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802
•
25. Dez. 2025
•
Elisa
@living.life.with.eli
Die Ableitungsfunktion ist ein zentrales Werkzeug der Analysis, mit dem... Mehr anzeigen
Lineare Funktionen haben die Form y = mx + t, wobei m die Steigung und t den y-Achsenabschnitt darstellt. Bei m > 0 steigt die Gerade, bei m < 0 fällt sie. Senkrechte Geraden haben das Produkt ihrer Steigungen m₁ · m₂ = -1.
Quadratische Funktionen (Parabeln) erkennst du an der Form y = ax² + bx + c. Der Parameter a bestimmt die Öffnungsrichtung: bei a > 0 nach oben, bei a < 0 nach unten. Der Scheitel ist der höchste oder tiefste Punkt der Parabel.
Die Diskriminante D = b² - 4ac zeigt dir die Anzahl der Nullstellen: D > 0 bedeutet zwei Lösungen, D = 0 eine Lösung und D < 0 keine reelle Lösung. Das ist super wichtig für Klausuren!
Praxis-Tipp: Bei quadratischen Funktionen immer zuerst checken, ob die Parabel nach oben oder unten öffnet - das hilft beim Skizzieren enorm!
Eine Kurvendiskussion läuft immer nach dem gleichen Schema ab. Zuerst prüfst du die Symmetrie: f = f(x) bedeutet Achsensymmetrie zur y-Achse, f = -f(x) bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung.
Die Schnittpunkte findest du durch Nullsetzen: Für die x-Achse löst du f(x) = 0, für die y-Achse setzt du x = 0 ein. Das Verhalten im Unendlichen wird durch den Term mit der höchsten Potenz bestimmt.
Extrempunkte berechnest du über f'(x) = 0 und prüfst mit der zweiten Ableitung: f''(x) > 0 gibt einen Tiefpunkt, f''(x) < 0 einen Hochpunkt. Wendepunkte erhältst du durch f''(x) = 0 mit f'''(x) ≠ 0.
Klausur-Hack: Arbeite immer systematisch die 7 Schritte ab - so vergisst du nichts und sammelst alle Punkte!
Die Tangente an einem Funktionsgraphen ist eine Gerade, die den Graph genau an einem Punkt berührt und dessen Steigung an dieser Stelle angibt. Diese Steigung findest du mit der Ableitungsfunktion f'(x).
Die wichtigsten Ableitungsregeln musst du auswendig kennen: f(x) = x² wird zu f'(x) = 2x, f(x) = x wird zu f'(x) = 1, und konstante Zahlen ergeben f'(x) = 0. Bei f(x) = x³ ist die Ableitung f'(x) = 3x².
Die Ableitung verrät dir viel über den Funktionsverlauf: Ist f'(x) = 0, hast du einen Extrempunkt . Ist f'(x) > 0, steigt die Funktion, und bei f'(x) < 0 fällt sie. Wendepunkte werden zu Extrempunkten in der Ableitungsfunktion.
Merktipp: Die Ableitung ist wie ein "Steigungs-Detector" - sie zeigt dir sofort, ob deine Funktion gerade bergauf, bergab oder waagerecht verläuft!
Funktionenscharen enthalten einen Parameter t, wie f_t(x) = x³ - 3x² + t. Je nach Wert von t erhältst du verschiedene Funktionen der gleichen Familie. Extrempunkte berechnest du normal über f'_t(x) = 0.
Bei Fallunterscheidungen musst du verschiedene Werte für den Parameter t betrachten. So kann ein Punkt je nach t-Wert ein Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkt sein. Das zeigt dir f''_t(x) an der entsprechenden Stelle.
Die Ortskurve ist der geometrische Ort aller Extrem- oder Wendepunkte einer Funktionenschar. Du bestimmst sie, indem du den Parameter t aus den Koordinaten eliminierst und eine neue Funktion ohne Parameter erhältst.
Parameter-Power: Funktionenscharen zeigen dir, wie sich ganze Funktionsfamilien verhalten - das ist wie Mathe in 3D!
