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4. Dez. 2025

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Analyse von Funktionen: Nullstellen, Verhalten und Extremstellen

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Jessline @jessline_91

Du bereitest dich auf eine Klausur zu ganzrationalen Funktionen vor? Dann bist du hier genau richtig! Diese Zusammenfassung... Mehr anzeigen

Themen • Ganzrationale Funktionen Def. Globalverlauf Matheklausur 113 INFORMATION Den Term einer ganzrationalen Funktion nennt man auch Poly

Definition und Globalverlauf

Ganzrationale Funktionen sind basically Polynome - also Summen von x-Potenzen wie f(x)=3x4−2x2+5x−1f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 1. Der Grad ist dabei der höchste Exponent (hier 4), und die Zahlen davor sind die Koeffizienten.

Beim Globalverlauf geht's darum, wie sich die Funktion verhält, wenn x gegen unendlich oder minus unendlich geht. Das Coole Du musst nur auf den höchsten Term schauen! anxna_n x^n bestimmt alles.

Die Regeln sind easy Bei geradem Grad gehen beide Enden in die gleiche Richtung. Bei ungeradem Grad gehen sie in entgegengesetzte Richtungen. Ist an>0a_n > 0, geht's nach oben, ist an<0a_n < 0, geht's nach unten.

Merktipp Bei f(x)=−2x6+100x3−1000f(x) = -2x^6 + 100x^3 - 1000 ignorierst du alles außer −2x6-2x^6. Grad 6 (gerade) + negative Koeffizient = beide Enden gehen nach unten!

Themen • Ganzrationale Funktionen Def. Globalverlauf Matheklausur 113 INFORMATION Den Term einer ganzrationalen Funktion nennt man auch Poly

Symmetrie und Nullstellen

Symmetrie erkennst du an den Exponenten Nur gerade Exponenten = achsensymmetrisch zur y-Achse. Nur ungerade Exponenten = punktsymmetrisch zum Ursprung. Du checkst das mit f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) (achsensymmetrisch) oder f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) (punktsymmetrisch).

Nullstellen findest du, indem du f(x)=0f(x) = 0 setzt. Bei Produkten ist's einfach Jeder Faktor einzeln gleich null setzen. Linearfaktoren wie (x−2)(x-2) zeigen dir direkt die Nullstelle $x = 2$.

Biquadratische Gleichungen wie x4−5x2+4=0x^4 - 5x^2 + 4 = 0 löst du durch Substitution Setze u=x2u = x^2, dann wird's zu u2−5u+4=0u^2 - 5u + 4 = 0. Nach dem Lösen rücksubstituieren!

Wichtig Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen. Bei ungeradem Grad gibt's mindestens eine Nullstelle!

Themen • Ganzrationale Funktionen Def. Globalverlauf Matheklausur 113 INFORMATION Den Term einer ganzrationalen Funktion nennt man auch Poly

Mehrfache Nullstellen

Mehrfache Nullstellen verhalten sich unterschiedlich Bei einfachen Nullstellen (oder dreifach, fünffach...) schneidet der Graph die x-Achse - es gibt einen Vorzeichenwechsel.

Bei doppelten Nullstellen (oder vierfach, sechsfach...) berührt der Graph nur die x-Achse - kein Vorzeichenwechsel! Dort liegt immer ein Hoch- oder Tiefpunkt.

Den Funktionsterm mit gegebenen Nullstellen baust du so auf f(x)=k(x−x1)n1(x−x2)n2...f(x) = k(x-x_1)^{n_1}(x-x_2)^{n_2}... wobei nin_i die Vielfachheit der Nullstelle ist. Den Parameter k findest du durch Einsetzen eines gegebenen Punkts.

Praxistipp Bei f(x)=(x+1)2(x−3)f(x) = (x+1)^2(x-3) hat die Funktion bei x=−1x = -1 eine doppelte Nullstelle beru¨hrtx−Achseberührt x-Achse und bei x=3x = 3 eine einfache schneidetx−Achseschneidet x-Achse.

Themen • Ganzrationale Funktionen Def. Globalverlauf Matheklausur 113 INFORMATION Den Term einer ganzrationalen Funktion nennt man auch Poly

Monotonie und Extrempunkte

Monotonie beschreibt, ob eine Funktion steigt oder fällt. Eine Funktion ist streng monoton steigend, wenn größere x-Werte auch größere Funktionswerte haben.

Extrempunkte sind Hoch- und Tiefpunkte. Ein Hochpunkt ist der höchste Punkt in seiner Umgebung (lokales Maximum), ein Tiefpunkt der niedrigste (lokales Minimum).

Der Monotoniesatz verbindet alles mit der Ableitung Ist f′(x)>0f'(x) > 0, steigt die Funktion. Ist f′(x)<0f'(x) < 0, fällt sie. So findest du einfach die Monotonieintervalle!

Aha-Moment Die Ableitung f′(x)f'(x) zeigt dir die Steigung! Positive Steigung = bergauf, negative Steigung = bergab.

Themen • Ganzrationale Funktionen Def. Globalverlauf Matheklausur 113 INFORMATION Den Term einer ganzrationalen Funktion nennt man auch Poly

Kriterien für Extremstellen

Um Extremstellen zu finden, brauchst du zwei Schritte Erst das notwendige Kriterium $f'(x_e) = 0$, dann ein hinreichendes Kriterium.

