Grundlagen der Differentialrechnung

Die Differentialrechnung hilft dir dabei, das Verhalten von Funktionen zu verstehen. Du lernst, wie steil eine Funktion an bestimmten Stellen ist und wo sie ihre Hoch- und Tiefpunkte hat.

Das Wichtigste sind die Ableitungsregeln, mit denen du jede Funktion ableiten kannst. Diese Regeln sind wie ein Werkzeugkasten - je mehr du übst, desto automatischer wendest du sie an.

Ableitungsregeln und Anwendungen

Die wichtigsten Ableitungsregeln solltest du auswendig kennen: Die Potenzregel $f(x) = x^r → f'(x) = r \cdot x^{r-1}$ ist der Grundbaustein. Die Faktor- und Summenregel sind super einfach - Konstanten bleiben beim Ableiten erhalten, Summen werden einzeln abgeleitet.

Die Kettenregel brauchst du bei verketteten Funktionen: äußere mal innere Ableitung. Bei der Produktregel gilt: $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ - "erster mal zweiter plus erster mal zweiter abgeleitet".

Extremstellen findest du, indem du $f'(x) = 0$ setzt. Maximum bei $f''(x) < 0$, Minimum bei $f''(x) > 0$. Wendestellen haben $f''(x) = 0$ und $f'''(x) ≠ 0$.

Tipp: Bei Extremwertproblemen gehst du immer systematisch vor - erst die Zielfunktion aufstellen, dann Nebenbedingungen einsetzen und schließlich ableiten!

Monotonie erkennst du an der ersten Ableitung: $f'(x) > 0$ bedeutet wachsend, $f'(x) < 0$ bedeutet fallend. Die Krümmung zeigt dir die zweite Ableitung: $f''(x) > 0$ ist linksgekrümmt (Tal), $f''(x) < 0$ ist rechtsgekrümmt (Berg).