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524

22. Dez. 2025

10 Seiten

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung: Grundlagen und Anwendungen

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Geli

@angelikarth

Du denkst, Wahrscheinlichkeitsrechnung ist kompliziert? Tatsächlich begegnet dir diese Mathematik... Mehr anzeigen

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# Stochastile

I Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundlegende Begriffe

Wahrscheinlichkeit:
erwartete relative Häufigkeit

Ereig

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Stell dir vor, du würfelst - das Ergebnis ist die Zahl, die oben liegt. Die Wahrscheinlichkeit sagt dir, wie oft du diese Zahl erwarten kannst, wenn du lange genug würfelst.

Ein Ereignis fasst mehrere Ergebnisse zusammen z.B."geradeZahlen"=2,4,6z.B. "gerade Zahlen" = {2,4,6}. Die Ergebnismenge S enthält alle möglichen Ausgänge deines Experiments.

Bei einem Laplace-Experiment sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Die Formel ist einfach: P = günstige Ergebnisse ÷ mögliche Ergebnisse. Bei einem fairen Würfel ist die Chance für eine "6" also 1/6.

Merke dir: Die Gegenwahrscheinlichkeit P(Ē) = 1 - P(E) ist oft einfacher zu berechnen!

Die Kombinatorik hilft dir beim Zählen der Möglichkeiten. Mit Zurücklegen hast du bei n Objekten und k Zügen n^k Möglichkeiten. Ohne Zurücklegen wird's komplizierter, aber die Formeln helfen dir dabei.

# Stochastile

I Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundlegende Begriffe

Wahrscheinlichkeit:
erwartete relative Häufigkeit

Ereig

Kombinatorik und Hypergeometrische Verteilung

Wenn du Kugeln aus einer Urne ziehst, kommt es darauf an: Legst du sie zurück? Ist die Reihenfolge wichtig? Diese Fragen entscheiden über die richtige Formel.

Ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge verwendest du den Binomialkoeffizienten (n über k). Das kennst du vielleicht schon aus dem Pascalschen Dreieck.

Die hypergeometrische Verteilung brauchst du, wenn du ohne Zurücklegen ziehst und wissen willst, wie viele "Treffer" du bekommst. Beispiel: 30 Fans bewerben sich um 20 Konzerttickets, 10 davon sind weiblich. Wie wahrscheinlich sind genau 5 Frauen unter den Gewinnern?

Tipp: Bei großen Zahlen wird das Rechnen schnell kompliziert - nutze deinen Taschenrechner!

Die Formel sieht kompliziert aus, folgt aber einem einfachen Prinzip: (Günstige aus Gruppe 1) × (Günstige aus Gruppe 2) ÷ (Alle Möglichkeiten).

# Stochastile

I Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundlegende Begriffe

Wahrscheinlichkeit:
erwartete relative Häufigkeit

Ereig

Pfadregeln und Erwartungswert

Baumdiagramme machen Wahrscheinlichkeiten sichtbar. Die Produktregel sagt: Multipliziere entlang eines Pfades. Die Summenregel sagt: Addiere verschiedene Pfade für dasselbe Ereignis.

Der Erwartungswert E(X) zeigt dir, was langfristig zu erwarten ist. Du berechnest ihn, indem du jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizierst und alles addierst.

Ein faires Spiel hat einen Erwartungswert von 0 - du gewinnst und verlierst langfristig gleich viel. Bei den meisten Glücksspielen ist der Erwartungswert negativ, die Bank gewinnt also immer.

Wichtig: Die Varianz misst, wie stark die Ergebnisse vom Erwartungswert abweichen!

Die Standardabweichung σ ist die Wurzel aus der Varianz und zeigt die durchschnittliche Abweichung vom Erwartungswert.

# Stochastile

I Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundlegende Begriffe

Wahrscheinlichkeit:
erwartete relative Häufigkeit

Ereig

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Manchmal verändert eine Information die Wahrscheinlichkeit komplett. Die bedingte Wahrscheinlichkeit P_A(B) fragt: Wie wahrscheinlich ist B, wenn A bereits eingetreten ist?

