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pauline
29.11.2025
Mathe
Grenzwertberechnung - Nullfolgen, Grenzwerte von Funktionen, Grenzwerte an einer Stelle
1.383
•
29. Nov. 2025
•
pauline
@paulinchen_e
Grenzwerte sind ein wichtiger Teil der Analysis und helfen dir... Mehr anzeigen
Eine Nullfolge ist eine Zahlenfolge, die gegen null konvergiert - super praktisch für Grenzwertberechnungen! Es gibt ein paar wichtige Grenzwerte, die du dir merken solltest.
Die wichtigsten sind: lim = 0, lim = 0, und lim(qⁿ) = 0 (wenn |q| < 1). Diese Formeln brauchst du ständig, also präg sie dir gut ein!
Der Trick bei Grenzwertberechnungen ist das Umformen: Du klammerst die höchste Potenz aus oder teilst durch n. Dadurch entstehen Nullfolgen, die du leicht berechnen kannst. Bei rationalen Funktionen führt das direkt zur waagerechten Asymptote.
Merktipp: Klammer immer die höchste Potenz aus - dann siehst du sofort, welche Terme gegen null gehen!
Funktionsgrenzwerte funktionieren ähnlich wie bei Folgen - du schaust, was passiert, wenn x gegen unendlich oder minus unendlich geht. Das Ergebnis zeigt dir das Verhalten der Funktion.
Bei rationalen Funktionen klammerst du wieder die höchste Potenz aus. Wenn Zähler und Nenner den gleichen Grad haben, erhältst du eine Konstante als Grenzwert. Das ist dann deine waagerechte Asymptote!
Ist der Grad im Zähler kleiner als im Nenner, geht die Funktion gegen null . Ist der Zählergrad größer, divergiert die Funktion gegen plus oder minus unendlich.
Bei Polynomfunktionen bestimmt die höchste Potenz das Verhalten: Gerade Potenzen gehen immer in dieselbe Richtung, ungerade Potenzen in entgegengesetzte Richtungen.
Praxistipp: Schau dir immer zuerst die Grade von Zähler und Nenner an - das verrät dir sofort, was passieren wird!
Hier wird's spannend: Du untersuchst das Verhalten einer Funktion an Definitionslücken oder beliebigen Stellen. Es gibt verschiedene Typen von Lücken, die du unterscheiden musst.
Bei hebbaren Definitionslücken existiert der Grenzwert, obwohl die Funktion an der Stelle nicht definiert ist. Du kannst die Lücke theoretisch "wegdefinieren". Bei Polstellen geht die Funktion gegen plus oder minus unendlich.
Sprungstellen erkennst du daran, dass der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert unterschiedlich sind. Hier existiert kein Grenzwert! Ein klassisches Beispiel ist f(x) = x/|x| an der Stelle x = 0.
Wichtig: Prüfe immer beide Seiten einer Definitionslücke - nur wenn links- und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen, existiert der Grenzwert!
Die Berechnung von Grenzwerten an einer Stelle ist meist straightforward: Einfach den Wert einsetzen, wenn die Funktion dort definiert ist. Bei Definitionslücken musst du cleverer vorgehen.
Der wichtigste Trick ist das Kürzen: Du klammerst Faktoren aus oder wendest binomische Formeln an, um die problematische Stelle zu eliminieren. Nach dem Kürzen kannst du den Grenzwert meist direkt berechnen.
Bei Brüchen vom Typ 0/0 hilft oft das Ausklammern des gemeinsamen Faktors. Dann vereinfacht sich der Ausdruck und du kannst den Grenzwert problemlos bestimmen.
Erfolgsstrategie: Wenn du 0/0 erhältst, such nach gemeinsamen Faktoren zum Kürzen - das löst fast immer das Problem!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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pauline
@paulinchen_e
Grenzwerte sind ein wichtiger Teil der Analysis und helfen dir zu verstehen, wie sich Funktionen und Folgen verhalten. Du lernst hier, was Nullfolgen sind und wie du Grenzwerte von Zahlenfolgen und Funktionen berechnest.
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Eine Nullfolge ist eine Zahlenfolge, die gegen null konvergiert - super praktisch für Grenzwertberechnungen! Es gibt ein paar wichtige Grenzwerte, die du dir merken solltest.
Die wichtigsten sind: lim = 0, lim = 0, und lim(qⁿ) = 0 (wenn |q| < 1). Diese Formeln brauchst du ständig, also präg sie dir gut ein!
