Ober- und Untersummen sind eine clevere Methode, um Flächeninhalte unter... Mehr anzeigen
Mathe2,102 aufrufe·Aktualisiert Jun 2, 2026·21 SeitenFlächenberechnung mit Ober- und Untersummen einfach erklärt
Brian Grütze@alx6c3
1 / 10
1
of 10![1.4
1.2
$f(x) = x^2$
[0; 1]
-1-
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.2
1.4
1.6
1.8
-0.2
1 ### Ober- und Untersummen
2 Gliede](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FjtQMZvtoHtblLzTTiVle_image_page_1.webp&w=2048&q=75)
Grundidee der Flächenbestimmung
Stell dir vor, du willst die Fläche unter einer Kurve messen, aber kennst noch keine Integrale. Kein Problem! Mit Ober- und Untersummen kannst du die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion f und der x-Achse über ein Intervall [a; b] näherungsweise bestimmen.
Das Prinzip ist genial einfach: Du teilst die Fläche in viele kleine Rechtecke auf. Diese Rechtecke kannst du leicht berechnen, und zusammen geben sie dir eine gute Annäherung an die echte Fläche.
Wichtig: Die tatsächliche Fläche A liegt immer zwischen der Untersumme U und der Obersumme O: U ≤ A ≤ O. So bekommst du automatisch eine Ober- und Untergrenze!
💡 Merktipp: Je mehr Rechtecke du verwendest, desto genauer wird deine Annäherung!
2
of 10![1.4
1.2
$f(x) = x^2$
[0; 1]
-1-
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.2
1.4
1.6
1.8
-0.2
1 ### Ober- und Untersummen
2 Gliede](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FjtQMZvtoHtblLzTTiVle_image_page_2.webp&w=2048&q=75)
Was sind Untersummen?
Bei Untersummen verwendest du den kleinsten Funktionswert in jedem Teilintervall als Höhe deiner Rechtecke. Dadurch liegen alle Rechtecke unter der Kurve - deshalb "Untersumme".
Schauen wir uns das Beispiel f(x) = 0,5x² im Intervall [0; 2] an: Mit 4 Teilintervallen erhältst du U₄ = 0,875 FE. Mit 10 Teilintervallen wird's schon genauer: U₁₀ = 1,14 FE.
Die allgemeine Formel für Untersummen lautet: Uₙ = · . Dabei ist a die Intervallgröße und n die Anzahl der Teilintervalle.
💡 Praxistipp: Untersummen geben dir immer einen Wert, der kleiner als die echte Fläche ist - perfekt als untere Grenze!
3
of 10![1.4
1.2
$f(x) = x^2$
[0; 1]
-1-
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.2
1.4
1.6
1.8
-0.2
1 ### Ober- und Untersummen
2 Gliede](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FjtQMZvtoHtblLzTTiVle_image_page_3.webp&w=2048&q=75)
Gliederung des Themas
Das Thema Flächenbestimmung gliedert sich in vier übersichtliche Bereiche, die logisch aufeinander aufbauen.
Zuerst lernst du die Grundlagen der Untersummen kennen - wie du Rechtecke unter die Kurve legst. Danach kommen die Obersummen, bei denen die Rechtecke über der Kurve liegen.
Im dritten Teil geht's dann um die exakte Bestimmung - hier siehst du, wie aus den Näherungen die echte Fläche wird. Zum Schluss warten praktische Aufgaben auf dich, damit du alles selbst ausprobieren kannst.
💡 Lernstrategie: Arbeite dich Schritt für Schritt durch - jeder Bereich baut auf dem vorherigen auf!
4
of 10![1.4
1.2
$f(x) = x^2$
[0; 1]
-1-
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.2
1.4
1.6
1.8
-0.2
1 ### Ober- und Untersummen
2 Gliede](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FjtQMZvtoHtblLzTTiVle_image_page_4.webp&w=2048&q=75)
Obersummen verstehen
Bei Obersummen nimmst du den größten Funktionswert in jedem Teilintervall als Rechteckhöhe. Dadurch ragen die Rechtecke über die Kurve hinaus und du erhältst einen Wert, der größer als die tatsächliche Fläche ist.
Das ist das Gegenstück zu den Untersummen und gibt dir die obere Grenze für die echte Fläche. Zusammen mit der Untersumme hast du dann einen "Korridor", in dem die wahre Fläche liegt.