Das Vorzeichen der ersten Ableitung f'(x) bestimmt das Monotonieverhalten deiner Funktion. In Bereichen mit f'(x) > 0 steigt die Funktion streng monoton, bei f'(x) < 0 fällt sie streng monoton.
Eine Monotonietabelle hilft dir dabei, die Bereiche übersichtlich darzustellen. Du trägst die Nullstellen von f'(x) ein und prüfst das Vorzeichen in den einzelnen Intervallen durch Einsetzen von Testwerten.
Die zweite Ableitung f''(x) gibt dir Auskunft über die Krümmung: f''(x) > 0 bedeutet Linkskrümmung (konkav), f''(x) < 0 bedeutet Rechtskrümmung (konvex). An Wendepunkten wechselt das Krümmungsverhalten.
Visualisierungs-Tipp: Stelle dir vor, du fährst mit dem Auto auf dem Funktionsgraphen - die erste Ableitung zeigt, ob es bergauf oder bergab geht!
Die Scheitelpunktform f(x) = ² + e zeigt dir sofort den Scheitel bei S. Eine Verschiebung um e Einheiten nach oben oder unten ändert die Anzahl der Nullstellen: e > 0 bedeutet keine, e = 0 eine, e < 0 zwei Nullstellen.
Der Parameter a in f(x) = ax² bestimmt die Form der Parabel: |a| > 1 macht sie schmaler, |a| < 1 breiter als die Normalparabel. Das Vorzeichen von a bestimmt die Öffnungsrichtung.
Biquadratische Gleichungen wie ax⁴ + bx² + c = 0 löst du durch Substitution: Setze u = x² ein, löse die quadratische Gleichung in u, und substituiere zurück. So erhältst du bis zu vier Lösungen.
Substitutions-Trick: Bei x⁴-Termen immer an Substitution denken - das macht komplizierte Gleichungen plötzlich einfach!
Potenzfunktionen f(x) = a·x^n verhalten sich je nach Exponent n völlig unterschiedlich. Bei geraden Exponenten erhältst du achsensymmetrische Graphen zur y-Achse, bei ungeraden Exponenten punktsymmetrische zum Ursprung.
Der Koeffizient a bestimmt Öffnungsrichtung und Streckung: a > 0 öffnet nach oben (bei geraden n), a < 0 nach unten. Je größer |a|, desto steiler wird der Graph, je kleiner, desto "bauchiger".
Ganzrationale Funktionen sind Summen von Potenzfunktionen. Das Verhalten im Unendlichen wird ausschließlich durch den Term mit der höchsten Potenz bestimmt - alle anderen kannst du für große |x| vernachlässigen.
Potenz-Pattern: Gerade Exponenten = U-Form, ungerade Exponenten = S-Form - diese Grundformen bleiben immer erkennbar!
Funktionsbestimmungen (Steckbriefaufgaben) funktionieren wie ein Puzzle: Du stellst aus gegebenen Eigenschaften ein Gleichungssystem auf. Jede Bedingung wird zu einer Gleichung mit den unbekannten Koeffizienten.
Die Anzahl der Unbekannten muss gleich der Anzahl der Bedingungen sein. Ein Punkt P(2|8) wird zu f(2) = 8, eine Extremstelle bei x = 2 zu f'(2) = 0, ein Wendepunkt zu f''(x₀) = 0.
Symmetrieeigenschaften vereinfachen den Funktionsterm erheblich. Bei Achsensymmetrie fallen alle ungeraden Potenzen weg, bei Punktsymmetrie alle geraden. Das spart dir viel Rechenarbeit!
Steckbrief-Strategie: Zähle zuerst die Bedingungen und Unbekannten - stimmt die Anzahl nicht, fehlt dir eine Info oder du hast zu viel verraten!
Die Produktregel f'(x) = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x) brauchst du, wenn zwei Funktionen multipliziert werden. Merksatz: "erste Ableitung mal zweite plus erste mal zweite Ableitung" - kurz u'v + uv'.