Das HIV-Test-Beispiel zeigt das Problem: Selbst bei 99,5% Genauigkeit bedeutet ein positiver Test nur zu 16,6% eine echte Infektion. Warum? Weil so wenige Menschen (0,1%) überhaupt infiziert sind.

Stochastische Unabhängigkeit liegt vor, wenn ein Ereignis das andere nicht beeinflusst. Dann gilt: P(A∩B) = P(A) × P(B).

Achtung: Viele Menschen überschätzen die Aussagekraft von Tests - die Basisrate ist entscheidend!

Bei Urnenmodellen hilft oft eine Vierfeldertafel, um die verschiedenen Wahrscheinlichkeiten zu organisieren und Fehler zu vermeiden.

# Stochastile

I Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundlegende Begriffe

Wahrscheinlichkeit:
erwartete relative Häufigkeit

Ereig

Unabhängigkeit und Bayes

Das Matratzen-Beispiel zeigt: 70% schlafen gut, davon haben 40% einen Topper. Insgesamt haben 35% einen Topper. Sind guter Schlaf und Topper unabhängig?

Rechne nach: P(Gut ∩ Topper) = 0,7 × 0,4 = 0,28, aber P(Gut) × P(Topper) = 0,7 × 0,35 = 0,245. Da 0,28 ≠ 0,245, sind sie nicht unabhängig.

Bei der Satz von Bayes drehst du die Frage um: Du weißt das Ergebnis und fragst nach der Ursache. Welche Urne wurde gewählt, wenn eine rote Kugel gezogen wurde?

Merke: Unabhängigkeit bedeutet P(A∩B) = P(A) × P(B) - eine einfache Multiplikation!

Verwende Baumdiagramme oder Vierfeldertafeln, um bei komplexeren Aufgaben den Überblick zu behalten.

# Stochastile

I Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundlegende Begriffe

Wahrscheinlichkeit:
erwartete relative Häufigkeit

Ereig

Binomialverteilung - Die Basics

Eine Bernoulli-Kette hat nur zwei Ausgänge ("Treffer" oder "Niete") und konstante Trefferwahrscheinlichkeit p. Wie Münzwürfe oder Basketballwürfe.

Die Binomialverteilung zählt die Treffer bei n Versuchen. Die Formel von Bernoulli PX=kX = k = (n über k) × p^k × 1p1-p^nkn-k gibt dir die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer.

Unterscheide genau zwischen "höchstens k", "mindestens k" und "weniger als k". "Mindestens k" bedeutet P(X ≥ k) = 1 - PXk1X ≤ k-1.

Tipp: Nutze die kumulierte Wahrscheinlichkeit aus deinem Taschenrechner - das spart Zeit!

Das Glücksrad-Beispiel zeigt: Formuliere immer klar das Zufallsexperiment (wie oft drehen?) und das Ereignis (was zählen wir?).

# Stochastile

I Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundlegende Begriffe

Wahrscheinlichkeit:
erwartete relative Häufigkeit

Ereig

Erwartungswert und Histogramme

Bei einer Binomialverteilung ist der Erwartungswert μ = n × p und die Standardabweichung σ = √n×p×(1p)n × p × (1-p). Das sind die wichtigsten Kenngrößen!

Im Histogramm erkennst du: Die höchste Säule steht bei μ (wenn ganzzahlig) oder daneben. Je größer σ, desto breiter wird das Histogramm.

Die Sigma-Regel besagt: Etwa 68,3% aller Werte liegen im Intervall μσ,μ+σμ-σ, μ+σ. Das ist eine wichtige Faustregel für viele Anwendungen.

Wichtig: Bei p = 0,5 ist das Histogramm symmetrisch - links und rechts von μ sieht es gleich aus!

Für wachsendes n verschiebt sich das Histogramm nach rechts (μ wird größer) und wird breiter (σ wird größer).

# Stochastile

I Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundlegende Begriffe

Wahrscheinlichkeit:
erwartete relative Häufigkeit

Ereig

Problemlösen mit der Binomialverteilung

Vier Fragetypen kommen immer wieder: Gesucht ist n, p, k oder eine Wahrscheinlichkeit. Erkenne, was gegeben und was gesucht ist.

"Mindestens 90% Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs" - löse durch Ausprobieren mit dem Taschenrechner. Für n = 13 gilt P(X ≥ 1) ≈ 0,9.

