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289
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29. Jan. 2026
•
Savinja Terhoeven
@savinjaterhoeven_mxlt
In der Differentialrechnung sind Extremstellen und Wendepunkte zentrale Konzepte zur... Mehr anzeigen
Extremstellen sind entweder Hochpunkte (Maxima) oder Tiefpunkte (Minima) einer Funktion. Sie können lokal sein, wenn es in ihrer Umgebung keine höheren/tieferen Punkte gibt, oder global, wenn sie den höchsten/tiefsten Punkt der gesamten Funktion darstellen.
Um Extremstellen zu berechnen, folgst du einem systematischen Verfahren in vier Schritten. Zuerst bestimmst du die erste und zweite Ableitung der Funktion. Dann setzt du die erste Ableitung gleich Null (notwendige Bedingung) und löst nach x auf. Diese x-Werte sind potenzielle Extremstellen.
Im dritten Schritt nutzt du die hinreichende Bedingung: Setze die gefundenen x-Werte in die zweite Ableitung ein. Ist das Ergebnis positiv, handelt es sich um einen Tiefpunkt; ist es negativ, um einen Hochpunkt. Zum Schluss berechnest du die y-Werte, indem du die x-Werte in die Originalfunktion einsetzt.
💡 Merkhilfe: Eine positive zweite Ableitung bedeutet, dass die Funktion nach oben gekrümmt ist – das passt zu einem Tiefpunkt, wo die Funktion "nach oben geht".
Schauen wir uns ein konkretes Beispiel an: die Funktion f(x) = x³ - 3x². Um die Extremstellen zu finden, bilden wir zuerst die Ableitungen:
Als nächstes suchen wir die Nullstellen der ersten Ableitung (notwendige Bedingung): f'(x) = 0 3x² - 6x = 0 x = 0 Das ergibt x₁ = 0 und x₂ = 2 als mögliche Extremstellen.
Jetzt überprüfen wir mit der zweiten Ableitung (hinreichende Bedingung):
Zum Schluss berechnen wir die y-Koordinaten:
🔍 Visualisierungstipp: Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und stelle dir vor, wie die Funktion zwischen ihnen verläuft – der Graph steigt nach dem Tiefpunkt und fällt nach dem Hochpunkt.
Ein Wendepunkt ist eine Stelle, an der die Funktion ihre Krümmungsrichtung ändert – von links nach rechts oder umgekehrt. An diesem Punkt wechselt die zweite Ableitung ihr Vorzeichen.
Das Berechnen von Wendepunkten erfolgt ähnlich wie bei Extremstellen, aber mit einem wichtigen Unterschied. Du benötigst hier die ersten drei Ableitungen der Funktion. Die notwendige Bedingung ist f''(x) = 0, da wir Punkte suchen, an denen die Krümmung verschwindet.
Bei der hinreichenden Bedingung prüfst du die dritte Ableitung an den potenziellen Wendepunkten. Ist f'''(x) ≠ 0, liegt tatsächlich ein Wendepunkt vor. Das Vorzeichen der dritten Ableitung zeigt dir zudem die Art der Krümmungsänderung:
🌀 Visualisierung: Stelle dir einen Wendepunkt wie den Mittelpunkt einer S-Kurve vor – genau hier ändert sich die "Biegung" der Funktion.
Betrachten wir die Funktion f(x) = 0,5x³ - 1,5x². Um den Wendepunkt zu finden, ermitteln wir zunächst die Ableitungen:
Nun setzen wir die zweite Ableitung gleich Null (notwendige Bedingung): f''(x) = 0 3x - 3 = 0 x = 1
Der x-Wert 1 ist ein potenzieller Wendepunkt. Zur Überprüfung nutzen wir die hinreichende Bedingung. Da f'''(1) = 3 > 0 ist, handelt es sich um einen Wendepunkt mit Rechts-Links-Krümmung.
Zum Schluss berechnen wir den y-Wert: f(1) = 0,5 · 1³ - 1,5 · 1² = 0,5 - 1,5 = -1
Der Wendepunkt liegt also bei (1|-1). An diesem Punkt ändert die Funktion ihre Krümmung von nach unten zu nach oben gekrümmt.
📊 Prüfmethode: Teste Punkte links und rechts vom vermuteten Wendepunkt – die zweite Ableitung sollte ihr Vorzeichen wechseln.
Das Monotonieverhalten beschreibt, wie sich die Funktionswerte verändern, wenn die x-Werte zunehmen. Eine Funktion kann steigend, fallend oder konstant sein.
Bei einer streng monoton steigenden Funktion werden die Funktionswerte größer, wenn die x-Werte zunehmen. Mathematisch ausgedrückt: Wenn x₁ < x₂, dann ist f(x₁) < f(x₂). Beispielsweise ist f(x) = x² für x > 0 streng monoton steigend.
Im Gegensatz dazu werden bei einer streng monoton fallenden Funktion die Funktionswerte kleiner, wenn die x-Werte zunehmen. Hier gilt: Wenn x₁ < x₂, dann ist f(x₁) > f(x₂). Ein Beispiel hierfür ist f(x) = -x.
Das Globalverhalten einer Funktion beschreibt, wie sich die Funktion für sehr große oder sehr kleine x-Werte verhält. Dies wird oft durch den führenden Term a·xⁿ bestimmt, wobei a der Koeffizient und n der Exponent ist.
🚀 Praxistipp: Um das Monotonieverhalten schnell zu bestimmen, analysiere das Vorzeichen der ersten Ableitung: Ist f'(x) > 0, steigt die Funktion; ist f'(x) < 0, fällt sie.
Das Globalverhalten einer Funktion hängt maßgeblich vom führenden Term a·xⁿ ab, wobei sowohl das Vorzeichen von a als auch die Parität von n entscheidend sind.
Bei Fall 1 (a > 0, n gerade) strebt die Funktion für x → ±∞ gegen +∞. Ein typisches Beispiel ist die Normalparabel f(x) = x², die für sehr große positive und negative x-Werte immer weiter nach oben steigt.
In Fall 2 (a < 0, n gerade) verhält es sich genau umgekehrt: Die Funktion strebt für x → ±∞ gegen -∞. Beispiel: f(x) = -x² öffnet sich nach unten.
Bei Fall 3 (a > 0, n ungerade) strebt die Funktion für x → +∞ gegen +∞ und für x → -∞ gegen -∞. Ein klassisches Beispiel ist f(x) = x³, die links unten beginnt und nach rechts oben verläuft.
In Fall 4 (a < 0, n ungerade) kehrt sich das Verhalten um: Die Funktion strebt für x → +∞ gegen -∞ und für x → -∞ gegen +∞. Beispiel: f(x) = -x³ verläuft von rechts oben nach links unten.
📈 Anwendungstipp: Das Wissen über das Globalverhalten hilft dir beim Skizzieren von Funktionsgraphen – du weißt sofort, in welche Richtung die "Enden" des Graphen zeigen.
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Thomas R
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Greenlight Bonnie
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
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Savinja Terhoeven
@savinjaterhoeven_mxlt
In der Differentialrechnung sind Extremstellen und Wendepunkte zentrale Konzepte zur Analyse von Funktionsverläufen. Diese Konzepte helfen dir, das Verhalten von Funktionen zu verstehen und zu beschreiben, was sowohl für Mathematikklausuren als auch für reale Anwendungen wichtig ist.
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Extremstellen sind entweder Hochpunkte (Maxima) oder Tiefpunkte (Minima) einer Funktion. Sie können lokal sein, wenn es in ihrer Umgebung keine höheren/tieferen Punkte gibt, oder global, wenn sie den höchsten/tiefsten Punkt der gesamten Funktion darstellen.
Um Extremstellen zu berechnen, folgst du einem systematischen Verfahren in vier Schritten. Zuerst bestimmst du die erste und zweite Ableitung der Funktion. Dann setzt du die erste Ableitung gleich Null (notwendige Bedingung) und löst nach x auf. Diese x-Werte sind potenzielle Extremstellen.
Im dritten Schritt nutzt du die hinreichende Bedingung: Setze die gefundenen x-Werte in die zweite Ableitung ein. Ist das Ergebnis positiv, handelt es sich um einen Tiefpunkt; ist es negativ, um einen Hochpunkt. Zum Schluss berechnest du die y-Werte, indem du die x-Werte in die Originalfunktion einsetzt.
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Schauen wir uns ein konkretes Beispiel an: die Funktion f(x) = x³ - 3x². Um die Extremstellen zu finden, bilden wir zuerst die Ableitungen:
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Jetzt überprüfen wir mit der zweiten Ableitung (hinreichende Bedingung):
Zum Schluss berechnen wir die y-Koordinaten:
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Ein Wendepunkt ist eine Stelle, an der die Funktion ihre Krümmungsrichtung ändert – von links nach rechts oder umgekehrt. An diesem Punkt wechselt die zweite Ableitung ihr Vorzeichen.
Das Berechnen von Wendepunkten erfolgt ähnlich wie bei Extremstellen, aber mit einem wichtigen Unterschied. Du benötigst hier die ersten drei Ableitungen der Funktion. Die notwendige Bedingung ist f''(x) = 0, da wir Punkte suchen, an denen die Krümmung verschwindet.
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Betrachten wir die Funktion f(x) = 0,5x³ - 1,5x². Um den Wendepunkt zu finden, ermitteln wir zunächst die Ableitungen:
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Der x-Wert 1 ist ein potenzieller Wendepunkt. Zur Überprüfung nutzen wir die hinreichende Bedingung. Da f'''(1) = 3 > 0 ist, handelt es sich um einen Wendepunkt mit Rechts-Links-Krümmung.
Zum Schluss berechnen wir den y-Wert: f(1) = 0,5 · 1³ - 1,5 · 1² = 0,5 - 1,5 = -1
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Das Monotonieverhalten beschreibt, wie sich die Funktionswerte verändern, wenn die x-Werte zunehmen. Eine Funktion kann steigend, fallend oder konstant sein.
Bei einer streng monoton steigenden Funktion werden die Funktionswerte größer, wenn die x-Werte zunehmen. Mathematisch ausgedrückt: Wenn x₁ < x₂, dann ist f(x₁) < f(x₂). Beispielsweise ist f(x) = x² für x > 0 streng monoton steigend.
Im Gegensatz dazu werden bei einer streng monoton fallenden Funktion die Funktionswerte kleiner, wenn die x-Werte zunehmen. Hier gilt: Wenn x₁ < x₂, dann ist f(x₁) > f(x₂). Ein Beispiel hierfür ist f(x) = -x.
Das Globalverhalten einer Funktion beschreibt, wie sich die Funktion für sehr große oder sehr kleine x-Werte verhält. Dies wird oft durch den führenden Term a·xⁿ bestimmt, wobei a der Koeffizient und n der Exponent ist.
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Das Globalverhalten einer Funktion hängt maßgeblich vom führenden Term a·xⁿ ab, wobei sowohl das Vorzeichen von a als auch die Parität von n entscheidend sind.
Bei Fall 1 (a > 0, n gerade) strebt die Funktion für x → ±∞ gegen +∞. Ein typisches Beispiel ist die Normalparabel f(x) = x², die für sehr große positive und negative x-Werte immer weiter nach oben steigt.
In Fall 2 (a < 0, n gerade) verhält es sich genau umgekehrt: Die Funktion strebt für x → ±∞ gegen -∞. Beispiel: f(x) = -x² öffnet sich nach unten.
Bei Fall 3 (a > 0, n ungerade) strebt die Funktion für x → +∞ gegen +∞ und für x → -∞ gegen -∞. Ein klassisches Beispiel ist f(x) = x³, die links unten beginnt und nach rechts oben verläuft.
In Fall 4 (a < 0, n ungerade) kehrt sich das Verhalten um: Die Funktion strebt für x → +∞ gegen -∞ und für x → -∞ gegen +∞. Beispiel: f(x) = -x³ verläuft von rechts oben nach links unten.
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Verwandle diesen Lernzettel in: ✓ 50+ Übungsfragen ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Komplette Probeklausur ✓ Aufsatzgliederungen
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MatheErfahren Sie, wie man Wendepunkte und Sattelpunkte berechnet. Diese Anleitung umfasst die notwendigen und hinreichenden Bedingungen, Schritt-für-Schritt-Anleitungen zur Berechnung sowie ein praktisches Beispiel zur Veranschaulichung. Ideal für Studierende der Mathematik, die ihre Kenntnisse in der Differenzialrechnung vertiefen möchten.
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MatheDieser Lernzettel behandelt die Schritte zur Bestimmung von Wendepunkten einer Funktion, einschließlich der Ableitungen und der notwendigen Bedingungen. Erfahren Sie, wie Sie die y-Werte ermitteln und die Krümmungsverhalten analysieren. Ideal für Studierende, die sich auf Differenzialrechnung vorbereiten.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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Elisha
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Paul T
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Samantha Klich
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Greenlight Bonnie
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