Die Quotientenregel für f(x) = u(x)/v(x) lautet f'(x) = /v². Merksatz: "Nenner mal Zähler-Ableitung minus Zähler mal Nenner-Ableitung, alles durch Nenner-Quadrat".
Trigonometrische Funktionen haben einfache Ableitungen: sin(x) wird zu cos(x), cos(x) wird zu -sin(x). Das folgt einem Kreislauf: sin → cos → -sin → -cos → sin.
Regel-Reminder: Bei Produkten addieren sich die Ableitungen (mit Faktoren), bei Quotienten subtrahieren sie sich (im Zähler)!
Umkehrfunktionen f⁻¹ entstehen durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden y = x. Eine Funktion ist nur dann umkehrbar, wenn jedem x-Wert höchstens ein y-Wert zugeordnet wird (Injektivität).
Zur Bestimmung löst du die Gleichung y = f(x) nach x auf und vertauschst dann x und y. Die Definitionsmenge von f wird zur Wertemenge von f⁻¹ und umgekehrt.
Die Kettenregel für f(x) = u(v(x)) lautet f'(x) = u'(v(x))·v'(x). Du multiplizierst die Ableitung der äußeren Funktion (an der Stelle der inneren) mit der Ableitung der inneren Funktion.
Ketten-Trick: Bei verketteten Funktionen wie ⁵ oder sin(x²) immer von außen nach innen ableiten - wie beim Zwiebelschälen!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
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Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
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Elisa
@living.life.with.eli
Die Ableitungsfunktion ist ein zentrales Werkzeug der Analysis, mit dem du die Steigung und das Verhalten von Funktionen verstehen kannst. Du lernst hier alle wichtigen Regeln und Techniken, die du für eine vollständige Kurvendiskussion brauchst.
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Lineare Funktionen haben die Form y = mx + t, wobei m die Steigung und t den y-Achsenabschnitt darstellt. Bei m > 0 steigt die Gerade, bei m < 0 fällt sie. Senkrechte Geraden haben das Produkt ihrer Steigungen m₁ · m₂ = -1.
Quadratische Funktionen (Parabeln) erkennst du an der Form y = ax² + bx + c. Der Parameter a bestimmt die Öffnungsrichtung: bei a > 0 nach oben, bei a < 0 nach unten. Der Scheitel ist der höchste oder tiefste Punkt der Parabel.
Die Diskriminante D = b² - 4ac zeigt dir die Anzahl der Nullstellen: D > 0 bedeutet zwei Lösungen, D = 0 eine Lösung und D < 0 keine reelle Lösung. Das ist super wichtig für Klausuren!
Praxis-Tipp: Bei quadratischen Funktionen immer zuerst checken, ob die Parabel nach oben oder unten öffnet - das hilft beim Skizzieren enorm!
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Eine Kurvendiskussion läuft immer nach dem gleichen Schema ab. Zuerst prüfst du die Symmetrie: f = f(x) bedeutet Achsensymmetrie zur y-Achse, f = -f(x) bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung.
Die Schnittpunkte findest du durch Nullsetzen: Für die x-Achse löst du f(x) = 0, für die y-Achse setzt du x = 0 ein. Das Verhalten im Unendlichen wird durch den Term mit der höchsten Potenz bestimmt.
Extrempunkte berechnest du über f'(x) = 0 und prüfst mit der zweiten Ableitung: f''(x) > 0 gibt einen Tiefpunkt, f''(x) < 0 einen Hochpunkt. Wendepunkte erhältst du durch f''(x) = 0 mit f'''(x) ≠ 0.
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Die Tangente an einem Funktionsgraphen ist eine Gerade, die den Graph genau an einem Punkt berührt und dessen Steigung an dieser Stelle angibt. Diese Steigung findest du mit der Ableitungsfunktion f'(x).
Die wichtigsten Ableitungsregeln musst du auswendig kennen: f(x) = x² wird zu f'(x) = 2x, f(x) = x wird zu f'(x) = 1, und konstante Zahlen ergeben f'(x) = 0. Bei f(x) = x³ ist die Ableitung f'(x) = 3x².