Bei gezinkten Würfeln suchst du oft die nötige Trefferwahrscheinlichkeit p. Probiere verschiedene Werte aus, bis die Bedingung erfüllt ist.

Strategie: Nutze das Gegenereignis! P(X ≥ 1) = 1 - PX=0X = 0 ist oft einfacher zu berechnen.

"Höchstens 5% Gewinnwahrscheinlichkeit" bedeutet P(X > k) ≤ 0,05, also P(X ≤ k) ≥ 0,95. Finde das passende k durch systematisches Probieren.

# Stochastile

I Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundlegende Begriffe

Wahrscheinlichkeit:
erwartete relative Häufigkeit

Ereig

Anwendungen der Binomialverteilung

Das Glücksrad zeigt typische Aufgaben: "Mindestens 80% Wahrscheinlichkeit für mindestens 3mal Blau" - das blaue Feld muss vergrößert werden, um die Trefferwahrscheinlichkeit zu erhöhen.

Bei Würfelnetzen zählst du erst die günstigen Seiten. Zwei Vieren von sechs Seiten bedeutet p = 2/6 = 1/3.

"Dreimal-mindestens-Aufgabe": Von den drei "mindestens" kannst du nur das erste weglassen. Die anderen ändern die mathematische Bedeutung grundlegend.

Achtung: "Höchstens" statt "mindestens" macht die Aufgabe oft sinnlos - bei einem Wurf ist P(X ≤ 1) = 100%!

Arbeite systematisch: Identifiziere n, p, k und die gefragte Wahrscheinlichkeit. Nutze dann Ausprobieren oder direkte Berechnung.

# Stochastile

I Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundlegende Begriffe

Wahrscheinlichkeit:
erwartete relative Häufigkeit

Ereig

Hypothesentests

Der Hypothesentest prüft Behauptungen statistisch. Sorayas Cola-Test: Kann sie wirklich schmecken oder rät sie nur?

Nullhypothese H₀: "Sie rät nur" p=0,5p = 0,5. Alternativhypothese H₁: "Sie kann schmecken" (p > 0,5). Das Signifikanzniveau α = 0,05 begrenzt die Irrtumswahrscheinlichkeit.

Der Ablehnungsbereich A = {9, 10} bedeutet: Bei 9 oder 10 richtigen Antworten von 10 Versuchen verwerfen wir H₀ mit 5% Irrtumswahrscheinlichkeit.

Wichtig: Ein Hypothesentest kann niemals 100%ige Sicherheit geben - es bleibt immer ein Restrisiko!

Die Entscheidungsregel: Liegt das Ergebnis im Ablehnungsbereich, wird H₀ verworfen. Sonst behält H₀ ihre Gültigkeit bei.



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Stell dir vor, du würfelst - das Ergebnis ist die Zahl, die oben liegt. Die Wahrscheinlichkeit sagt dir, wie oft du diese Zahl erwarten kannst, wenn du lange genug würfelst.

Ein Ereignis fasst mehrere Ergebnisse zusammen z.B."geradeZahlen"=2,4,6z.B. "gerade Zahlen" = {2,4,6}. Die Ergebnismenge S enthält alle möglichen Ausgänge deines Experiments.

Bei einem Laplace-Experiment sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Die Formel ist einfach: P = günstige Ergebnisse ÷ mögliche Ergebnisse. Bei einem fairen Würfel ist die Chance für eine "6" also 1/6.

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Kombinatorik und Hypergeometrische Verteilung

Wenn du Kugeln aus einer Urne ziehst, kommt es darauf an: Legst du sie zurück? Ist die Reihenfolge wichtig? Diese Fragen entscheiden über die richtige Formel.

Ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge verwendest du den Binomialkoeffizienten (n über k). Das kennst du vielleicht schon aus dem Pascalschen Dreieck.

Die hypergeometrische Verteilung brauchst du, wenn du ohne Zurücklegen ziehst und wissen willst, wie viele "Treffer" du bekommst. Beispiel: 30 Fans bewerben sich um 20 Konzerttickets, 10 davon sind weiblich. Wie wahrscheinlich sind genau 5 Frauen unter den Gewinnern?

