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2.035
•
22. Dez. 2025
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Brian Grütze
@alx6c3
Ober- und Untersummen sind eine clevere Methode, um Flächeninhalte unter... Mehr anzeigen
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$f(x) = x^2$
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1 ### Ober- und Untersummen
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Stell dir vor, du willst die Fläche unter einer Kurve messen, aber kennst noch keine Integrale. Kein Problem! Mit Ober- und Untersummen kannst du die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion f und der x-Achse über ein Intervall näherungsweise bestimmen.
Das Prinzip ist genial einfach: Du teilst die Fläche in viele kleine Rechtecke auf. Diese Rechtecke kannst du leicht berechnen, und zusammen geben sie dir eine gute Annäherung an die echte Fläche.
Wichtig: Die tatsächliche Fläche A liegt immer zwischen der Untersumme U und der Obersumme O: U ≤ A ≤ O. So bekommst du automatisch eine Ober- und Untergrenze!
💡 Merktipp: Je mehr Rechtecke du verwendest, desto genauer wird deine Annäherung!
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1 ### Ober- und Untersummen
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Bei Untersummen verwendest du den kleinsten Funktionswert in jedem Teilintervall als Höhe deiner Rechtecke. Dadurch liegen alle Rechtecke unter der Kurve - deshalb "Untersumme".
Schauen wir uns das Beispiel f(x) = 0,5x² im Intervall an: Mit 4 Teilintervallen erhältst du U₄ = 0,875 FE. Mit 10 Teilintervallen wird's schon genauer: U₁₀ = 1,14 FE.
Die allgemeine Formel für Untersummen lautet: Uₙ = · . Dabei ist a die Intervallgröße und n die Anzahl der Teilintervalle.
💡 Praxistipp: Untersummen geben dir immer einen Wert, der kleiner als die echte Fläche ist - perfekt als untere Grenze!
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1 ### Ober- und Untersummen
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Das Thema Flächenbestimmung gliedert sich in vier übersichtliche Bereiche, die logisch aufeinander aufbauen.
Zuerst lernst du die Grundlagen der Untersummen kennen - wie du Rechtecke unter die Kurve legst. Danach kommen die Obersummen, bei denen die Rechtecke über der Kurve liegen.
Im dritten Teil geht's dann um die exakte Bestimmung - hier siehst du, wie aus den Näherungen die echte Fläche wird. Zum Schluss warten praktische Aufgaben auf dich, damit du alles selbst ausprobieren kannst.
💡 Lernstrategie: Arbeite dich Schritt für Schritt durch - jeder Bereich baut auf dem vorherigen auf!
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1 ### Ober- und Untersummen
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Bei Obersummen nimmst du den größten Funktionswert in jedem Teilintervall als Rechteckhöhe. Dadurch ragen die Rechtecke über die Kurve hinaus und du erhältst einen Wert, der größer als die tatsächliche Fläche ist.
Das ist das Gegenstück zu den Untersummen und gibt dir die obere Grenze für die echte Fläche. Zusammen mit der Untersumme hast du dann einen "Korridor", in dem die wahre Fläche liegt.
Je mehr Teilintervalle du verwendest, desto enger wird dieser Korridor. Am Ende treffen sich Ober- und Untersumme praktisch im gleichen Wert - und das ist dann deine exakte Fläche!
💡 Verstehens-Check: Obersumme > echte Fläche > Untersumme - so einfach ist das Prinzip!
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1 ### Ober- und Untersummen
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$f(x) = x^2$
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1 ### Ober- und Untersummen
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$f(x) = x^2$
[0; 1]
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1 ### Ober- und Untersummen
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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Brian Grütze
@alx6c3
Ober- und Untersummen sind eine clevere Methode, um Flächeninhalte unter Kurven zu berechnen - und das ganz ohne komplizierte Integralrechnung! Du zerlegst einfach die Fläche in kleine Rechtecke und näherst dich so der tatsächlichen Fläche an.
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Stell dir vor, du willst die Fläche unter einer Kurve messen, aber kennst noch keine Integrale. Kein Problem! Mit Ober- und Untersummen kannst du die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion f und der x-Achse über ein Intervall näherungsweise bestimmen.
Das Prinzip ist genial einfach: Du teilst die Fläche in viele kleine Rechtecke auf. Diese Rechtecke kannst du leicht berechnen, und zusammen geben sie dir eine gute Annäherung an die echte Fläche.
Wichtig: Die tatsächliche Fläche A liegt immer zwischen der Untersumme U und der Obersumme O: U ≤ A ≤ O. So bekommst du automatisch eine Ober- und Untergrenze!
💡 Merktipp: Je mehr Rechtecke du verwendest, desto genauer wird deine Annäherung!
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Bei Untersummen verwendest du den kleinsten Funktionswert in jedem Teilintervall als Höhe deiner Rechtecke. Dadurch liegen alle Rechtecke unter der Kurve - deshalb "Untersumme".
Schauen wir uns das Beispiel f(x) = 0,5x² im Intervall an: Mit 4 Teilintervallen erhältst du U₄ = 0,875 FE. Mit 10 Teilintervallen wird's schon genauer: U₁₀ = 1,14 FE.
Die allgemeine Formel für Untersummen lautet: Uₙ = · . Dabei ist a die Intervallgröße und n die Anzahl der Teilintervalle.
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Das Thema Flächenbestimmung gliedert sich in vier übersichtliche Bereiche, die logisch aufeinander aufbauen.
Zuerst lernst du die Grundlagen der Untersummen kennen - wie du Rechtecke unter die Kurve legst. Danach kommen die Obersummen, bei denen die Rechtecke über der Kurve liegen.
Im dritten Teil geht's dann um die exakte Bestimmung - hier siehst du, wie aus den Näherungen die echte Fläche wird. Zum Schluss warten praktische Aufgaben auf dich, damit du alles selbst ausprobieren kannst.
💡 Lernstrategie: Arbeite dich Schritt für Schritt durch - jeder Bereich baut auf dem vorherigen auf!
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Bei Obersummen nimmst du den größten Funktionswert in jedem Teilintervall als Rechteckhöhe. Dadurch ragen die Rechtecke über die Kurve hinaus und du erhältst einen Wert, der größer als die tatsächliche Fläche ist.
Das ist das Gegenstück zu den Untersummen und gibt dir die obere Grenze für die echte Fläche. Zusammen mit der Untersumme hast du dann einen "Korridor", in dem die wahre Fläche liegt.
Je mehr Teilintervalle du verwendest, desto enger wird dieser Korridor. Am Ende treffen sich Ober- und Untersumme praktisch im gleichen Wert - und das ist dann deine exakte Fläche!
💡 Verstehens-Check: Obersumme > echte Fläche > Untersumme - so einfach ist das Prinzip!
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MatheApp Store
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
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