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Eigenschaften von Funktionsgraphen

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Mathe4.013Aktualisiert 9. Okt. 202614 Seiten

Analyse von Funktionen: Nullstellen, Verhalten und Extremstellen

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Jessline@jessline_91
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Du bereitest dich auf eine Klausur zu ganzrationalen Funktionen vor? Dann bist du hier genau richtig! Diese Zusammenfassung deckt alle wichtigen Themen ab - von der Definition über Extrempunkte bis hin zu Nullstellen. Alles was du brauchst, um in der Klausur zu glänzen.
Funktionsuntersuchung – Seite 1

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Definition und Globalverlauf

Ganzrationale Funktionen sind basically Polynome - also Summen von x-Potenzen wie f(x)=3x4−2x2+5x−1f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 1. Der Grad ist dabei der höchste Exponent (hier 4), und die Zahlen davor sind die Koeffizienten.

Beim Globalverlauf geht's darum, wie sich die Funktion verhält, wenn x gegen unendlich oder minus unendlich geht. Das Coole: Du musst nur auf den höchsten Term schauen! anxna_n x^n bestimmt alles.

Die Regeln sind easy: Bei geradem Grad gehen beide Enden in die gleiche Richtung. Bei ungeradem Grad gehen sie in entgegengesetzte Richtungen. Ist an>0a_n > 0, geht's nach oben, ist an<0a_n < 0, geht's nach unten.

Merktipp: Bei f(x)=−2x6+100x3−1000f(x) = -2x^6 + 100x^3 - 1000 ignorierst du alles außer −2x6-2x^6. Grad 6 (gerade) + negative Koeffizient = beide Enden gehen nach unten!

Funktionsuntersuchung – Seite 2

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Symmetrie und Nullstellen

Symmetrie erkennst du an den Exponenten: Nur gerade Exponenten = achsensymmetrisch zur y-Achse. Nur ungerade Exponenten = punktsymmetrisch zum Ursprung. Du checkst das mit f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) (achsensymmetrisch) oder f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) (punktsymmetrisch).

Nullstellen findest du, indem du f(x)=0f(x) = 0 setzt. Bei Produkten ist's einfach: Jeder Faktor einzeln gleich null setzen. Linearfaktoren wie (x−2)(x-2) zeigen dir direkt die Nullstelle (x=2x = 2).

Biquadratische Gleichungen wie x4−5x2+4=0x^4 - 5x^2 + 4 = 0 löst du durch Substitution: Setze u=x2u = x^2, dann wird's zu u2−5u+4=0u^2 - 5u + 4 = 0. Nach dem Lösen rücksubstituieren!

Wichtig: Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen. Bei ungeradem Grad gibt's mindestens eine Nullstelle!

Funktionsuntersuchung – Seite 3

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Mehrfache Nullstellen

Mehrfache Nullstellen verhalten sich unterschiedlich: Bei einfachen Nullstellen (oder dreifach, fünffach...) schneidet der Graph die x-Achse - es gibt einen Vorzeichenwechsel.

Bei doppelten Nullstellen (oder vierfach, sechsfach...) berührt der Graph nur die x-Achse - kein Vorzeichenwechsel! Dort liegt immer ein Hoch- oder Tiefpunkt.

Den Funktionsterm mit gegebenen Nullstellen baust du so auf: f(x)=k(x−x1)n1(x−x2)n2...f(x) = k(x-x_1)^{n_1}(x-x_2)^{n_2}... wobei nin_i die Vielfachheit der Nullstelle ist. Den Parameter k findest du durch Einsetzen eines gegebenen Punkts.

Praxistipp: Bei f(x)=(x+1)2(x−3)f(x) = (x+1)^2(x-3) hat die Funktion bei x=−1x = -1 eine doppelte Nullstelle (berührt x-Achse) und bei x=3x = 3 eine einfache (schneidet x-Achse).

Funktionsuntersuchung – Seite 4

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Monotonie und Extrempunkte

Monotonie beschreibt, ob eine Funktion steigt oder fällt. Eine Funktion ist streng monoton steigend, wenn größere x-Werte auch größere Funktionswerte haben.

Extrempunkte sind Hoch- und Tiefpunkte. Ein Hochpunkt ist der höchste Punkt in seiner Umgebung (lokales Maximum), ein Tiefpunkt der niedrigste (lokales Minimum).

Der Monotoniesatz verbindet alles mit der Ableitung: Ist f′(x)>0f'(x) > 0, steigt die Funktion. Ist f′(x)<0f'(x) < 0, fällt sie. So findest du einfach die Monotonieintervalle!

Aha-Moment: Die Ableitung f′(x)f'(x) zeigt dir die Steigung! Positive Steigung = bergauf, negative Steigung = bergab.

Funktionsuntersuchung – Seite 5

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Kriterien für Extremstellen

Um Extremstellen zu finden, brauchst du zwei Schritte: Erst das notwendige Kriterium (f′(xe)=0f'(x_e) = 0), dann ein hinreichendes Kriterium.

Das Vorzeichenwechsel-Kriterium ist super praktisch: Wechselt f′(x)f'(x) von + nach -, hast du einen Hochpunkt. Wechselt es von - nach +, ist's ein Tiefpunkt. Kein Wechsel = Sattelpunkt.

Alternativ nutzt du die zweite Ableitung: Bei f′(xe)=0f'(x_e) = 0 und f′′(xe)<0f''(x_e) < 0 hast du einen Hochpunkt, bei f′′(xe)>0f''(x_e) > 0 einen Tiefpunkt.

Vorgehen: 1) Berechne f′(x)=0f'(x) = 0, 2) Prüfe Vorzeichenwechsel oder nutze f′′(x)f''(x), 3) Berechne f(xe)f(x_e) für die y-Koordinate des Extrempunkts.

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