Tipp: Bei großen Zahlen wird das Rechnen schnell kompliziert - nutze deinen Taschenrechner!

Die Formel sieht kompliziert aus, folgt aber einem einfachen Prinzip: (Günstige aus Gruppe 1) × (Günstige aus Gruppe 2) ÷ (Alle Möglichkeiten).

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Pfadregeln und Erwartungswert

Baumdiagramme machen Wahrscheinlichkeiten sichtbar. Die Produktregel sagt: Multipliziere entlang eines Pfades. Die Summenregel sagt: Addiere verschiedene Pfade für dasselbe Ereignis.

Der Erwartungswert E(X) zeigt dir, was langfristig zu erwarten ist. Du berechnest ihn, indem du jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizierst und alles addierst.

Ein faires Spiel hat einen Erwartungswert von 0 - du gewinnst und verlierst langfristig gleich viel. Bei den meisten Glücksspielen ist der Erwartungswert negativ, die Bank gewinnt also immer.

Wichtig: Die Varianz misst, wie stark die Ergebnisse vom Erwartungswert abweichen!

Die Standardabweichung σ ist die Wurzel aus der Varianz und zeigt die durchschnittliche Abweichung vom Erwartungswert.

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Bedingte Wahrscheinlichkeit

Manchmal verändert eine Information die Wahrscheinlichkeit komplett. Die bedingte Wahrscheinlichkeit P_A(B) fragt: Wie wahrscheinlich ist B, wenn A bereits eingetreten ist?

Das HIV-Test-Beispiel zeigt das Problem: Selbst bei 99,5% Genauigkeit bedeutet ein positiver Test nur zu 16,6% eine echte Infektion. Warum? Weil so wenige Menschen (0,1%) überhaupt infiziert sind.

Stochastische Unabhängigkeit liegt vor, wenn ein Ereignis das andere nicht beeinflusst. Dann gilt: P(A∩B) = P(A) × P(B).

Achtung: Viele Menschen überschätzen die Aussagekraft von Tests - die Basisrate ist entscheidend!

Bei Urnenmodellen hilft oft eine Vierfeldertafel, um die verschiedenen Wahrscheinlichkeiten zu organisieren und Fehler zu vermeiden.

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Unabhängigkeit und Bayes

Das Matratzen-Beispiel zeigt: 70% schlafen gut, davon haben 40% einen Topper. Insgesamt haben 35% einen Topper. Sind guter Schlaf und Topper unabhängig?

Rechne nach: P(Gut ∩ Topper) = 0,7 × 0,4 = 0,28, aber P(Gut) × P(Topper) = 0,7 × 0,35 = 0,245. Da 0,28 ≠ 0,245, sind sie nicht unabhängig.

Bei der Satz von Bayes drehst du die Frage um: Du weißt das Ergebnis und fragst nach der Ursache. Welche Urne wurde gewählt, wenn eine rote Kugel gezogen wurde?

Merke: Unabhängigkeit bedeutet P(A∩B) = P(A) × P(B) - eine einfache Multiplikation!

Verwende Baumdiagramme oder Vierfeldertafeln, um bei komplexeren Aufgaben den Überblick zu behalten.

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Binomialverteilung - Die Basics

Eine Bernoulli-Kette hat nur zwei Ausgänge ("Treffer" oder "Niete") und konstante Trefferwahrscheinlichkeit p. Wie Münzwürfe oder Basketballwürfe.

Die Binomialverteilung zählt die Treffer bei n Versuchen. Die Formel von Bernoulli PX=kX = k = (n über k) × p^k × 1p1-p^nkn-k gibt dir die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer.

Unterscheide genau zwischen "höchstens k", "mindestens k" und "weniger als k". "Mindestens k" bedeutet P(X ≥ k) = 1 - PXk1X ≤ k-1.

Tipp: Nutze die kumulierte Wahrscheinlichkeit aus deinem Taschenrechner - das spart Zeit!

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Erwartungswert und Histogramme

Bei einer Binomialverteilung ist der Erwartungswert μ = n × p und die Standardabweichung σ = √n×p×(1p)n × p × (1-p). Das sind die wichtigsten Kenngrößen!

Im Histogramm erkennst du: Die höchste Säule steht bei μ (wenn ganzzahlig) oder daneben. Je größer σ, desto breiter wird das Histogramm.

