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1. Feb. 2026

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Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung: Grundlagen und Anwendungen

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Geli

@angelikarth

Du denkst, Wahrscheinlichkeitsrechnung ist kompliziert? Tatsächlich begegnet dir diese Mathematik... Mehr anzeigen

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# Stochastile

I Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundlegende Begriffe

Wahrscheinlichkeit:
erwartete relative Häufigkeit

Ereig

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Stell dir vor, du würfelst - das Ergebnis ist die Zahl, die oben liegt. Die Wahrscheinlichkeit sagt dir, wie oft du diese Zahl erwarten kannst, wenn du lange genug würfelst.

Ein Ereignis fasst mehrere Ergebnisse zusammen z.B."geradeZahlen"=2,4,6z.B. "gerade Zahlen" = {2,4,6}. Die Ergebnismenge S enthält alle möglichen Ausgänge deines Experiments.

Bei einem Laplace-Experiment sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Die Formel ist einfach: P = günstige Ergebnisse ÷ mögliche Ergebnisse. Bei einem fairen Würfel ist die Chance für eine "6" also 1/6.

Merke dir: Die Gegenwahrscheinlichkeit P(Ē) = 1 - P(E) ist oft einfacher zu berechnen!

Die Kombinatorik hilft dir beim Zählen der Möglichkeiten. Mit Zurücklegen hast du bei n Objekten und k Zügen n^k Möglichkeiten. Ohne Zurücklegen wird's komplizierter, aber die Formeln helfen dir dabei.

# Stochastile

I Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundlegende Begriffe

Wahrscheinlichkeit:
erwartete relative Häufigkeit

Ereig

Kombinatorik und Hypergeometrische Verteilung

Wenn du Kugeln aus einer Urne ziehst, kommt es darauf an: Legst du sie zurück? Ist die Reihenfolge wichtig? Diese Fragen entscheiden über die richtige Formel.

Ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge verwendest du den Binomialkoeffizienten (n über k). Das kennst du vielleicht schon aus dem Pascalschen Dreieck.

Die hypergeometrische Verteilung brauchst du, wenn du ohne Zurücklegen ziehst und wissen willst, wie viele "Treffer" du bekommst. Beispiel: 30 Fans bewerben sich um 20 Konzerttickets, 10 davon sind weiblich. Wie wahrscheinlich sind genau 5 Frauen unter den Gewinnern?

Tipp: Bei großen Zahlen wird das Rechnen schnell kompliziert - nutze deinen Taschenrechner!

Die Formel sieht kompliziert aus, folgt aber einem einfachen Prinzip: (Günstige aus Gruppe 1) × (Günstige aus Gruppe 2) ÷ (Alle Möglichkeiten).

# Stochastile

I Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundlegende Begriffe

Wahrscheinlichkeit:
erwartete relative Häufigkeit

Ereig

Pfadregeln und Erwartungswert

Baumdiagramme machen Wahrscheinlichkeiten sichtbar. Die Produktregel sagt: Multipliziere entlang eines Pfades. Die Summenregel sagt: Addiere verschiedene Pfade für dasselbe Ereignis.

Der Erwartungswert E(X) zeigt dir, was langfristig zu erwarten ist. Du berechnest ihn, indem du jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizierst und alles addierst.

Ein faires Spiel hat einen Erwartungswert von 0 - du gewinnst und verlierst langfristig gleich viel. Bei den meisten Glücksspielen ist der Erwartungswert negativ, die Bank gewinnt also immer.

Wichtig: Die Varianz misst, wie stark die Ergebnisse vom Erwartungswert abweichen!

Die Standardabweichung σ ist die Wurzel aus der Varianz und zeigt die durchschnittliche Abweichung vom Erwartungswert.

# Stochastile

I Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundlegende Begriffe

Wahrscheinlichkeit:
erwartete relative Häufigkeit

Ereig

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Manchmal verändert eine Information die Wahrscheinlichkeit komplett. Die bedingte Wahrscheinlichkeit P_A(B) fragt: Wie wahrscheinlich ist B, wenn A bereits eingetreten ist?

Das HIV-Test-Beispiel zeigt das Problem: Selbst bei 99,5% Genauigkeit bedeutet ein positiver Test nur zu 16,6% eine echte Infektion. Warum? Weil so wenige Menschen (0,1%) überhaupt infiziert sind.

Stochastische Unabhängigkeit liegt vor, wenn ein Ereignis das andere nicht beeinflusst. Dann gilt: P(A∩B) = P(A) × P(B).

