Quadratische Funktionen sind überall um uns herum - von der...
Mathe2.610 aufrufe·Aktualisiert 13. Aug. 2026·4 SeitenQuadratische Funktionen und Gleichungen: Übungen und Erklärungen für die 10. Klasse
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Franzi@franzi.schno
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Darstellungsformen von quadratischen Funktionen
Quadratische Funktionen begegnen dir häufiger als du denkst - schon beim Werfen eines Balls entsteht eine Parabel! Es gibt drei verschiedene Formen, die alle ihre eigenen Vorteile haben.
Die Normalparabel f = x² ist dein Ausgangspunkt. Der Streckfaktor a bestimmt dabei die Form: Ist a positiv, öffnet sich die Parabel nach oben, ist a negativ nach unten. Bei |a| < 1 wird sie gestaucht, bei |a| > 1 gestreckt.
In der Scheitelpunktform f = a² + e kannst du den Scheitelpunkt S(d|e) direkt ablesen. Wichtig: Das d in der Klammer hat immer das entgegengesetzte Vorzeichen zum Scheitelpunkt! Ist d > 0, verschiebt sich die Parabel nach rechts, ist d < 0 nach links.
Die allgemeine Form f = ax² + bx + c zeigt dir sofort den y-Achsenabschnitt c. Setzt du x = 0 ein, erhältst du den Punkt P(0|c). In der faktorisierten Form f = ax-n$$x-m erkennst du die Nullstellen n und m auf einen Blick.
Merktipp: Jede Form hat ihren Zweck - SPF für Scheitelpunkt, AF für y-Achsenabschnitt, FF für Nullstellen!
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Umrechnung zwischen Darstellungsformen
Das Umrechnen zwischen den Formen ist wie das Übersetzen zwischen Sprachen - du sagst dasselbe auf verschiedene Weise aus. Mit ein bisschen Übung wird es zum Automatismus!
Von AF zu SPF gehst du über die quadratische Ergänzung: Klammere erst den Faktor vor x² aus, halbiere dann den mittleren Koeffizienten und quadriere ihn. Füge diese Zahl in der Klammer hinzu und ziehe sie wieder ab. Anschließend wendest du die binomische Formel rückwärts an.
Von SPF zu AF multiplizierst du einfach die Klammern aus. Verwende die binomische Formel ² = a² - 2ab + b² und fasse am Ende zusammen.
Von FF zu AF funktioniert durch Ausmultiplizieren der beiden Klammern. Das kennst du schon: x-n$$x-m = x² - x + n·m. Die p-q-Formel x₁,₂ = -p/2 ± √ hilft dir beim Rückweg von AF zu FF.
Praxistipp: Kontrolliere deine Umrechnungen immer durch Einsetzen eines Wertes - beide Formen müssen dasselbe Ergebnis liefern!
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Lösen quadratischer Gleichungen
Quadratische Gleichungen zu lösen ist wie Detektivarbeit - es gibt verschiedene Wege zum Ziel! Du kannst sowohl grafisch als auch rechnerisch vorgehen.
Grafisch formst du die Gleichung so um, dass auf einer Seite x² steht. Dann zeichnest du die Normalparabel und die entsprechende Gerade ins Koordinatensystem. Die x-Koordinaten der Schnittpunkte sind deine Lösungen.
Rechnerisch hast du mehrere Möglichkeiten: Bei Spezialfällen wie ax² + c = 0 (ohne x-Term) löst du durch Äquivalenzumformungen. Bei ax² + bx = 0 (ohne konstanten Term) klammerst du x aus und erhältst x = 0.
Die Lösungsmenge kann ein, zwei oder null Elemente haben. Das hängt von der Diskriminante D = ² - q ab: D > 0 bedeutet zwei Lösungen, D = 0 eine Lösung, D < 0 keine reelle Lösung.
Wichtig: Bei der p-q-Formel darf vor x² kein Faktor stehen - teile vorher durch a!
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Problemlösen mit quadratischen Gleichungen
Textaufgaben mit quadratischen Gleichungen löst du systematisch wie ein Profi! Das Geheimnis liegt in der strukturierten Herangehensweise.
Verstehe die Aufgabe gründlich: Was ist gesucht und was ist gegeben? Erstelle eine beschriftete Skizze - sie ist oft der Schlüssel zum Erfolg. Ersetze das Gesuchte durch eine Variable und stelle mit Zahlenbeispielen Terme auf.
Zerlege das Problem in Teilschritte und erstelle eine Funktionsgleichung. Plane deinen weiteren Rechenweg, bevor du losrechnest. Setze dann die gegebenen Werte ein und löse die Gleichung.
Die Rückschau ist entscheidend: Führe eine Probe durch und überprüfe, ob dein Ergebnis realistisch ist. Formuliere einen vollständigen Antwortsatz.
Erfolgstipp: Lass dich nicht von komplexen Textaufgaben einschüchtern - sie folgen immer demselben Schema!
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AnnaiOS-Nutzerin
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Franzi@franzi.schno
Quadratische Funktionen sind überall um uns herum - von der Flugbahn eines Basketballs bis zur Form einer Brücke. Du lernst hier die drei wichtigsten Darstellungsformen von Parabeln kennen und wie du zwischen ihnen umrechnen kannst. Außerdem zeigen wir dir, wie...
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Darstellungsformen von quadratischen Funktionen
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Die allgemeine Form f = ax² + bx + c zeigt dir sofort den y-Achsenabschnitt c. Setzt du x = 0 ein, erhältst du den Punkt P(0|c). In der faktorisierten Form f = ax-n$$x-m erkennst du die Nullstellen n und m auf einen Blick.
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Von FF zu AF funktioniert durch Ausmultiplizieren der beiden Klammern. Das kennst du schon: x-n$$x-m = x² - x + n·m. Die p-q-Formel x₁,₂ = -p/2 ± √ hilft dir beim Rückweg von AF zu FF.
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