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Marie
6.12.2025
Mathe
Kurvendiskussion, Mathe (Q1)
583
•
6. Dez. 2025
•
Marie
@marie_erza
Die Kurvendiskussion ist eine systematische Methode zur Analyse von Funktionen.... Mehr anzeigen
Beginne deine Kurvendiskussion immer mit der Untersuchung der Symmetrie. Bei unserer Funktion f(x) = (1/24)x⁴ - (1/6)x³ lässt sich bereits durch die Kombination gerader und ungerader Exponenten erkennen, dass keine Symmetrie vorliegt.
Zur Bestätigung kann man die Achsensymmetrie mit f(x) = f und die Punktsymmetrie mit f = -f(x) prüfen. Beide Gleichungen sind für unsere Funktion nicht erfüllt, was bestätigt, dass keine Symmetrie vorliegt.
Als Nächstes untersuchen wir das Verhalten für x → ±∞. Da der höchste Exponent 4 mit einem positiven Koeffizienten (1/24) ist, gilt: lim f(x) = ∞ und lim f(x) = ∞. Das bedeutet, der Graph steigt in beiden Richtungen ins Unendliche.
Merke: Bei Polynomfunktionen bestimmt immer der Term mit dem höchsten Exponenten das Verhalten für x → ±∞. Bei geradem Exponenten mit positivem Koeffizienten gehen beide Seiten nach oben!
Die Nullstellen findest du durch Lösen der Gleichung f(x) = 0. Bei unserer Funktion erhalten wir x³· = 0. Daraus folgen die Nullstellen x₁ = x₂ = x₃ = 0 (dreifache Nullstelle) und x₄ = 4.
Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei f(0) = 0, also im Punkt S(0|0).
Für die Extrempunkte benötigen wir die erste Ableitung: f'(x) = (1/6)x³ - (1/2)x². Mit f'(x) = 0 erhalten wir x²· = 0, woraus sich x₁ = x₂ = 0 und x₃ = 3 ergeben.
Um festzustellen, ob es sich um Hoch-, Tief- oder Sattelpunkte handelt, bilden wir die zweite Ableitung f''(x) = (1/2)x² - x. Bei f''(0) = 0 liegt ein Sattelpunkt vor, während f''(3) = 1,5 > 0 einen Tiefpunkt anzeigt. Der Tiefpunkt liegt bei TP(3|-9/8).
Wichtig: Bei f''(x) = 0 musst du zusätzlich prüfen, ob ein Extrempunkt oder Wendepunkt vorliegt. Häufig handelt es sich um einen Sattelpunkt, wie in unserem Beispiel bei x = 0.
Das Monotonieverhalten kannst du anhand der ersten Ableitung ablesen: Die Funktion f ist im Intervall (-∞; 3) streng monoton fallend und im Intervall (3; ∞) streng monoton steigend.
Für die Wendepunkte benötigst du die zweite Ableitung: f''(x) = (1/2)x² - x. Die Nullstellen von f''(x) = 0 sind x₁ = 0 und x₂ = 2. Bei x₁ = 0 liegt bereits ein Sattelpunkt vor (siehe Schritt 4).
Um die Art des Wendepunktes bei x₂ = 2 zu bestimmen, bildest du die dritte Ableitung f'''(x) = x - 1. Mit f'''(2) = 1 > 0 handelt es sich um einen Rechts-Links-Wendepunkt. Die y-Koordinate berechnest du mit f(2) = -2/3, also liegt der Wendepunkt bei W(2|-2/3).
Das Krümmungsverhalten lässt sich nun vollständig beschreiben:
Tipp: Bei der Berechnung von Wendepunkten achte auf Sattelpunkte - an diesen Stellen schneidet die Funktion ihre eigene Wendetangente und die Krümmung ändert sich ebenfalls!
Für die präzise Zeichnung des Funktionsgraphen notieren wir alle wichtigen Punkte:
Der Graph beginnt im negativen Bereich, verläuft durch den Ursprung (dreifache Nullstelle und Sattelpunkt), fällt dann weiter bis zum Tiefpunkt bei x = 3, steigt anschließend und schneidet die x-Achse erneut bei x = 4.
Die Krümmung wechselt am Sattelpunkt und am Wendepunkt . Diese Punkte sind für die korrekte Form des Graphen entscheidend.
Praxis-Tipp: Beim Zeichnen starte mit den markanten Punkten (Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte) und verbinde sie dann mit einer glatten Kurve unter Berücksichtigung des Monotonie- und Krümmungsverhaltens.