Achtung: Viele Menschen überschätzen die Aussagekraft von Tests - die Basisrate ist entscheidend!

Bei Urnenmodellen hilft oft eine Vierfeldertafel, um die verschiedenen Wahrscheinlichkeiten zu organisieren und Fehler zu vermeiden.

# Stochastile

I Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundlegende Begriffe

Wahrscheinlichkeit:
erwartete relative Häufigkeit

Ereig

Unabhängigkeit und Bayes

Das Matratzen-Beispiel zeigt: 70% schlafen gut, davon haben 40% einen Topper. Insgesamt haben 35% einen Topper. Sind guter Schlaf und Topper unabhängig?

Rechne nach: P(Gut ∩ Topper) = 0,7 × 0,4 = 0,28, aber P(Gut) × P(Topper) = 0,7 × 0,35 = 0,245. Da 0,28 ≠ 0,245, sind sie nicht unabhängig.

Bei der Satz von Bayes drehst du die Frage um: Du weißt das Ergebnis und fragst nach der Ursache. Welche Urne wurde gewählt, wenn eine rote Kugel gezogen wurde?

Merke: Unabhängigkeit bedeutet P(A∩B) = P(A) × P(B) - eine einfache Multiplikation!

Verwende Baumdiagramme oder Vierfeldertafeln, um bei komplexeren Aufgaben den Überblick zu behalten.

# Stochastile

I Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundlegende Begriffe

Wahrscheinlichkeit:
erwartete relative Häufigkeit

Ereig

Binomialverteilung - Die Basics

Eine Bernoulli-Kette hat nur zwei Ausgänge ("Treffer" oder "Niete") und konstante Trefferwahrscheinlichkeit p. Wie Münzwürfe oder Basketballwürfe.

Die Binomialverteilung zählt die Treffer bei n Versuchen. Die Formel von Bernoulli PX=kX = k = (n über k) × p^k × 1p1-p^nkn-k gibt dir die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer.

Unterscheide genau zwischen "höchstens k", "mindestens k" und "weniger als k". "Mindestens k" bedeutet P(X ≥ k) = 1 - PXk1X ≤ k-1.

Tipp: Nutze die kumulierte Wahrscheinlichkeit aus deinem Taschenrechner - das spart Zeit!

Das Glücksrad-Beispiel zeigt: Formuliere immer klar das Zufallsexperiment (wie oft drehen?) und das Ereignis (was zählen wir?).

# Stochastile

I Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundlegende Begriffe

Wahrscheinlichkeit:
erwartete relative Häufigkeit

Ereig

Erwartungswert und Histogramme

Bei einer Binomialverteilung ist der Erwartungswert μ = n × p und die Standardabweichung σ = √n×p×(1p)n × p × (1-p). Das sind die wichtigsten Kenngrößen!

Im Histogramm erkennst du: Die höchste Säule steht bei μ (wenn ganzzahlig) oder daneben. Je größer σ, desto breiter wird das Histogramm.

Die Sigma-Regel besagt: Etwa 68,3% aller Werte liegen im Intervall [μ-σ, μ+σ]. Das ist eine wichtige Faustregel für viele Anwendungen.

Wichtig: Bei p = 0,5 ist das Histogramm symmetrisch - links und rechts von μ sieht es gleich aus!

Für wachsendes n verschiebt sich das Histogramm nach rechts (μ wird größer) und wird breiter (σ wird größer).

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I Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundlegende Begriffe

Wahrscheinlichkeit:
erwartete relative Häufigkeit

Ereig

Problemlösen mit der Binomialverteilung

Vier Fragetypen kommen immer wieder: Gesucht ist n, p, k oder eine Wahrscheinlichkeit. Erkenne, was gegeben und was gesucht ist.

"Mindestens 90% Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs" - löse durch Ausprobieren mit dem Taschenrechner. Für n = 13 gilt P(X ≥ 1) ≈ 0,9.

Bei gezinkten Würfeln suchst du oft die nötige Trefferwahrscheinlichkeit p. Probiere verschiedene Werte aus, bis die Bedingung erfüllt ist.

Strategie: Nutze das Gegenereignis! P(X ≥ 1) = 1 - PX=0X = 0 ist oft einfacher zu berechnen.

"Höchstens 5% Gewinnwahrscheinlichkeit" bedeutet P(X > k) ≤ 0,05, also P(X ≤ k) ≥ 0,95. Finde das passende k durch systematisches Probieren.