Je mehr Teilintervalle du verwendest, desto enger wird dieser Korridor. Am Ende treffen sich Ober- und Untersumme praktisch im gleichen Wert - und das ist dann deine exakte Fläche!
💡 Verstehens-Check: Obersumme > echte Fläche > Untersumme - so einfach ist das Prinzip!
5
of 10![1.4
1.2
$f(x) = x^2$
[0; 1]
-1-
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.2
1.4
1.6
1.8
-0.2
1 ### Ober- und Untersummen
2 Gliede](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FjtQMZvtoHtblLzTTiVle_image_page_5.webp&w=2048&q=75)
6
of 10![1.4
1.2
$f(x) = x^2$
[0; 1]
-1-
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.2
1.4
1.6
1.8
-0.2
1 ### Ober- und Untersummen
2 Gliede](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FjtQMZvtoHtblLzTTiVle_image_page_6.webp&w=2048&q=75)
7
of 10![1.4
1.2
$f(x) = x^2$
[0; 1]
-1-
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.2
1.4
1.6
1.8
-0.2
1 ### Ober- und Untersummen
2 Gliede](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FjtQMZvtoHtblLzTTiVle_image_page_7.webp&w=2048&q=75)
8
of 10![1.4
1.2
$f(x) = x^2$
[0; 1]
-1-
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.2
1.4
1.6
1.8
-0.2
1 ### Ober- und Untersummen
2 Gliede](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FjtQMZvtoHtblLzTTiVle_image_page_8.webp&w=2048&q=75)
9
of 10![1.4
1.2
$f(x) = x^2$
[0; 1]
-1-
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.2
1.4
1.6
1.8
-0.2
1 ### Ober- und Untersummen
2 Gliede](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FjtQMZvtoHtblLzTTiVle_image_page_9.webp&w=2048&q=75)
10
of 10![1.4
1.2
$f(x) = x^2$
[0; 1]
-1-
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.2
1.4
1.6
1.8
-0.2
1 ### Ober- und Untersummen
2 Gliede](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FjtQMZvtoHtblLzTTiVle_image_page_10.webp&w=2048&q=75)
Wir dachten schon, du fragst nie...
Was ist der Knowunity KI-Begleiter?
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
Wo kann ich die Knowunity-App herunterladen?
Du kannst die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ist Knowunity wirklich kostenlos?
Genau! Genieße kostenlosen Zugang zu Lerninhalten, vernetze dich mit anderen Schülern und hol dir sofortige Hilfe – alles direkt auf deinem Handy.
Ähnlicher Inhalt
Beliebtester Inhalt: obere Summe
2Beliebtester Inhalt in Mathe
9Beliebtester Inhalt
9Findest du nicht, was du suchst? Entdecke andere Fächer.
Schüler lieben uns — und du auch.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan SiOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha KlichAndroid-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
AnnaiOS-Nutzerin
Mathe2,102 aufrufe·Aktualisiert Jun 2, 2026·21 SeitenFlächenberechnung mit Ober- und Untersummen einfach erklärt
Brian Grütze@alx6c3
Ober- und Untersummen sind eine clevere Methode, um Flächeninhalte unter Kurven zu berechnen - und das ganz ohne komplizierte Integralrechnung! Du zerlegst einfach die Fläche in kleine Rechtecke und näherst dich so der tatsächlichen Fläche an.
1
of 10Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!
- Zugriff auf alle Dokumente
- Verbessere deine Noten
- Schließ dich Millionen Schülern an
Grundidee der Flächenbestimmung
Stell dir vor, du willst die Fläche unter einer Kurve messen, aber kennst noch keine Integrale. Kein Problem! Mit Ober- und Untersummen kannst du die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion f und der x-Achse über ein Intervall [a; b] näherungsweise bestimmen.
Das Prinzip ist genial einfach: Du teilst die Fläche in viele kleine Rechtecke auf. Diese Rechtecke kannst du leicht berechnen, und zusammen geben sie dir eine gute Annäherung an die echte Fläche.
Wichtig: Die tatsächliche Fläche A liegt immer zwischen der Untersumme U und der Obersumme O: U ≤ A ≤ O. So bekommst du automatisch eine Ober- und Untergrenze!
💡 Merktipp: Je mehr Rechtecke du verwendest, desto genauer wird deine Annäherung!
