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P2004
12.12.2025
Mathe
Funktionsscharen untersuchen 🔎
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12. Dez. 2025
•
P2004
@p2004_a1dc02
Funktionsscharen sind Sammlungen von Funktionen, die einen Parameter enthalten -... Mehr anzeigen
Funktionsscharen enthalten mindestens einen Parameter (meist "a"), der verschiedene Werte annehmen kann. Dadurch entstehen unendlich viele Funktionen mit ähnlichen Eigenschaften - wie bei f_a(x) = 2x + a, wo nur die Verschiebung auf der y-Achse variiert.
Die Untersuchung läuft systematisch ab: Zuerst bestimmst du die Nullstellen mit der pq-Formel. Bei f_a(x) = x² + 2ax - 1 erhältst du x₁,₂ = -a ± √ - die Nullstellen hängen also vom Parameter a ab!
Für die Extremstellen bildest du die erste Ableitung und setzt sie gleich null. Das Besondere: Auch hier beeinflusst der Parameter das Ergebnis. Bei unserem Beispiel liegt die Extremstelle bei x = -a, verschiebt sich also mit dem Parameter.
Merke dir: Je nach Parameterwert können Funktionen unterschiedlich viele Nullstellen haben - das hängt von der Diskriminante ab!
Die Fallunterscheidung wird wichtig, wenn die Diskriminante D = a² - 2 verschiedene Vorzeichen hat. Für a > √2 oder a < -√2 gibt es zwei Nullstellen, für -√2 < a < √2 keine reellen Nullstellen.
Alle Extrempunkte einer Funktionsschar liegen auf einer Ortslinie - das ist eine Art "Spur", die diese Punkte hinterlassen. Du berechnest sie, indem du den x-Wert nach dem Parameter auflöst und in den y-Wert einsetzt.
Konkret: Wenn x_E = -a ist, dann folgt a = -x. Setzt du das in y_E = -3a² - 1 ein, erhältst du die Ortslinie O(x) = -3x² - 1. Diese Parabel verbindet alle möglichen Extrempunkte!
Das gleiche Prinzip funktioniert auch für Wendepunkte. Deren Ortslinie findest du genauso: Parameter eliminieren und die entstehende Kurve bestimmen.
Tipp: Ortslinien helfen dir, das Verhalten der ganzen Funktionsschar zu visualisieren - sie zeigen, wo sich die wichtigen Punkte "bewegen"!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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P2004
@p2004_a1dc02
Funktionsscharen sind Sammlungen von Funktionen, die einen Parameter enthalten - stell dir vor, du hast nicht nur eine Funktion, sondern eine ganze Familie verwandter Funktionen! Das Coole daran: Mit einem Parameter kannst du unendlich viele ähnliche Funktionen erzeugen und ihre... Mehr anzeigen
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Funktionsscharen enthalten mindestens einen Parameter (meist "a"), der verschiedene Werte annehmen kann. Dadurch entstehen unendlich viele Funktionen mit ähnlichen Eigenschaften - wie bei f_a(x) = 2x + a, wo nur die Verschiebung auf der y-Achse variiert.
Die Untersuchung läuft systematisch ab: Zuerst bestimmst du die Nullstellen mit der pq-Formel. Bei f_a(x) = x² + 2ax - 1 erhältst du x₁,₂ = -a ± √ - die Nullstellen hängen also vom Parameter a ab!
Für die Extremstellen bildest du die erste Ableitung und setzt sie gleich null. Das Besondere: Auch hier beeinflusst der Parameter das Ergebnis. Bei unserem Beispiel liegt die Extremstelle bei x = -a, verschiebt sich also mit dem Parameter.
Merke dir: Je nach Parameterwert können Funktionen unterschiedlich viele Nullstellen haben - das hängt von der Diskriminante ab!
Die Fallunterscheidung wird wichtig, wenn die Diskriminante D = a² - 2 verschiedene Vorzeichen hat. Für a > √2 oder a < -√2 gibt es zwei Nullstellen, für -√2 < a < √2 keine reellen Nullstellen.
Alle Extrempunkte einer Funktionsschar liegen auf einer Ortslinie - das ist eine Art "Spur", die diese Punkte hinterlassen. Du berechnest sie, indem du den x-Wert nach dem Parameter auflöst und in den y-Wert einsetzt.
Konkret: Wenn x_E = -a ist, dann folgt a = -x. Setzt du das in y_E = -3a² - 1 ein, erhältst du die Ortslinie O(x) = -3x² - 1. Diese Parabel verbindet alle möglichen Extrempunkte!
Das gleiche Prinzip funktioniert auch für Wendepunkte. Deren Ortslinie findest du genauso: Parameter eliminieren und die entstehende Kurve bestimmen.
Tipp: Ortslinien helfen dir, das Verhalten der ganzen Funktionsschar zu visualisieren - sie zeigen, wo sich die wichtigen Punkte "bewegen"!
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Smarte Tools NEU
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Erfahren Sie, wie Sie Extremstellen einer Funktion berechnen können. Diese Zusammenfassung behandelt die Ableitungen, die Anwendung der pq-Formel und die Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihre Kenntnisse in der Differentialrechnung vertiefen möchten.
MatheUmfassende Zusammenfassung für das Abitur in analytischer Geometrie und Stochastik. Behandelt zentrale Konzepte wie Parameterdarstellung von Geraden, Lagebeziehungen, Hypothesentests, Kombinatorik und mehr. Ideal für die Prüfungsvorbereitung und das Verständnis komplexer mathematischer Zusammenhänge.
MatheErfahre alles über die Differentialrechnung und die Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt die Ableitungsfunktion, Extrempunkte, Tangentengleichungen und graphisches Differenzieren. Ideal für Studierende, die ihre Kenntnisse in der Mathematik vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der linearen und quadratischen Funktionen, einschließlich der Scheitelpunktformel, Nullstellenbestimmung und Schnittpunktberechnung. Dieser Lernzettel ist ideal für die 11. Klasse und bietet klare Erklärungen und Beispiele zur Unterstützung Ihrer Mathematik-Klausurvorbereitung.
MatheEntdecken Sie die Zusammenhänge zwischen Funktionen und ihren Ableitungen in der grafischen Differenzierung. Diese Zusammenfassung behandelt die Steigung von Tangenten, das Verhalten von Graphen bei Hoch- und Tiefpunkten sowie die Bestimmung von Nullstellen und Wendetangenten. Ideal für Schüler der 11. Klasse im Fach Mathematik. Themen: Ableitungen, Graphen, Nullstellen, Wendetangenten, Ungleichungen.
MatheDiese Klausur behandelt die Berechnung von Extrempunkten, Wendepunkten und die Analyse von Funktionen. Sie umfasst Themen wie Ableitungen, Kurvenverhalten und die Bestimmung charakteristischer Punkte. Ideal für Schüler der Klasse 11 im Fach Mathematik. Enthält Aufgaben zu Extremwertproblemen und deren Anwendungen.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Samantha Klich
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Anna
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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