Die Ableitung verrät dir viel über den Funktionsverlauf: Ist f'(x) = 0, hast du einen Extrempunkt . Ist f'(x) > 0, steigt die Funktion, und bei f'(x) < 0 fällt sie. Wendepunkte werden zu Extrempunkten in der Ableitungsfunktion.
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Funktionenscharen enthalten einen Parameter t, wie f_t(x) = x³ - 3x² + t. Je nach Wert von t erhältst du verschiedene Funktionen der gleichen Familie. Extrempunkte berechnest du normal über f'_t(x) = 0.
Bei Fallunterscheidungen musst du verschiedene Werte für den Parameter t betrachten. So kann ein Punkt je nach t-Wert ein Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkt sein. Das zeigt dir f''_t(x) an der entsprechenden Stelle.
Die Ortskurve ist der geometrische Ort aller Extrem- oder Wendepunkte einer Funktionenschar. Du bestimmst sie, indem du den Parameter t aus den Koordinaten eliminierst und eine neue Funktion ohne Parameter erhältst.
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Das Vorzeichen der ersten Ableitung f'(x) bestimmt das Monotonieverhalten deiner Funktion. In Bereichen mit f'(x) > 0 steigt die Funktion streng monoton, bei f'(x) < 0 fällt sie streng monoton.
Eine Monotonietabelle hilft dir dabei, die Bereiche übersichtlich darzustellen. Du trägst die Nullstellen von f'(x) ein und prüfst das Vorzeichen in den einzelnen Intervallen durch Einsetzen von Testwerten.
Die zweite Ableitung f''(x) gibt dir Auskunft über die Krümmung: f''(x) > 0 bedeutet Linkskrümmung (konkav), f''(x) < 0 bedeutet Rechtskrümmung (konvex). An Wendepunkten wechselt das Krümmungsverhalten.
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Die Scheitelpunktform f(x) = ² + e zeigt dir sofort den Scheitel bei S. Eine Verschiebung um e Einheiten nach oben oder unten ändert die Anzahl der Nullstellen: e > 0 bedeutet keine, e = 0 eine, e < 0 zwei Nullstellen.
Der Parameter a in f(x) = ax² bestimmt die Form der Parabel: |a| > 1 macht sie schmaler, |a| < 1 breiter als die Normalparabel. Das Vorzeichen von a bestimmt die Öffnungsrichtung.
Biquadratische Gleichungen wie ax⁴ + bx² + c = 0 löst du durch Substitution: Setze u = x² ein, löse die quadratische Gleichung in u, und substituiere zurück. So erhältst du bis zu vier Lösungen.
Substitutions-Trick: Bei x⁴-Termen immer an Substitution denken - das macht komplizierte Gleichungen plötzlich einfach!
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Potenzfunktionen f(x) = a·x^n verhalten sich je nach Exponent n völlig unterschiedlich. Bei geraden Exponenten erhältst du achsensymmetrische Graphen zur y-Achse, bei ungeraden Exponenten punktsymmetrische zum Ursprung.
Der Koeffizient a bestimmt Öffnungsrichtung und Streckung: a > 0 öffnet nach oben (bei geraden n), a < 0 nach unten. Je größer |a|, desto steiler wird der Graph, je kleiner, desto "bauchiger".
Ganzrationale Funktionen sind Summen von Potenzfunktionen. Das Verhalten im Unendlichen wird ausschließlich durch den Term mit der höchsten Potenz bestimmt - alle anderen kannst du für große |x| vernachlässigen.
Potenz-Pattern: Gerade Exponenten = U-Form, ungerade Exponenten = S-Form - diese Grundformen bleiben immer erkennbar!
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Funktionsbestimmungen (Steckbriefaufgaben) funktionieren wie ein Puzzle: Du stellst aus gegebenen Eigenschaften ein Gleichungssystem auf. Jede Bedingung wird zu einer Gleichung mit den unbekannten Koeffizienten.
