Einführung in Funktionenscharen: Definition und Beispiele

Sirin

4.12.2025

Mathe

Funktionenscharen

Mathematik

Funktionen: Operationen und Eigenschaften

1.484

•

4. Dez. 2025

•

2 Seiten

Einführung in Funktionenscharen: Definition und Beispiele

Sirin

@sirin75

Funktionenscharen sind ein mächtiges Werkzeug in der Analysis, bei dem... Mehr anzeigen

$Rechenbeispiel: ft (x) = x² + t fo (x)=x² t₁ (x) = x² + 1 f-₂(x)=x²-2 Definition: FUNKTIONENSCHAREN NS (t€ \R) Ein Term, der neben. einer fu$

Grundlagen der Funktionenscharen

Funktionenscharen entstehen, wenn eine Funktion neben der Variablen x noch einen Scharparameter (meist a oder t) enthält. Dadurch erhältst du unendlich viele Funktionen in einer Familie. Bei $f_t(x) = x^2 + t$ verschiebst du die Normalparabel je nach t-Wert nach oben oder unten.

Die Analyse läuft immer gleich ab: Du berechnest Nullstellen und Extrempunkte in Abhängigkeit vom Parameter. Bei $f_a(x) = x^2 - ax$ findest du die Nullstellen durch $x(x-a) = 0$ , also $x = 0$ und $x = a$ .

Für die Extrempunkte bildest du wie gewohnt die erste und zweite Ableitung. Der Tiefpunkt liegt bei $(\frac{a}{2} \mid -\frac{a^2}{4})$ - seine Position hängt komplett vom Parameter a ab.

Merktipp: Jede Funktion dieser Schar hat immer dieselbe Anzahl an Nullstellen und Extrempunkten, nur deren Lage ändert sich mit dem Parameter.

$Rechenbeispiel: ft (x) = x² + t fo (x)=x² t₁ (x) = x² + 1 f-₂(x)=x²-2 Definition: FUNKTIONENSCHAREN NS (t€ \R) Ein Term, der neben. einer fu$

Anwendungsaufgaben und komplexere Beispiele

Du kannst den Parameter gezielt bestimmen, wenn bestimmte Bedingungen erfüllt sein sollen. Suchst du die Kurve mit Steigung 1 an der Stelle x = 3, setzt du einfach $f'_a(3) = 1$ und löst nach a auf.

Bei kubischen Funktionen wie $f_a(x) = x^3 - 3ax^2$ wird's spannender. Die Nullstellenberechnung ergibt $x^2(x-3a) = 0$ , also $x = 0$ (doppelt) und $x = 3a$ . Hier liegt eine doppelte Nullstelle vor, was grafisch bedeutet, dass die Kurve die x-Achse nur berührt.

Die Extrempunkte findest du bei $x = 0$ (Hochpunkt) und $x = 2a$ (Tiefpunkt). Beachte: Der Hochpunkt liegt immer bei $(0 \mid 0)$ , während der Tiefpunkt bei $(2a \mid -4a^3)$ wandert.

Praxistipp: Skizziere dir verschiedene Parameterwerte, um ein Gefühl für die Bewegung der charakteristischen Punkte zu bekommen.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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@sirin75

Funktionenscharen sind ein mächtiges Werkzeug in der Analysis, bei dem ein Parameter mehrere verwandte Funktionen gleichzeitig definiert. Du wirst lernen, wie du systematisch Nullstellen, Extrempunkte und andere Eigenschaften ganzer Funktionsfamilien bestimmst.

$Rechenbeispiel: ft (x) = x² + t fo (x)=x² t₁ (x) = x² + 1 f-₂(x)=x²-2 Definition: FUNKTIONENSCHAREN NS (t€ \R) Ein Term, der neben. einer fu$

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Für die Extrempunkte bildest du wie gewohnt die erste und zweite Ableitung. Der Tiefpunkt liegt bei $(\frac{a}{2} \mid -\frac{a^2}{4})$ - seine Position hängt komplett vom Parameter a ab.

Merktipp: Jede Funktion dieser Schar hat immer dieselbe Anzahl an Nullstellen und Extrempunkten, nur deren Lage ändert sich mit dem Parameter.

$Rechenbeispiel: ft (x) = x² + t fo (x)=x² t₁ (x) = x² + 1 f-₂(x)=x²-2 Definition: FUNKTIONENSCHAREN NS (t€ \R) Ein Term, der neben. einer fu$

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Die Extrempunkte findest du bei $x = 0$ (Hochpunkt) und $x = 2a$ (Tiefpunkt). Beachte: Der Hochpunkt liegt immer bei $(0 \mid 0)$ , während der Tiefpunkt bei $(2a \mid -4a^3)$ wandert.

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