Test LK3 MA11 - Grenzwerte und Asymptoten
Grenzwerte im Unendlichen bestimmst du, indem du dir anschaust, was mit einer Funktion passiert, wenn x gegen plus oder minus unendlich geht. Bei gebrochen-rationalen Funktionen kommt es auf die höchsten Potenzen an.
Für waagerechte Asymptoten vergleichst du die Grade von Zähler und Nenner. Haben beide den gleichen Grad, ist die Asymptote y = Verhältnis der Leitkoeffizienten. Hat der Nenner einen höheren Grad, ist die Asymptote y = 0.
Schräge Asymptoten entstehen, wenn der Zählergrad genau um eins höher ist als der Nennergrad. Du findest sie durch Polynomdivision oder durch Bestimmung der Grenzwerte der Steigung und des y-Achsenabschnitts.
Merktipp: Bei Definitionslücken immer von links und rechts an die kritische Stelle heranfahren - oft gibt's unterschiedliche Grenzwerte!
Das Grenzverhalten an Definitionslücken untersuchst du durch separate Betrachtung von links und rechts. Kürzen sich Faktoren weg, hast du oft eine hebbare Unstetigkeitsstelle. Bleibt ein Faktor nur im Nenner, gibt's meist eine Polstelle.
Die Ableitung über den Differenzenquotienten zeigt dir, wie Steigungen mathematisch exakt definiert werden. Der Grenzübergang h → 0 beim Differenzenquotienten führt zur Ableitungsfunktion.
Stetigkeit bedeutet, dass eine Funktion keine "Sprünge" hat. Bei f = 1/x liegt bei x = 0 eine Unstetigkeitsstelle vor, weil die Funktion dort nicht definiert ist.