Die Anzahl der Unbekannten muss gleich der Anzahl der Bedingungen sein. Ein Punkt P(2|8) wird zu f(2) = 8, eine Extremstelle bei x = 2 zu f'(2) = 0, ein Wendepunkt zu f''(x₀) = 0.
Symmetrieeigenschaften vereinfachen den Funktionsterm erheblich. Bei Achsensymmetrie fallen alle ungeraden Potenzen weg, bei Punktsymmetrie alle geraden. Das spart dir viel Rechenarbeit!
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Die Produktregel f'(x) = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x) brauchst du, wenn zwei Funktionen multipliziert werden. Merksatz: "erste Ableitung mal zweite plus erste mal zweite Ableitung" - kurz u'v + uv'.
Die Quotientenregel für f(x) = u(x)/v(x) lautet f'(x) = /v². Merksatz: "Nenner mal Zähler-Ableitung minus Zähler mal Nenner-Ableitung, alles durch Nenner-Quadrat".
Trigonometrische Funktionen haben einfache Ableitungen: sin(x) wird zu cos(x), cos(x) wird zu -sin(x). Das folgt einem Kreislauf: sin → cos → -sin → -cos → sin.
Regel-Reminder: Bei Produkten addieren sich die Ableitungen (mit Faktoren), bei Quotienten subtrahieren sie sich (im Zähler)!
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Umkehrfunktionen f⁻¹ entstehen durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden y = x. Eine Funktion ist nur dann umkehrbar, wenn jedem x-Wert höchstens ein y-Wert zugeordnet wird (Injektivität).
Zur Bestimmung löst du die Gleichung y = f(x) nach x auf und vertauschst dann x und y. Die Definitionsmenge von f wird zur Wertemenge von f⁻¹ und umgekehrt.
Die Kettenregel für f(x) = u(v(x)) lautet f'(x) = u'(v(x))·v'(x). Du multiplizierst die Ableitung der äußeren Funktion (an der Stelle der inneren) mit der Ableitung der inneren Funktion.
Ketten-Trick: Bei verketteten Funktionen wie ⁵ oder sin(x²) immer von außen nach innen ableiten - wie beim Zwiebelschälen!
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Dieser Lernzettel behandelt arithmetische und geometrische Folgen, deren Grenzwerte sowie die Untersuchung auf Monotonie und Beschränktheit. Er bietet eine klare Übersicht über die Bildungsgesetze, Grenzwertsätze und wichtige Eigenschaften von Folgen, die für das Verständnis der Analysis unerlässlich sind.
MatheEntdecken Sie die Konzepte von Grenzwerten und Konvergenz in Folgen und Reihen. Diese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Grenzwerten, die Eigenschaften von monotonen Folgen, sowie endliche und unendliche Reihen. Ideal für Studierende, die sich auf Mathematikprüfungen vorbereiten.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Ableitungsfunktionen und deren graphische Darstellung, einschließlich der Bestimmung von Funktionsgleichungen und der Analyse von Steigungen. Ideal für Schüler der 10. Klasse im Gymnasium, die sich mit Differenzialrechnung und Kurvenzeichnen beschäftigen. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, den Differenzialquotienten und Anwendungen der Differenzierung.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die wichtigsten Konzepte zu Funktionen, Ableitungen und deren Transformationen. Sie umfasst die Berechnung von Nullstellen, Extrempunkten, Wendepunkten sowie die Anwendung der Ableitungsregeln. Ideal für die Vorbereitung auf zentrale Klausuren in Mathematik.
MatheErfahren Sie alles über die Produktregel in der Differentiation. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Definition, die Ableitungsformel und zahlreiche Beispiele zur Anwendung der Produktregel. Ideal für Studierende, die ihre Kenntnisse in der Mathematik vertiefen möchten.
MatheUmfassende Zusammenfassung aller relevanten Themen für das mündliche Abitur, einschließlich Kurvendiskussion, Ableitungen, Vektorrechnung, Integrationsregeln, stochastische Probleme und mehr. Ideal für die gezielte Prüfungsvorbereitung.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Deutsch
Biologie