# Stochastile

I Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundlegende Begriffe

Wahrscheinlichkeit:
erwartete relative Häufigkeit

Ereig

Anwendungen der Binomialverteilung

Das Glücksrad zeigt typische Aufgaben: "Mindestens 80% Wahrscheinlichkeit für mindestens 3mal Blau" - das blaue Feld muss vergrößert werden, um die Trefferwahrscheinlichkeit zu erhöhen.

Bei Würfelnetzen zählst du erst die günstigen Seiten. Zwei Vieren von sechs Seiten bedeutet p = 2/6 = 1/3.

"Dreimal-mindestens-Aufgabe": Von den drei "mindestens" kannst du nur das erste weglassen. Die anderen ändern die mathematische Bedeutung grundlegend.

Achtung: "Höchstens" statt "mindestens" macht die Aufgabe oft sinnlos - bei einem Wurf ist P(X ≤ 1) = 100%!

Arbeite systematisch: Identifiziere n, p, k und die gefragte Wahrscheinlichkeit. Nutze dann Ausprobieren oder direkte Berechnung.

# Stochastile

I Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundlegende Begriffe

Wahrscheinlichkeit:
erwartete relative Häufigkeit

Ereig

Hypothesentests

Der Hypothesentest prüft Behauptungen statistisch. Sorayas Cola-Test: Kann sie wirklich schmecken oder rät sie nur?

Nullhypothese H₀: "Sie rät nur" p=0,5p = 0,5. Alternativhypothese H₁: "Sie kann schmecken" (p > 0,5). Das Signifikanzniveau α = 0,05 begrenzt die Irrtumswahrscheinlichkeit.

Der Ablehnungsbereich A = {9, 10} bedeutet: Bei 9 oder 10 richtigen Antworten von 10 Versuchen verwerfen wir H₀ mit 5% Irrtumswahrscheinlichkeit.

Wichtig: Ein Hypothesentest kann niemals 100%ige Sicherheit geben - es bleibt immer ein Restrisiko!

Die Entscheidungsregel: Liegt das Ergebnis im Ablehnungsbereich, wird H₀ verworfen. Sonst behält H₀ ihre Gültigkeit bei.



Wir dachten schon, du fragst nie...

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

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Stefan S

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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

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Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

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Mathe

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Du denkst, Wahrscheinlichkeitsrechnung ist kompliziert? Tatsächlich begegnet dir diese Mathematik täglich - beim Würfeln, bei Sportwetten oder sogar bei medizinischen Tests. Diese Grundlagen helfen dir zu verstehen, wie wahrscheinlich bestimmte Ereignisse wirklich sind.

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Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Stell dir vor, du würfelst - das Ergebnis ist die Zahl, die oben liegt. Die Wahrscheinlichkeit sagt dir, wie oft du diese Zahl erwarten kannst, wenn du lange genug würfelst.

Ein Ereignis fasst mehrere Ergebnisse zusammen z.B."geradeZahlen"=2,4,6z.B. "gerade Zahlen" = {2,4,6}. Die Ergebnismenge S enthält alle möglichen Ausgänge deines Experiments.

Bei einem Laplace-Experiment sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Die Formel ist einfach: P = günstige Ergebnisse ÷ mögliche Ergebnisse. Bei einem fairen Würfel ist die Chance für eine "6" also 1/6.

Merke dir: Die Gegenwahrscheinlichkeit P(Ē) = 1 - P(E) ist oft einfacher zu berechnen!

Die Kombinatorik hilft dir beim Zählen der Möglichkeiten. Mit Zurücklegen hast du bei n Objekten und k Zügen n^k Möglichkeiten. Ohne Zurücklegen wird's komplizierter, aber die Formeln helfen dir dabei.

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Kombinatorik und Hypergeometrische Verteilung

Wenn du Kugeln aus einer Urne ziehst, kommt es darauf an: Legst du sie zurück? Ist die Reihenfolge wichtig? Diese Fragen entscheiden über die richtige Formel.

Ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge verwendest du den Binomialkoeffizienten (n über k). Das kennst du vielleicht schon aus dem Pascalschen Dreieck.

Die hypergeometrische Verteilung brauchst du, wenn du ohne Zurücklegen ziehst und wissen willst, wie viele "Treffer" du bekommst. Beispiel: 30 Fans bewerben sich um 20 Konzerttickets, 10 davon sind weiblich. Wie wahrscheinlich sind genau 5 Frauen unter den Gewinnern?