Der Trick bei Grenzwertberechnungen ist das Umformen: Du klammerst die höchste Potenz aus oder teilst durch n. Dadurch entstehen Nullfolgen, die du leicht berechnen kannst. Bei rationalen Funktionen führt das direkt zur waagerechten Asymptote.
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Bei rationalen Funktionen klammerst du wieder die höchste Potenz aus. Wenn Zähler und Nenner den gleichen Grad haben, erhältst du eine Konstante als Grenzwert. Das ist dann deine waagerechte Asymptote!
Ist der Grad im Zähler kleiner als im Nenner, geht die Funktion gegen null . Ist der Zählergrad größer, divergiert die Funktion gegen plus oder minus unendlich.
Bei Polynomfunktionen bestimmt die höchste Potenz das Verhalten: Gerade Potenzen gehen immer in dieselbe Richtung, ungerade Potenzen in entgegengesetzte Richtungen.
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Bei hebbaren Definitionslücken existiert der Grenzwert, obwohl die Funktion an der Stelle nicht definiert ist. Du kannst die Lücke theoretisch "wegdefinieren". Bei Polstellen geht die Funktion gegen plus oder minus unendlich.
Sprungstellen erkennst du daran, dass der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert unterschiedlich sind. Hier existiert kein Grenzwert! Ein klassisches Beispiel ist f(x) = x/|x| an der Stelle x = 0.
Wichtig: Prüfe immer beide Seiten einer Definitionslücke - nur wenn links- und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen, existiert der Grenzwert!
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Die Berechnung von Grenzwerten an einer Stelle ist meist straightforward: Einfach den Wert einsetzen, wenn die Funktion dort definiert ist. Bei Definitionslücken musst du cleverer vorgehen.
Der wichtigste Trick ist das Kürzen: Du klammerst Faktoren aus oder wendest binomische Formeln an, um die problematische Stelle zu eliminieren. Nach dem Kürzen kannst du den Grenzwert meist direkt berechnen.
Bei Brüchen vom Typ 0/0 hilft oft das Ausklammern des gemeinsamen Faktors. Dann vereinfacht sich der Ausdruck und du kannst den Grenzwert problemlos bestimmen.
Erfolgsstrategie: Wenn du 0/0 erhältst, such nach gemeinsamen Faktoren zum Kürzen - das löst fast immer das Problem!
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Smarte Tools NEU
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Erlerne die Berechnung von Ober- und Untersummen anhand der Funktion f(x) = 1 - x² im Intervall [0, 1]. Diese Zusammenfassung bietet eine Schritt-für-Schritt-Anleitung zur grafischen Darstellung, Zerlegung des Intervalls und zur Berechnung der Summen. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Integrationsmethoden vertraut machen möchten.
MatheErforschen Sie die Konzepte des Limes und Grenzverhaltens von Funktionen. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Definition, grafische Darstellungen und Schritt-für-Schritt-Anleitungen zur Bestimmung von Grenzwerten. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Lösungen zu den Aufgaben S. 148 und 149 aus dem Lambacher Schweizer Mathebuch für die Qualifikationsphase. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie Exponentialfunktionen, Ableitungen, Integrationsregeln und die Berechnung von Durchschnittswerten. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten und ein tieferes Verständnis für Differential- und Integralrechnung entwickeln möchten.
MatheDiese Zusammenstellung umfasst die Aufgaben und Lösungen der zentralen Klausur im Fach Mathematik für das Jahr 2018. Die Themen beinhalten multistufige Zufallsexperimente, Funktionen und deren Ableitungen, Gewinnwahrscheinlichkeiten, sowie die Analyse von Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten und ihre Kenntnisse in Stochastik und Analysis vertiefen möchten.
MatheErforschen Sie die Konzepte der Grenzwerte und das Grenzverhalten von Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt die Definition von Grenzwerten, Konvergenz und Divergenz sowie spezifische Beispiele für Grenzwerte im Unendlichen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Analysis vertiefen möchten.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Analyse von Funktionen, einschließlich der Bestimmung von Extrempunkten, Wendepunkten und der Anwendung von Ableitungen. Sie umfasst auch die Berechnung von Laktatkonzentrationen in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit sowie die Modellierung von Flugbahnen. Ideal für Studierende der Differential- und Integralrechnung, die sich auf Klausuren vorbereiten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Stefan S
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Samantha Klich
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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