Grenzwerte von Funktionen

Stell dir vor, du willst wissen, was mit einer Funktion passiert, wenn x riesig groß wird oder sich einem bestimmten Wert nähert, bei dem die Funktion eigentlich nicht definiert ist. Genau dafür brauchst du Grenzwerte!

Es gibt zwei Hauptfälle: Grenzprozess gegen unendlich und Grenzprozess gegen einen bestimmten Wert. Bei beiden kannst du mit Wertetabellen experimentieren oder mathematisch geschickt umformen.

Fall 1: Gegen unendlich Nimm zum Beispiel $\frac{2x + 1}{x}$. Wenn x immer größer wird (1, 10, 100, 1000...), nähert sich y dem Wert 2. Mathematisch formst du um: $\frac{2x + 1}{x} = 2 + \frac{1}{x}$. Da $\frac{1}{x}$ gegen 0 geht, bleibt 2 übrig.

Fall 2: Gegen einen bestimmten Wert Bei $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ für x gegen 2 hast du das Problem "0 durch 0". Lösung: Du formst mit der 3. binomischen Formel um zu $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$, kürzt zu $(x+2)$ und erhältst den Grenzwert 4.

Merktipp: Beim linksseitigen Grenzwert näherst du dich von links (x < 2), beim rechtsseitigen von rechts (x > 2). Stimmen beide überein, existiert der Grenzwert!