2
of 10Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!
- Zugriff auf alle Dokumente
- Verbessere deine Noten
- Schließ dich Millionen Schülern an
Was sind Untersummen?
Bei Untersummen verwendest du den kleinsten Funktionswert in jedem Teilintervall als Höhe deiner Rechtecke. Dadurch liegen alle Rechtecke unter der Kurve - deshalb "Untersumme".
Schauen wir uns das Beispiel f(x) = 0,5x² im Intervall [0; 2] an: Mit 4 Teilintervallen erhältst du U₄ = 0,875 FE. Mit 10 Teilintervallen wird's schon genauer: U₁₀ = 1,14 FE.
Die allgemeine Formel für Untersummen lautet: Uₙ = · . Dabei ist a die Intervallgröße und n die Anzahl der Teilintervalle.
💡 Praxistipp: Untersummen geben dir immer einen Wert, der kleiner als die echte Fläche ist - perfekt als untere Grenze!
3
of 10Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!
- Zugriff auf alle Dokumente
- Verbessere deine Noten
- Schließ dich Millionen Schülern an
Gliederung des Themas
Das Thema Flächenbestimmung gliedert sich in vier übersichtliche Bereiche, die logisch aufeinander aufbauen.
Zuerst lernst du die Grundlagen der Untersummen kennen - wie du Rechtecke unter die Kurve legst. Danach kommen die Obersummen, bei denen die Rechtecke über der Kurve liegen.
Im dritten Teil geht's dann um die exakte Bestimmung - hier siehst du, wie aus den Näherungen die echte Fläche wird. Zum Schluss warten praktische Aufgaben auf dich, damit du alles selbst ausprobieren kannst.
💡 Lernstrategie: Arbeite dich Schritt für Schritt durch - jeder Bereich baut auf dem vorherigen auf!
4
of 10Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!
- Zugriff auf alle Dokumente
- Verbessere deine Noten
- Schließ dich Millionen Schülern an
Obersummen verstehen
Bei Obersummen nimmst du den größten Funktionswert in jedem Teilintervall als Rechteckhöhe. Dadurch ragen die Rechtecke über die Kurve hinaus und du erhältst einen Wert, der größer als die tatsächliche Fläche ist.
Das ist das Gegenstück zu den Untersummen und gibt dir die obere Grenze für die echte Fläche. Zusammen mit der Untersumme hast du dann einen "Korridor", in dem die wahre Fläche liegt.
Je mehr Teilintervalle du verwendest, desto enger wird dieser Korridor. Am Ende treffen sich Ober- und Untersumme praktisch im gleichen Wert - und das ist dann deine exakte Fläche!
💡 Verstehens-Check: Obersumme > echte Fläche > Untersumme - so einfach ist das Prinzip!
5
of 10Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!
- Zugriff auf alle Dokumente
- Verbessere deine Noten
- Schließ dich Millionen Schülern an
6
of 10Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!
- Zugriff auf alle Dokumente
- Verbessere deine Noten
- Schließ dich Millionen Schülern an
7
of 10Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!
- Zugriff auf alle Dokumente
- Verbessere deine Noten
- Schließ dich Millionen Schülern an
8
of 10Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!
- Zugriff auf alle Dokumente
- Verbessere deine Noten
- Schließ dich Millionen Schülern an
9
of 10Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!
- Zugriff auf alle Dokumente
- Verbessere deine Noten
- Schließ dich Millionen Schülern an
10
of 10Melde dich an, um den Inhalt zu sehen. Kostenlos!
- Zugriff auf alle Dokumente
- Verbessere deine Noten
- Schließ dich Millionen Schülern an
Wir dachten schon, du fragst nie...
Was ist der Knowunity KI-Begleiter?
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
Wo kann ich die Knowunity-App herunterladen?
Du kannst die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ist Knowunity wirklich kostenlos?
Genau! Genieße kostenlosen Zugang zu Lerninhalten, vernetze dich mit anderen Schülern und hol dir sofortige Hilfe – alles direkt auf deinem Handy.
Ähnlicher Inhalt
Beliebtester Inhalt: obere Summe
2Beliebtester Inhalt in Mathe
9Beliebtester Inhalt
9Findest du nicht, was du suchst? Entdecke andere Fächer.
Schüler lieben uns — und du auch.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan SiOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha KlichAndroid-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
AnnaiOS-Nutzerin