Damit hast du alle Schritte der Kurvendiskussion durchgeführt und kannst die Funktion f(x) = (1/24)x⁴ - (1/6)x³ vollständig beschreiben und korrekt zeichnen!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Samantha Klich
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Marie
@marie_erza
Die Kurvendiskussion ist eine systematische Methode zur Analyse von Funktionen. Anhand verschiedener Ableitungen kannst du wichtige Eigenschaften einer Funktion bestimmen und ihren Graphen präzise zeichnen. In diesem Leitfaden untersuchen wir die Beispielfunktion f(x) = (1/24)x⁴ - (1/6)x³.
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Beginne deine Kurvendiskussion immer mit der Untersuchung der Symmetrie. Bei unserer Funktion f(x) = (1/24)x⁴ - (1/6)x³ lässt sich bereits durch die Kombination gerader und ungerader Exponenten erkennen, dass keine Symmetrie vorliegt.
Zur Bestätigung kann man die Achsensymmetrie mit f(x) = f und die Punktsymmetrie mit f = -f(x) prüfen. Beide Gleichungen sind für unsere Funktion nicht erfüllt, was bestätigt, dass keine Symmetrie vorliegt.
Als Nächstes untersuchen wir das Verhalten für x → ±∞. Da der höchste Exponent 4 mit einem positiven Koeffizienten (1/24) ist, gilt: lim f(x) = ∞ und lim f(x) = ∞. Das bedeutet, der Graph steigt in beiden Richtungen ins Unendliche.
Merke: Bei Polynomfunktionen bestimmt immer der Term mit dem höchsten Exponenten das Verhalten für x → ±∞. Bei geradem Exponenten mit positivem Koeffizienten gehen beide Seiten nach oben!
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Die Nullstellen findest du durch Lösen der Gleichung f(x) = 0. Bei unserer Funktion erhalten wir x³· = 0. Daraus folgen die Nullstellen x₁ = x₂ = x₃ = 0 (dreifache Nullstelle) und x₄ = 4.
Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei f(0) = 0, also im Punkt S(0|0).
Für die Extrempunkte benötigen wir die erste Ableitung: f'(x) = (1/6)x³ - (1/2)x². Mit f'(x) = 0 erhalten wir x²· = 0, woraus sich x₁ = x₂ = 0 und x₃ = 3 ergeben.
Um festzustellen, ob es sich um Hoch-, Tief- oder Sattelpunkte handelt, bilden wir die zweite Ableitung f''(x) = (1/2)x² - x. Bei f''(0) = 0 liegt ein Sattelpunkt vor, während f''(3) = 1,5 > 0 einen Tiefpunkt anzeigt. Der Tiefpunkt liegt bei TP(3|-9/8).
Wichtig: Bei f''(x) = 0 musst du zusätzlich prüfen, ob ein Extrempunkt oder Wendepunkt vorliegt. Häufig handelt es sich um einen Sattelpunkt, wie in unserem Beispiel bei x = 0.
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Das Monotonieverhalten kannst du anhand der ersten Ableitung ablesen: Die Funktion f ist im Intervall (-∞; 3) streng monoton fallend und im Intervall (3; ∞) streng monoton steigend.
Für die Wendepunkte benötigst du die zweite Ableitung: f''(x) = (1/2)x² - x. Die Nullstellen von f''(x) = 0 sind x₁ = 0 und x₂ = 2. Bei x₁ = 0 liegt bereits ein Sattelpunkt vor (siehe Schritt 4).
Um die Art des Wendepunktes bei x₂ = 2 zu bestimmen, bildest du die dritte Ableitung f'''(x) = x - 1. Mit f'''(2) = 1 > 0 handelt es sich um einen Rechts-Links-Wendepunkt. Die y-Koordinate berechnest du mit f(2) = -2/3, also liegt der Wendepunkt bei W(2|-2/3).
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Für die präzise Zeichnung des Funktionsgraphen notieren wir alle wichtigen Punkte:
Der Graph beginnt im negativen Bereich, verläuft durch den Ursprung (dreifache Nullstelle und Sattelpunkt), fällt dann weiter bis zum Tiefpunkt bei x = 3, steigt anschließend und schneidet die x-Achse erneut bei x = 4.
Die Krümmung wechselt am Sattelpunkt und am Wendepunkt . Diese Punkte sind für die korrekte Form des Graphen entscheidend.
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Entdecken Sie die wesentlichen Schritte zur Kurvenuntersuchung, einschließlich der Berechnung von Extrempunkten, Wendepunkten, Monotonie und Achsenabschnitten. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Anleitung zur Analyse von ganzrationalen Funktionen und deren Eigenschaften. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Differentialrechnung vertiefen.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Greenlight Bonnie
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