Die Sigma-Regel besagt: Etwa 68,3% aller Werte liegen im Intervall μσ,μ+σμ-σ, μ+σ. Das ist eine wichtige Faustregel für viele Anwendungen.

Wichtig: Bei p = 0,5 ist das Histogramm symmetrisch - links und rechts von μ sieht es gleich aus!

Für wachsendes n verschiebt sich das Histogramm nach rechts (μ wird größer) und wird breiter (σ wird größer).

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Vier Fragetypen kommen immer wieder: Gesucht ist n, p, k oder eine Wahrscheinlichkeit. Erkenne, was gegeben und was gesucht ist.

"Mindestens 90% Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs" - löse durch Ausprobieren mit dem Taschenrechner. Für n = 13 gilt P(X ≥ 1) ≈ 0,9.

Bei gezinkten Würfeln suchst du oft die nötige Trefferwahrscheinlichkeit p. Probiere verschiedene Werte aus, bis die Bedingung erfüllt ist.

Strategie: Nutze das Gegenereignis! P(X ≥ 1) = 1 - PX=0X = 0 ist oft einfacher zu berechnen.

"Höchstens 5% Gewinnwahrscheinlichkeit" bedeutet P(X > k) ≤ 0,05, also P(X ≤ k) ≥ 0,95. Finde das passende k durch systematisches Probieren.

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Das Glücksrad zeigt typische Aufgaben: "Mindestens 80% Wahrscheinlichkeit für mindestens 3mal Blau" - das blaue Feld muss vergrößert werden, um die Trefferwahrscheinlichkeit zu erhöhen.

Bei Würfelnetzen zählst du erst die günstigen Seiten. Zwei Vieren von sechs Seiten bedeutet p = 2/6 = 1/3.

"Dreimal-mindestens-Aufgabe": Von den drei "mindestens" kannst du nur das erste weglassen. Die anderen ändern die mathematische Bedeutung grundlegend.

Achtung: "Höchstens" statt "mindestens" macht die Aufgabe oft sinnlos - bei einem Wurf ist P(X ≤ 1) = 100%!

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Hypothesentests

Der Hypothesentest prüft Behauptungen statistisch. Sorayas Cola-Test: Kann sie wirklich schmecken oder rät sie nur?

Nullhypothese H₀: "Sie rät nur" p=0,5p = 0,5. Alternativhypothese H₁: "Sie kann schmecken" (p > 0,5). Das Signifikanzniveau α = 0,05 begrenzt die Irrtumswahrscheinlichkeit.

Der Ablehnungsbereich A = {9, 10} bedeutet: Bei 9 oder 10 richtigen Antworten von 10 Versuchen verwerfen wir H₀ mit 5% Irrtumswahrscheinlichkeit.

Wichtig: Ein Hypothesentest kann niemals 100%ige Sicherheit geben - es bleibt immer ein Restrisiko!

Die Entscheidungsregel: Liegt das Ergebnis im Ablehnungsbereich, wird H₀ verworfen. Sonst behält H₀ ihre Gültigkeit bei.

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Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

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Wahrscheinlichkeitsrechnung Übungen

Entdecke umfassende Übungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung für die 8. Klasse. Diese Sammlung behandelt mehrstufige Zufallsexperimente, Baumdiagramme, Wahrscheinlichkeitsberechnungen und praktische Anwendungen wie Dartspiele und Medikamenteneffekte. Ideal für Schüler, die ihre Fähigkeiten in der Wahrscheinlichkeitstheorie vertiefen möchten.

MatheMathe
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Bedingte Wahrscheinlichkeit verstehen

Erfahren Sie alles über bedingte Wahrscheinlichkeit in zweistufigen Zufallsexperimenten. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Definition, wichtige Formeln und anschauliche Beispiele, um das Konzept zu veranschaulichen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.

MatheMathe
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Bedingte Wahrscheinlichkeit verstehen

Erfahre alles über die bedingte Wahrscheinlichkeit, einschließlich ihrer Definition, Berechnung und Anwendung. Diese Zusammenfassung bietet Beispiele, Baumdiagramme und Vierfeldertafeln zur Veranschaulichung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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