Tipp: Bei großen Zahlen wird das Rechnen schnell kompliziert - nutze deinen Taschenrechner!

Die Formel sieht kompliziert aus, folgt aber einem einfachen Prinzip: (Günstige aus Gruppe 1) × (Günstige aus Gruppe 2) ÷ (Alle Möglichkeiten).

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Pfadregeln und Erwartungswert

Baumdiagramme machen Wahrscheinlichkeiten sichtbar. Die Produktregel sagt: Multipliziere entlang eines Pfades. Die Summenregel sagt: Addiere verschiedene Pfade für dasselbe Ereignis.

Der Erwartungswert E(X) zeigt dir, was langfristig zu erwarten ist. Du berechnest ihn, indem du jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizierst und alles addierst.

Ein faires Spiel hat einen Erwartungswert von 0 - du gewinnst und verlierst langfristig gleich viel. Bei den meisten Glücksspielen ist der Erwartungswert negativ, die Bank gewinnt also immer.

Wichtig: Die Varianz misst, wie stark die Ergebnisse vom Erwartungswert abweichen!

Die Standardabweichung σ ist die Wurzel aus der Varianz und zeigt die durchschnittliche Abweichung vom Erwartungswert.

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Bedingte Wahrscheinlichkeit

Manchmal verändert eine Information die Wahrscheinlichkeit komplett. Die bedingte Wahrscheinlichkeit P_A(B) fragt: Wie wahrscheinlich ist B, wenn A bereits eingetreten ist?

Das HIV-Test-Beispiel zeigt das Problem: Selbst bei 99,5% Genauigkeit bedeutet ein positiver Test nur zu 16,6% eine echte Infektion. Warum? Weil so wenige Menschen (0,1%) überhaupt infiziert sind.

Stochastische Unabhängigkeit liegt vor, wenn ein Ereignis das andere nicht beeinflusst. Dann gilt: P(A∩B) = P(A) × P(B).

Achtung: Viele Menschen überschätzen die Aussagekraft von Tests - die Basisrate ist entscheidend!

Bei Urnenmodellen hilft oft eine Vierfeldertafel, um die verschiedenen Wahrscheinlichkeiten zu organisieren und Fehler zu vermeiden.

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Unabhängigkeit und Bayes

Das Matratzen-Beispiel zeigt: 70% schlafen gut, davon haben 40% einen Topper. Insgesamt haben 35% einen Topper. Sind guter Schlaf und Topper unabhängig?

Rechne nach: P(Gut ∩ Topper) = 0,7 × 0,4 = 0,28, aber P(Gut) × P(Topper) = 0,7 × 0,35 = 0,245. Da 0,28 ≠ 0,245, sind sie nicht unabhängig.

Bei der Satz von Bayes drehst du die Frage um: Du weißt das Ergebnis und fragst nach der Ursache. Welche Urne wurde gewählt, wenn eine rote Kugel gezogen wurde?

Merke: Unabhängigkeit bedeutet P(A∩B) = P(A) × P(B) - eine einfache Multiplikation!

Verwende Baumdiagramme oder Vierfeldertafeln, um bei komplexeren Aufgaben den Überblick zu behalten.

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Binomialverteilung - Die Basics

Eine Bernoulli-Kette hat nur zwei Ausgänge ("Treffer" oder "Niete") und konstante Trefferwahrscheinlichkeit p. Wie Münzwürfe oder Basketballwürfe.

Die Binomialverteilung zählt die Treffer bei n Versuchen. Die Formel von Bernoulli PX=kX = k = (n über k) × p^k × 1p1-p^nkn-k gibt dir die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer.

Unterscheide genau zwischen "höchstens k", "mindestens k" und "weniger als k". "Mindestens k" bedeutet P(X ≥ k) = 1 - PXk1X ≤ k-1.

Tipp: Nutze die kumulierte Wahrscheinlichkeit aus deinem Taschenrechner - das spart Zeit!

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Erwartungswert und Histogramme

Bei einer Binomialverteilung ist der Erwartungswert μ = n × p und die Standardabweichung σ = √n×p×(1p)n × p × (1-p). Das sind die wichtigsten Kenngrößen!

Im Histogramm erkennst du: Die höchste Säule steht bei μ (wenn ganzzahlig) oder daneben. Je größer σ, desto breiter wird das Histogramm.