Das Vorzeichenwechsel-Kriterium ist super praktisch Wechselt f′(x)f'(x) von + nach -, hast du einen Hochpunkt. Wechselt es von - nach +, ist's ein Tiefpunkt. Kein Wechsel = Sattelpunkt.

Alternativ nutzt du die zweite Ableitung Bei f′(xe)=0f'(x_e) = 0 und f′′(xe)<0f''(x_e) < 0 hast du einen Hochpunkt, bei f′′(xe)>0f''(x_e) > 0 einen Tiefpunkt.

Vorgehen 1) Berechne f′(x)=0f'(x) = 0, 2) Prüfe Vorzeichenwechsel oder nutze f′′(x)f''(x), 3) Berechne f(xe)f(x_e) für die y-Koordinate des Extrempunkts.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Analyse von Funktionen: Nullstellen, Verhalten und Extremstellen

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Ganzrationale Funktionen sind basically Polynome - also Summen von x-Potenzen wie f(x)=3x4−2x2+5x−1f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 1. Der Grad ist dabei der höchste Exponent (hier 4), und die Zahlen davor sind die Koeffizienten.

Beim Globalverlauf geht's darum, wie sich die Funktion verhält, wenn x gegen unendlich oder minus unendlich geht. Das Coole: Du musst nur auf den höchsten Term schauen! anxna_n x^n bestimmt alles.

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Merktipp: Bei f(x)=−2x6+100x3−1000f(x) = -2x^6 + 100x^3 - 1000 ignorierst du alles außer −2x6-2x^6. Grad 6 (gerade) + negative Koeffizient = beide Enden gehen nach unten!

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Symmetrie und Nullstellen

Symmetrie erkennst du an den Exponenten: Nur gerade Exponenten = achsensymmetrisch zur y-Achse. Nur ungerade Exponenten = punktsymmetrisch zum Ursprung. Du checkst das mit f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) (achsensymmetrisch) oder f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) (punktsymmetrisch).

Nullstellen findest du, indem du f(x)=0f(x) = 0 setzt. Bei Produkten ist's einfach: Jeder Faktor einzeln gleich null setzen. Linearfaktoren wie (x−2)(x-2) zeigen dir direkt die Nullstelle $x = 2$.

Biquadratische Gleichungen wie x4−5x2+4=0x^4 - 5x^2 + 4 = 0 löst du durch Substitution: Setze u=x2u = x^2, dann wird's zu u2−5u+4=0u^2 - 5u + 4 = 0. Nach dem Lösen rücksubstituieren!

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Mehrfache Nullstellen

Mehrfache Nullstellen verhalten sich unterschiedlich: Bei einfachen Nullstellen (oder dreifach, fünffach...) schneidet der Graph die x-Achse - es gibt einen Vorzeichenwechsel.

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Den Funktionsterm mit gegebenen Nullstellen baust du so auf: f(x)=k(x−x1)n1(x−x2)n2...f(x) = k(x-x_1)^{n_1}(x-x_2)^{n_2}... wobei nin_i die Vielfachheit der Nullstelle ist. Den Parameter k findest du durch Einsetzen eines gegebenen Punkts.

Praxistipp: Bei f(x)=(x+1)2(x−3)f(x) = (x+1)^2(x-3) hat die Funktion bei x=−1x = -1 eine doppelte Nullstelle beru¨hrtx−Achseberührt x-Achse und bei x=3x = 3 eine einfache schneidetx−Achseschneidet x-Achse.

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Monotonie und Extrempunkte

Monotonie beschreibt, ob eine Funktion steigt oder fällt. Eine Funktion ist streng monoton steigend, wenn größere x-Werte auch größere Funktionswerte haben.

Extrempunkte sind Hoch- und Tiefpunkte. Ein Hochpunkt ist der höchste Punkt in seiner Umgebung (lokales Maximum), ein Tiefpunkt der niedrigste (lokales Minimum).

Der Monotoniesatz verbindet alles mit der Ableitung: Ist f′(x)>0f'(x) > 0, steigt die Funktion. Ist f′(x)<0f'(x) < 0, fällt sie. So findest du einfach die Monotonieintervalle!

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Kriterien für Extremstellen

Um Extremstellen zu finden, brauchst du zwei Schritte: Erst das notwendige Kriterium $f'(x_e) = 0$, dann ein hinreichendes Kriterium.

Das Vorzeichenwechsel-Kriterium ist super praktisch: Wechselt f′(x)f'(x) von + nach -, hast du einen Hochpunkt. Wechselt es von - nach +, ist's ein Tiefpunkt. Kein Wechsel = Sattelpunkt.

Alternativ nutzt du die zweite Ableitung: Bei f′(xe)=0f'(x_e) = 0 und f′′(xe)<0f''(x_e) < 0 hast du einen Hochpunkt, bei f′′(xe)>0f''(x_e) > 0 einen Tiefpunkt.

Vorgehen: 1) Berechne f′(x)=0f'(x) = 0, 2) Prüfe Vorzeichenwechsel oder nutze f′′(x)f''(x), 3) Berechne f(xe)f(x_e) für die y-Koordinate des Extrempunkts.

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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