Verständnis von linearen und quadratischen Gleichungen

Lineare Gleichungen meistern

Lineare Gleichungen sind dein Einstieg ins Gleichungen lösen - und zum Glück auch die einfachsten! Das Ziel ist immer dasselbe: Du stellst nach x um, indem du auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Rechenoperationen machst.

Schau dir dieses Beispiel an: 6x + 7 = -9x + 12. Erst bringst du alle x auf eine Seite $15x = 5$, dann teilst du durch 15 und erhältst x = 1/3. Wichtig: Deine Lösung schreibst du als Lösungsmenge in geschweiften Klammern: L = {1/3}.

Manchmal gibt es aber Überraschungen! Bei 8 - 2x = 3 - 2x kommst du am Ende auf 5 = 0 - das ist unmöglich, also gibt es keine Lösung $L = ∅$. Bei anderen Gleichungen wie 8x + 4 = 2$4x + 2$ erhältst du eine wahre Aussage für jedes x - dann ist jede reelle Zahl eine Lösung $L = ℝ$.

Merke dir: Gib Brüche immer als gemeine Brüche an, nie als Dezimalzahlen!

Quadratische Gleichungen knacken

Bei quadratischen Gleichungen wird's spannender, weil x² vorkommt - aber keine Panik, es gibt klare Strategien für jeden Typ!

Reinquadratische Gleichungen wie x² - 49 = 0 löst du durch Umstellen und Wurzelziehen: x² = 49, also x = ±7. Pass auf: Aus negativen Zahlen kannst du keine Wurzel ziehen!

Wenn kein absolutes Glied da ist $x² + 2x = 0$, klammerst du x aus: x$x + 2$ = 0. Dann machst du eine Falluntersuchung: Entweder x = 0 oder x + 2 = 0, also x = -2. Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist.

Für allgemeine quadratische Gleichungen bringst du sie erst in die Normalform x² + px + q = 0 und verwendest dann die p-q-Formel: x₁,₂ = -p/2 ± √$(p/2)² - q$. Die Diskriminante $p/2$² - q verrät dir schon vorher, ob du eine, zwei oder gar keine Lösung bekommst.

Tipp: Teile niemals durch die Unbekannte x - du könntest eine Lösung verlieren!