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Mathematik

Eigenschaften von Funktionsgraphen

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6. Feb. 2026

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Analyse von Funktionen: Nullstellen, Verhalten und Extremstellen

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Jessline

@jessline_91

Du bereitest dich auf eine Klausur zu ganzrationalen Funktionen vor?... Mehr anzeigen

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# Matheklausur 11.3 Funktionsuntersuchung ## Themen * Ganzrationale Funktionen Def. ✓ * Globalver lauf ✓ * Symmetrie des Funktionsgra

Definition und Globalverlauf

Ganzrationale Funktionen sind basically Polynome - also Summen von x-Potenzen wie f(x)=3x4−2x2+5x−1f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 1. Der Grad ist dabei der höchste Exponent (hier 4), und die Zahlen davor sind die Koeffizienten.

Beim Globalverlauf geht's darum, wie sich die Funktion verhält, wenn x gegen unendlich oder minus unendlich geht. Das Coole: Du musst nur auf den höchsten Term schauen! anxna_n x^n bestimmt alles.

Die Regeln sind easy: Bei geradem Grad gehen beide Enden in die gleiche Richtung. Bei ungeradem Grad gehen sie in entgegengesetzte Richtungen. Ist an>0a_n > 0, geht's nach oben, ist an<0a_n < 0, geht's nach unten.

Merktipp: Bei f(x)=−2x6+100x3−1000f(x) = -2x^6 + 100x^3 - 1000 ignorierst du alles außer −2x6-2x^6. Grad 6 (gerade) + negative Koeffizient = beide Enden gehen nach unten!

# Matheklausur 11.3 Funktionsuntersuchung ## Themen * Ganzrationale Funktionen Def. ✓ * Globalver lauf ✓ * Symmetrie des Funktionsgra

Symmetrie und Nullstellen

Symmetrie erkennst du an den Exponenten: Nur gerade Exponenten = achsensymmetrisch zur y-Achse. Nur ungerade Exponenten = punktsymmetrisch zum Ursprung. Du checkst das mit f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) (achsensymmetrisch) oder f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) (punktsymmetrisch).

Nullstellen findest du, indem du f(x)=0f(x) = 0 setzt. Bei Produkten ist's einfach: Jeder Faktor einzeln gleich null setzen. Linearfaktoren wie (x−2)(x-2) zeigen dir direkt die Nullstelle $x = 2$.

Biquadratische Gleichungen wie x4−5x2+4=0x^4 - 5x^2 + 4 = 0 löst du durch Substitution: Setze u=x2u = x^2, dann wird's zu u2−5u+4=0u^2 - 5u + 4 = 0. Nach dem Lösen rücksubstituieren!

Wichtig: Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen. Bei ungeradem Grad gibt's mindestens eine Nullstelle!

# Matheklausur 11.3 Funktionsuntersuchung ## Themen * Ganzrationale Funktionen Def. ✓ * Globalver lauf ✓ * Symmetrie des Funktionsgra

Mehrfache Nullstellen

Mehrfache Nullstellen verhalten sich unterschiedlich: Bei einfachen Nullstellen (oder dreifach, fünffach...) schneidet der Graph die x-Achse - es gibt einen Vorzeichenwechsel.

Bei doppelten Nullstellen (oder vierfach, sechsfach...) berührt der Graph nur die x-Achse - kein Vorzeichenwechsel! Dort liegt immer ein Hoch- oder Tiefpunkt.

Den Funktionsterm mit gegebenen Nullstellen baust du so auf: f(x)=k(x−x1)n1(x−x2)n2...f(x) = k(x-x_1)^{n_1}(x-x_2)^{n_2}... wobei nin_i die Vielfachheit der Nullstelle ist. Den Parameter k findest du durch Einsetzen eines gegebenen Punkts.

Praxistipp: Bei f(x)=(x+1)2(x−3)f(x) = (x+1)^2(x-3) hat die Funktion bei x=−1x = -1 eine doppelte Nullstelle beru¨hrtx−Achseberührt x-Achse und bei x=3x = 3 eine einfache schneidetx−Achseschneidet x-Achse.

# Matheklausur 11.3 Funktionsuntersuchung ## Themen * Ganzrationale Funktionen Def. ✓ * Globalver lauf ✓ * Symmetrie des Funktionsgra

Monotonie und Extrempunkte

Monotonie beschreibt, ob eine Funktion steigt oder fällt. Eine Funktion ist streng monoton steigend, wenn größere x-Werte auch größere Funktionswerte haben.

Extrempunkte sind Hoch- und Tiefpunkte. Ein Hochpunkt ist der höchste Punkt in seiner Umgebung (lokales Maximum), ein Tiefpunkt der niedrigste (lokales Minimum).

Der Monotoniesatz verbindet alles mit der Ableitung: Ist f′(x)>0f'(x) > 0, steigt die Funktion. Ist f′(x)<0f'(x) < 0, fällt sie. So findest du einfach die Monotonieintervalle!

Aha-Moment: Die Ableitung f′(x)f'(x) zeigt dir die Steigung! Positive Steigung = bergauf, negative Steigung = bergab.

# Matheklausur 11.3 Funktionsuntersuchung ## Themen * Ganzrationale Funktionen Def. ✓ * Globalver lauf ✓ * Symmetrie des Funktionsgra

Kriterien für Extremstellen

Um Extremstellen zu finden, brauchst du zwei Schritte: Erst das notwendige Kriterium $f'(x_e) = 0$, dann ein hinreichendes Kriterium.

Das Vorzeichenwechsel-Kriterium ist super praktisch: Wechselt f′(x)f'(x) von + nach -, hast du einen Hochpunkt. Wechselt es von - nach +, ist's ein Tiefpunkt. Kein Wechsel = Sattelpunkt.

Alternativ nutzt du die zweite Ableitung: Bei f′(xe)=0f'(x_e) = 0 und f′′(xe)<0f''(x_e) < 0 hast du einen Hochpunkt, bei f′′(xe)>0f''(x_e) > 0 einen Tiefpunkt.

Vorgehen: 1) Berechne f′(x)=0f'(x) = 0, 2) Prüfe Vorzeichenwechsel oder nutze f′′(x)f''(x), 3) Berechne f(xe)f(x_e) für die y-Koordinate des Extrempunkts.

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

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Greenlight Bonnie

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

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Nullstellen findest du, indem du f(x)=0f(x) = 0 setzt. Bei Produkten ist's einfach: Jeder Faktor einzeln gleich null setzen. Linearfaktoren wie (x−2)(x-2) zeigen dir direkt die Nullstelle $x = 2$.

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

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Stefan S

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Samantha Klich

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Anna

iOS-Nutzerin

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Thomas R

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Basil

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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

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Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

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Rohan U

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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

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Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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