Die Sigma-Regel besagt: Etwa 68,3% aller Werte liegen im Intervall [μ-σ, μ+σ]. Das ist eine wichtige Faustregel für viele Anwendungen.

Wichtig: Bei p = 0,5 ist das Histogramm symmetrisch - links und rechts von μ sieht es gleich aus!

Für wachsendes n verschiebt sich das Histogramm nach rechts (μ wird größer) und wird breiter (σ wird größer).

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"Mindestens 90% Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs" - löse durch Ausprobieren mit dem Taschenrechner. Für n = 13 gilt P(X ≥ 1) ≈ 0,9.

Bei gezinkten Würfeln suchst du oft die nötige Trefferwahrscheinlichkeit p. Probiere verschiedene Werte aus, bis die Bedingung erfüllt ist.

Strategie: Nutze das Gegenereignis! P(X ≥ 1) = 1 - PX=0X = 0 ist oft einfacher zu berechnen.

"Höchstens 5% Gewinnwahrscheinlichkeit" bedeutet P(X > k) ≤ 0,05, also P(X ≤ k) ≥ 0,95. Finde das passende k durch systematisches Probieren.

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Anwendungen der Binomialverteilung

Das Glücksrad zeigt typische Aufgaben: "Mindestens 80% Wahrscheinlichkeit für mindestens 3mal Blau" - das blaue Feld muss vergrößert werden, um die Trefferwahrscheinlichkeit zu erhöhen.

Bei Würfelnetzen zählst du erst die günstigen Seiten. Zwei Vieren von sechs Seiten bedeutet p = 2/6 = 1/3.

"Dreimal-mindestens-Aufgabe": Von den drei "mindestens" kannst du nur das erste weglassen. Die anderen ändern die mathematische Bedeutung grundlegend.

Achtung: "Höchstens" statt "mindestens" macht die Aufgabe oft sinnlos - bei einem Wurf ist P(X ≤ 1) = 100%!

Arbeite systematisch: Identifiziere n, p, k und die gefragte Wahrscheinlichkeit. Nutze dann Ausprobieren oder direkte Berechnung.

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Der Hypothesentest prüft Behauptungen statistisch. Sorayas Cola-Test: Kann sie wirklich schmecken oder rät sie nur?

Nullhypothese H₀: "Sie rät nur" p=0,5p = 0,5. Alternativhypothese H₁: "Sie kann schmecken" (p > 0,5). Das Signifikanzniveau α = 0,05 begrenzt die Irrtumswahrscheinlichkeit.

Der Ablehnungsbereich A = {9, 10} bedeutet: Bei 9 oder 10 richtigen Antworten von 10 Versuchen verwerfen wir H₀ mit 5% Irrtumswahrscheinlichkeit.

Wichtig: Ein Hypothesentest kann niemals 100%ige Sicherheit geben - es bleibt immer ein Restrisiko!

Die Entscheidungsregel: Liegt das Ergebnis im Ablehnungsbereich, wird H₀ verworfen. Sonst behält H₀ ihre Gültigkeit bei.

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Bedingte Wahrscheinlichkeit verstehen

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Bedingte Wahrscheinlichkeit verstehen

Erfahre alles über die bedingte Wahrscheinlichkeit, einschließlich ihrer Definition, Berechnung und Anwendung. Diese Zusammenfassung bietet Beispiele, Baumdiagramme und Vierfeldertafeln zur Veranschaulichung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.

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Wahrscheinlichkeitsrechnung Übungen

Entdecke umfassende Übungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung für die 8. Klasse. Diese Sammlung behandelt mehrstufige Zufallsexperimente, Baumdiagramme, Wahrscheinlichkeitsberechnungen und praktische Anwendungen wie Dartspiele und Medikamenteneffekte. Ideal für Schüler, die ihre Fähigkeiten in der Wahrscheinlichkeitstheorie vertiefen möchten.

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Erwartungswert Berechnung

Entdecken Sie die Grundlagen der Erwartungswertberechnung in der Stochastik. Diese Zusammenfassung behandelt die Berechnung des Erwartungswerts anhand des Spiels 'Chuck-a-luck', einschließlich der Analyse von Gewinnen und Verlusten über viele Spiele. Ideal für Studierende, die ein tieferes Verständnis für Zufallsgrößen und deren Bedeutung in der Wahrscheinlichkeitstheorie entwickeln möchten.

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Beliebtester Inhalt: Binomialverteilung

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4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer