Analysis - Funktionsuntersuchung
Nullstellen und Asymptoten sind der erste Schritt jeder Funktionsanalyse. Bei Nullstellen setzt du f = 0. Senkrechte Asymptoten findest du an Definitionslücken , waagerechte durch Grenzwertbetrachtung - ist der Nennergrad größer als der Zählergrad, liegt die waagerechte Asymptote bei y = 0.
Die Symmetrie checkst du schnell: f = f bedeutet Achsensymmetrie zur y-Achse, f = -f bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung. Bei der Monotonie bildest du die erste Ableitung: f' > 0 = streng monoton steigend, f' < 0 = streng monoton fallend.
Für Extrempunkte setzt du f' = 0 und prüfst mit der Monotonietabelle oder der zweiten Ableitung: f'' > 0 = Tiefpunkt, f'' < 0 = Hochpunkt. Schnittpunkte mit der x-Achse: f = 0, mit der y-Achse: f(0).
Merktipp: Für Tangentengleichungen brauchst du nur f'(x₀) für die Steigung und dann y = mx + b mit den gegebenen Koordinaten!
Die wichtigsten Ableitungsregeln sind: Potenzregel (xⁿ → n·xⁿ⁻¹), Produktregel , Quotientenregel und Kettenregel. Bei Sinus/Kosinus: (sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x.
