Zusammengesetzte Zufallsexperimente

Stell dir vor, du würfelst zweimal hintereinander - das ist ein zusammengesetztes Zufallsexperiment! Die bedingte Wahrscheinlichkeit hilft dir zu berechnen, wie wahrscheinlich Ereignis A ist, wenn B schon eingetreten ist.

Die Formel dafür ist: P_B(A) = P(A ∩ B) / P(B). Das A ∩ B bedeutet einfach "sowohl A als auch B treten ein".

Zwei super Tools helfen euch beim Lösen: Die Vierfeldertafel ordnet alle Wahrscheinlichkeiten übersichtlich in einem Rechteck an. Das Baumdiagramm zeigt euch den Weg durch die verschiedenen Möglichkeiten wie einen Stammbaum.

Tipp: Zeichnet immer zuerst ein Baumdiagramm - das macht alles viel klarer!

Berechnungen an Kreis und Kugel & Logarithmus

Bei Kreisen braucht ihr nur den Radius r und schon könnt ihr alles berechnen! Die Sektorfläche (wie ein Kuchenstück) berechnet ihr mit A_s = $α/360°$ · r² π. Für die Bogenlänge nehmt ihr b = $α/360°$ · 2rπ.

Kugeln sind noch einfacher: Volumen = $4/3$πr³ und Oberfläche = 4πr². Mehr braucht ihr nicht zu wissen!

Logarithmus klingt kompliziert, ist aber nur umgekehrtes Potenzieren. Wenn a^x = b ist, dann ist x = log_a$b$. Die wichtigsten Rechenregeln: log_a(u·v) = log_a$u$ + log_a$v$ und log_a(u/v) = log_a$u$ - log_a$v$.

Exponentialgleichungen löst ihr am besten, indem ihr beide Seiten logarithmiert oder zur gleichen Basis macht.

Merksatz: Logarithmus ist die Umkehrung der Potenz - denkt immer daran!

Wachstum und Funktionstypen

Lineares Wachstum bedeutet: Jeden Zeitschritt kommt die gleiche Menge dazu $f(t) = f(0) + t·d$. Exponentielles Wachstum wird immer schneller, weil ihr mit einem Faktor multipliziert $g(t) = g(0)·a^t$.

Es gibt verschiedene Funktionstypen, die ihr kennen müsst: Lineare Funktionen $f(x) = mx + t$ bilden Geraden. Quadratische Funktionen (f$x$ = ax² + bx + c) sind Parabeln.

Ganzrationale Funktionen haben nur positive Exponenten, gebrochen-rationale haben x im Nenner. Trigonometrische Funktionen (sin, cos) sind wellenförmig und wiederholen sich alle 2π.

Exponentialfunktionen $f(x) = b·a^x$ wachsen oder fallen exponentiell - perfekt für Zinsrechnung oder Bakterienwachstum!

Praxistipp: Erkennt den Funktionstyp am Graphen - das spart Zeit in Klassenarbeiten!

Funktionseigenschaften und Transformationen

Um eine Funktion vollständig zu analysieren, arbeitet ihr diese Checkliste ab: Definitionsbereich, Nullstellen, Symmetrie, Grenzverhalten, Steigung und Extrempunkte. Das klingt viel, wird aber zur Routine!

Symmetrie erkennt ihr so: f$-x$ = -f$x$ bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung, f$-x$ = f$x$ bedeutet Achsensymmetrie zur y-Achse.

Graphen transformieren ist wie Lego bauen: g$x$ = f$x$ + b verschiebt nach oben/unten. g$x$ = a·f$x$ streckt oder staucht in y-Richtung. g$x$ = f$x + d$ verschiebt nach links/rechts.

Das Beste daran: Ihr könnt jeden Funktionsgraph nehmen und ihn beliebig verschieben, strecken oder spiegeln!

Erfolgsgeheimnis: Übt Transformationen an der einfachen Parabel y = x² - dann versteht ihr alle anderen auch!