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19. Dez. 2025
•
Savinja Terhoeven
@savinjaterhoeven_mxlt
In der Differentialrechnung sind Extremstellen und Wendepunkte zentrale Konzepte zur... Mehr anzeigen
Extremstellen sind entweder Hochpunkte (Maxima) oder Tiefpunkte (Minima) einer Funktion. Sie können lokal sein, wenn es in ihrer Umgebung keine höheren/tieferen Punkte gibt, oder global, wenn sie den höchsten/tiefsten Punkt der gesamten Funktion darstellen.
Um Extremstellen zu berechnen, folgst du einem systematischen Verfahren in vier Schritten. Zuerst bestimmst du die erste und zweite Ableitung der Funktion. Dann setzt du die erste Ableitung gleich Null (notwendige Bedingung) und löst nach x auf. Diese x-Werte sind potenzielle Extremstellen.
Im dritten Schritt nutzt du die hinreichende Bedingung: Setze die gefundenen x-Werte in die zweite Ableitung ein. Ist das Ergebnis positiv, handelt es sich um einen Tiefpunkt; ist es negativ, um einen Hochpunkt. Zum Schluss berechnest du die y-Werte, indem du die x-Werte in die Originalfunktion einsetzt.
💡 Merkhilfe: Eine positive zweite Ableitung bedeutet, dass die Funktion nach oben gekrümmt ist – das passt zu einem Tiefpunkt, wo die Funktion "nach oben geht".
Schauen wir uns ein konkretes Beispiel an: die Funktion f(x) = x³ - 3x². Um die Extremstellen zu finden, bilden wir zuerst die Ableitungen:
Als nächstes suchen wir die Nullstellen der ersten Ableitung (notwendige Bedingung): f'(x) = 0 3x² - 6x = 0 x = 0 Das ergibt x₁ = 0 und x₂ = 2 als mögliche Extremstellen.
Jetzt überprüfen wir mit der zweiten Ableitung (hinreichende Bedingung):
Zum Schluss berechnen wir die y-Koordinaten:
🔍 Visualisierungstipp: Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und stelle dir vor, wie die Funktion zwischen ihnen verläuft – der Graph steigt nach dem Tiefpunkt und fällt nach dem Hochpunkt.
Ein Wendepunkt ist eine Stelle, an der die Funktion ihre Krümmungsrichtung ändert – von links nach rechts oder umgekehrt. An diesem Punkt wechselt die zweite Ableitung ihr Vorzeichen.
Das Berechnen von Wendepunkten erfolgt ähnlich wie bei Extremstellen, aber mit einem wichtigen Unterschied. Du benötigst hier die ersten drei Ableitungen der Funktion. Die notwendige Bedingung ist f''(x) = 0, da wir Punkte suchen, an denen die Krümmung verschwindet.
Bei der hinreichenden Bedingung prüfst du die dritte Ableitung an den potenziellen Wendepunkten. Ist f'''(x) ≠ 0, liegt tatsächlich ein Wendepunkt vor. Das Vorzeichen der dritten Ableitung zeigt dir zudem die Art der Krümmungsänderung:
🌀 Visualisierung: Stelle dir einen Wendepunkt wie den Mittelpunkt einer S-Kurve vor – genau hier ändert sich die "Biegung" der Funktion.
Betrachten wir die Funktion f(x) = 0,5x³ - 1,5x². Um den Wendepunkt zu finden, ermitteln wir zunächst die Ableitungen:
Nun setzen wir die zweite Ableitung gleich Null (notwendige Bedingung): f''(x) = 0 3x - 3 = 0 x = 1
Der x-Wert 1 ist ein potenzieller Wendepunkt. Zur Überprüfung nutzen wir die hinreichende Bedingung. Da f'''(1) = 3 > 0 ist, handelt es sich um einen Wendepunkt mit Rechts-Links-Krümmung.
Zum Schluss berechnen wir den y-Wert: f(1) = 0,5 · 1³ - 1,5 · 1² = 0,5 - 1,5 = -1
Der Wendepunkt liegt also bei (1|-1). An diesem Punkt ändert die Funktion ihre Krümmung von nach unten zu nach oben gekrümmt.
📊 Prüfmethode: Teste Punkte links und rechts vom vermuteten Wendepunkt – die zweite Ableitung sollte ihr Vorzeichen wechseln.
Das Monotonieverhalten beschreibt, wie sich die Funktionswerte verändern, wenn die x-Werte zunehmen. Eine Funktion kann steigend, fallend oder konstant sein.
Bei einer streng monoton steigenden Funktion werden die Funktionswerte größer, wenn die x-Werte zunehmen. Mathematisch ausgedrückt: Wenn x₁ < x₂, dann ist f(x₁) < f(x₂). Beispielsweise ist f(x) = x² für x > 0 streng monoton steigend.
Im Gegensatz dazu werden bei einer streng monoton fallenden Funktion die Funktionswerte kleiner, wenn die x-Werte zunehmen. Hier gilt: Wenn x₁ < x₂, dann ist f(x₁) > f(x₂). Ein Beispiel hierfür ist f(x) = -x.
Das Globalverhalten einer Funktion beschreibt, wie sich die Funktion für sehr große oder sehr kleine x-Werte verhält. Dies wird oft durch den führenden Term a·xⁿ bestimmt, wobei a der Koeffizient und n der Exponent ist.
🚀 Praxistipp: Um das Monotonieverhalten schnell zu bestimmen, analysiere das Vorzeichen der ersten Ableitung: Ist f'(x) > 0, steigt die Funktion; ist f'(x) < 0, fällt sie.
Das Globalverhalten einer Funktion hängt maßgeblich vom führenden Term a·xⁿ ab, wobei sowohl das Vorzeichen von a als auch die Parität von n entscheidend sind.
Bei Fall 1 (a > 0, n gerade) strebt die Funktion für x → ±∞ gegen +∞. Ein typisches Beispiel ist die Normalparabel f(x) = x², die für sehr große positive und negative x-Werte immer weiter nach oben steigt.
In Fall 2 (a < 0, n gerade) verhält es sich genau umgekehrt: Die Funktion strebt für x → ±∞ gegen -∞. Beispiel: f(x) = -x² öffnet sich nach unten.
Bei Fall 3 (a > 0, n ungerade) strebt die Funktion für x → +∞ gegen +∞ und für x → -∞ gegen -∞. Ein klassisches Beispiel ist f(x) = x³, die links unten beginnt und nach rechts oben verläuft.
In Fall 4 (a < 0, n ungerade) kehrt sich das Verhalten um: Die Funktion strebt für x → +∞ gegen -∞ und für x → -∞ gegen +∞. Beispiel: f(x) = -x³ verläuft von rechts oben nach links unten.
📈 Anwendungstipp: Das Wissen über das Globalverhalten hilft dir beim Skizzieren von Funktionsgraphen – du weißt sofort, in welche Richtung die "Enden" des Graphen zeigen.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Savinja Terhoeven
@savinjaterhoeven_mxlt
In der Differentialrechnung sind Extremstellen und Wendepunkte zentrale Konzepte zur Analyse von Funktionsverläufen. Diese Konzepte helfen dir, das Verhalten von Funktionen zu verstehen und zu beschreiben, was sowohl für Mathematikklausuren als auch für reale Anwendungen wichtig ist.
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Extremstellen sind entweder Hochpunkte (Maxima) oder Tiefpunkte (Minima) einer Funktion. Sie können lokal sein, wenn es in ihrer Umgebung keine höheren/tieferen Punkte gibt, oder global, wenn sie den höchsten/tiefsten Punkt der gesamten Funktion darstellen.
Um Extremstellen zu berechnen, folgst du einem systematischen Verfahren in vier Schritten. Zuerst bestimmst du die erste und zweite Ableitung der Funktion. Dann setzt du die erste Ableitung gleich Null (notwendige Bedingung) und löst nach x auf. Diese x-Werte sind potenzielle Extremstellen.
Im dritten Schritt nutzt du die hinreichende Bedingung: Setze die gefundenen x-Werte in die zweite Ableitung ein. Ist das Ergebnis positiv, handelt es sich um einen Tiefpunkt; ist es negativ, um einen Hochpunkt. Zum Schluss berechnest du die y-Werte, indem du die x-Werte in die Originalfunktion einsetzt.
💡 Merkhilfe: Eine positive zweite Ableitung bedeutet, dass die Funktion nach oben gekrümmt ist – das passt zu einem Tiefpunkt, wo die Funktion "nach oben geht".
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Jetzt überprüfen wir mit der zweiten Ableitung (hinreichende Bedingung):
Zum Schluss berechnen wir die y-Koordinaten:
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Ein Wendepunkt ist eine Stelle, an der die Funktion ihre Krümmungsrichtung ändert – von links nach rechts oder umgekehrt. An diesem Punkt wechselt die zweite Ableitung ihr Vorzeichen.
Das Berechnen von Wendepunkten erfolgt ähnlich wie bei Extremstellen, aber mit einem wichtigen Unterschied. Du benötigst hier die ersten drei Ableitungen der Funktion. Die notwendige Bedingung ist f''(x) = 0, da wir Punkte suchen, an denen die Krümmung verschwindet.
Bei der hinreichenden Bedingung prüfst du die dritte Ableitung an den potenziellen Wendepunkten. Ist f'''(x) ≠ 0, liegt tatsächlich ein Wendepunkt vor. Das Vorzeichen der dritten Ableitung zeigt dir zudem die Art der Krümmungsänderung:
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Betrachten wir die Funktion f(x) = 0,5x³ - 1,5x². Um den Wendepunkt zu finden, ermitteln wir zunächst die Ableitungen:
Nun setzen wir die zweite Ableitung gleich Null (notwendige Bedingung): f''(x) = 0 3x - 3 = 0 x = 1
Der x-Wert 1 ist ein potenzieller Wendepunkt. Zur Überprüfung nutzen wir die hinreichende Bedingung. Da f'''(1) = 3 > 0 ist, handelt es sich um einen Wendepunkt mit Rechts-Links-Krümmung.
Zum Schluss berechnen wir den y-Wert: f(1) = 0,5 · 1³ - 1,5 · 1² = 0,5 - 1,5 = -1
Der Wendepunkt liegt also bei (1|-1). An diesem Punkt ändert die Funktion ihre Krümmung von nach unten zu nach oben gekrümmt.
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Das Monotonieverhalten beschreibt, wie sich die Funktionswerte verändern, wenn die x-Werte zunehmen. Eine Funktion kann steigend, fallend oder konstant sein.
Bei einer streng monoton steigenden Funktion werden die Funktionswerte größer, wenn die x-Werte zunehmen. Mathematisch ausgedrückt: Wenn x₁ < x₂, dann ist f(x₁) < f(x₂). Beispielsweise ist f(x) = x² für x > 0 streng monoton steigend.
Im Gegensatz dazu werden bei einer streng monoton fallenden Funktion die Funktionswerte kleiner, wenn die x-Werte zunehmen. Hier gilt: Wenn x₁ < x₂, dann ist f(x₁) > f(x₂). Ein Beispiel hierfür ist f(x) = -x.
Das Globalverhalten einer Funktion beschreibt, wie sich die Funktion für sehr große oder sehr kleine x-Werte verhält. Dies wird oft durch den führenden Term a·xⁿ bestimmt, wobei a der Koeffizient und n der Exponent ist.
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Das Globalverhalten einer Funktion hängt maßgeblich vom führenden Term a·xⁿ ab, wobei sowohl das Vorzeichen von a als auch die Parität von n entscheidend sind.
Bei Fall 1 (a > 0, n gerade) strebt die Funktion für x → ±∞ gegen +∞. Ein typisches Beispiel ist die Normalparabel f(x) = x², die für sehr große positive und negative x-Werte immer weiter nach oben steigt.
In Fall 2 (a < 0, n gerade) verhält es sich genau umgekehrt: Die Funktion strebt für x → ±∞ gegen -∞. Beispiel: f(x) = -x² öffnet sich nach unten.
Bei Fall 3 (a > 0, n ungerade) strebt die Funktion für x → +∞ gegen +∞ und für x → -∞ gegen -∞. Ein klassisches Beispiel ist f(x) = x³, die links unten beginnt und nach rechts oben verläuft.
In Fall 4 (a < 0, n ungerade) kehrt sich das Verhalten um: Die Funktion strebt für x → +∞ gegen -∞ und für x → -∞ gegen +∞. Beispiel: f(x) = -x³ verläuft von rechts oben nach links unten.
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MatheDiese detaillierte Anleitung zur Kurvenfindung behandelt die Anwendung der Differenzierung, das Verhalten von Krümmungen und die Bestimmung von Funktionseigenschaften. Erfahren Sie, wie Sie eine Funktion 3. Grades aufstellen und charakteristische Punkte wie Hoch- und Wendepunkte identifizieren. Ideal für Studierende der Mathematik, die ihre Kenntnisse in der Kurvenanalyse vertiefen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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