponenten) erhältst du f = 4⁴ - 3² + 2 = 4x⁴ - 3x² + 2 = f(x). Das bedeutet Achsensymmetrie.
Bei g(x) = x⁵ + 3x³ + x (nur ungerade Exponenten) wird f = ⁵ + 3³ + = -x⁵ - 3x³ - x = - = -f(x). Das bedeutet Punktsymmetrie.
Merksatz: Gerade Exponenten behalten ihr Vorzeichen, ungerade Exponenten wechseln es bei !
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
Du kannst die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Genau! Genieße kostenlosen Zugang zu Lerninhalten, vernetze dich mit anderen Schülern und hol dir sofortige Hilfe – alles direkt auf deinem Handy.
67
Smart Tools NEU
Verwandle diesen Lernzettel in: ✓ 50+ Übungsfragen ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Komplette Probeklausur ✓ Aufsatzgliederungen
Entdecken Sie die Grundlagen gebrochenrationaler Funktionen: Behebbare Definitionslücken, Polstellen, Asymptoten, Nullstellen und Symmetrie. Erfahren Sie, wie sich diese Funktionen gegen unendlich verhalten und lernen Sie die verschiedenen Graphentypen kennen. Ideal für die Vorbereitung auf Prüfungen in Bayern (FOS 13).
MatheEntdecken Sie die Grundlagen ganz rationaler Funktionen, einschließlich der Bestimmung von Nullstellen, Symmetrieeigenschaften und der Anwendung numerischer Verfahren zur Nullstellenberechnung. Diese Zusammenfassung bietet Beispiele für Funktionen 3. und 4. Grades sowie deren graphische Eigenschaften. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis von Funktionen vertiefen möchten.
MatheErfahren Sie alles über gebrochen-rationale Funktionen, einschließlich der Quotientenregel, Nullstellen, Polstellen und Asymptoten. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Erklärung der Verhaltensweisen an Polstellen und im Unendlichen sowie wichtige Grafiken zur Veranschaulichung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Eigenschaften und Symmetrien ganzrationaler Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt die Achsensymmetrie zur y-Achse, Punktsymmetrie zum Ursprung und das Verhalten im Unendlichen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis von Funktionen vertiefen möchten.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die zentrale Klausur der Einführungsphase 2016 in Mathematik. Die Aufgaben umfassen Themen wie Funktionen, Ableitungen, Stochastik und graphische Transformationen. Studierende lernen, wie man Gleichungen aufstellt, Ableitungen interpretiert und Wahrscheinlichkeiten berechnet. Ideal für die Vorbereitung auf Prüfungen und das Verständnis komplexer mathematischer Konzepte.
MatheEntdecke effektive Lernstrategien und wichtige Konzepte für das Mathe-Abitur. Diese Zusammenstellung umfasst Themen wie Funktionen, Vektoren, Ableitungen, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal für die Vorbereitung auf die mündliche Prüfung. Verstehe die Grundlagen und wende sie in praktischen Beispielen an.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Deutsch