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7. Feb. 2026
•
Katy
@katykatz03
Differential- und Integralrechnung bilden das Herzstück der höheren Mathematik -... Mehr anzeigen
Die Produktregel brauchst du, wenn zwei Funktionen miteinander multipliziert werden: f'(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x). Klingt kompliziert, ist aber nur ein festes Schema, das du immer gleich anwendest.
Die Kettenregel verwendest du bei "verschachtelten" Funktionen: f'(x) = n · (u(x))^ · u'(x). Denk daran: Äußere Ableitung mal innere Ableitung!
Bestimmte Integrale geben dir den orientierten Flächeninhalt zwischen Funktion und x-Achse an. Flächen oberhalb der x-Achse zählen positiv, Flächen darunter negativ - daher "orientiert".
💡 Merktipp: Bei der Rekonstruktion von Beständen entspricht die Fläche unter der Kurve immer der Gesamtänderung - egal ob Meter, Liter oder Besucherzahlen!
Um Flächeninhalte zu berechnen, teilst du die Fläche in rechteckige Streifen auf. Die Untersumme U_n verwendet den minimalen Funktionswert als Rechteckhöhe, die Obersumme O_n den maximalen.
Bei der Funktion f(x) = x² im Intervall [0;2] siehst du das konkret: Beide Summen nähern sich dem Wert 8/3 an, wenn n gegen unendlich geht. Das bedeutet: Je mehr Rechtecke, desto genauer wird dein Ergebnis!
Die aufwendigen Berechnungen zeigen dir das Prinzip - in der Praxis verwendest du aber meist den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
💡 Versteh das Konzept: Die Rechteck-Methode ist die Grundidee hinter allen Integralen - auch wenn du sie später nicht mehr von Hand rechnest!
Eine Stammfunktion F ist das Gegenteil der Ableitung: Wenn F'(x) = f(x), dann ist F die Stammfunktion von f. Das Integrieren macht das Ableiten quasi rückgängig.
Die Grundregel ist einfach: Bei x^n wird der Exponent um 1 erhöht und durch den neuen Exponenten geteilt. Aus 2x³ wird also (2/4)x⁴ = ½x⁴.
Mit Stammfunktionen kannst du bestimmte Integrale elegant berechnen: ∫[a bis b] f(x)dx = F(b) - F(a). Stammfunktion an den Grenzen einsetzen und subtrahieren - fertig!
💡 Zeitsparer: Lern die Stammfunktionen der wichtigsten Grundfunktionen auswendig - das spart dir in Klausuren enorm viel Zeit!
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist dein mächtigstes Werkzeug: ∫[a bis b] f(x)dx = F(b) - F(a). Diese Formel verbindet Ableiten und Integrieren miteinander.
Das Beispiel ∫[2 bis 4] dx = 106 zeigt dir den Standardablauf: Stammfunktion bilden, obere Grenze einsetzen, untere Grenze einsetzen und subtrahieren.
Die Schreibweise [F(x)]ᵃᵇ ist nur eine Abkürzung für F(b) - F(a) - gewöhn dir diese Notation an, sie kommt überall vor!
💡 Prüfungstrick: Kontrollier dein Ergebnis immer durch Ableiten der Stammfunktion - so merkst du Rechenfehler sofort!
Positive Funktionen ergeben positive Integralwerte - wie bei ∫[1 bis 3] (¼x²)dx = 13/6. Das entspricht der tatsächlichen Fläche zwischen Kurve und x-Achse.
Negative Funktionen liefern negative Integralwerte, wie ∫[0 bis 4] dx = -32/3. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse und wird daher negativ gewertet.
Bei Funktionen mit wechselnden Vorzeichen erhältst du die Bilanz aller Flächeninhalte. Positive und negative Bereiche können sich teilweise aufheben!
💡 Wichtig für Flächenberechnungen: Willst du den tatsächlichen Flächeninhalt (immer positiv), musst du die Bereiche getrennt berechnen und die Beträge addieren!
Die Potenzregel funktioniert immer gleich: Exponent um 1 erhöhen, durch den neuen Exponenten teilen. Aus x⁵ wird x⁶/6, aus 3x³ wird 3x⁴/4.
Bei negativen Exponenten wie x⁻³ gehst du genauso vor: x⁻²/(-2) = -x⁻²/2. Auch Wurzeln wie √x = x^(0,5) werden zu (2/3)x^(3/2).
Unter- und Obersummen kannst du für einfache Funktionen wie f(x) = x + 1 noch von Hand rechnen. Hier siehst du: 11/8 < A < 13/8 - die wahre Fläche liegt dazwischen.
💡 Übungsstrategie: Arbeite viele verschiedene Funktionstypen durch - Potenzfunktionen, Wurzeln und Brüche. Die Routine kommt mit der Wiederholung!
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Katy
@katykatz03
Differential- und Integralrechnung bilden das Herzstück der höheren Mathematik - und sind gar nicht so kompliziert, wie sie zunächst wirken! Du lernst hier, wie du Funktionen ableitest, Flächeninhalte berechnest und das Geheimnis der Stammfunktionen entschlüsselst.
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Die Produktregel brauchst du, wenn zwei Funktionen miteinander multipliziert werden: f'(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x). Klingt kompliziert, ist aber nur ein festes Schema, das du immer gleich anwendest.
Die Kettenregel verwendest du bei "verschachtelten" Funktionen: f'(x) = n · (u(x))^ · u'(x). Denk daran: Äußere Ableitung mal innere Ableitung!
Bestimmte Integrale geben dir den orientierten Flächeninhalt zwischen Funktion und x-Achse an. Flächen oberhalb der x-Achse zählen positiv, Flächen darunter negativ - daher "orientiert".
💡 Merktipp: Bei der Rekonstruktion von Beständen entspricht die Fläche unter der Kurve immer der Gesamtänderung - egal ob Meter, Liter oder Besucherzahlen!
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Um Flächeninhalte zu berechnen, teilst du die Fläche in rechteckige Streifen auf. Die Untersumme U_n verwendet den minimalen Funktionswert als Rechteckhöhe, die Obersumme O_n den maximalen.
Bei der Funktion f(x) = x² im Intervall [0;2] siehst du das konkret: Beide Summen nähern sich dem Wert 8/3 an, wenn n gegen unendlich geht. Das bedeutet: Je mehr Rechtecke, desto genauer wird dein Ergebnis!
Die aufwendigen Berechnungen zeigen dir das Prinzip - in der Praxis verwendest du aber meist den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
💡 Versteh das Konzept: Die Rechteck-Methode ist die Grundidee hinter allen Integralen - auch wenn du sie später nicht mehr von Hand rechnest!
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Eine Stammfunktion F ist das Gegenteil der Ableitung: Wenn F'(x) = f(x), dann ist F die Stammfunktion von f. Das Integrieren macht das Ableiten quasi rückgängig.
Die Grundregel ist einfach: Bei x^n wird der Exponent um 1 erhöht und durch den neuen Exponenten geteilt. Aus 2x³ wird also (2/4)x⁴ = ½x⁴.
Mit Stammfunktionen kannst du bestimmte Integrale elegant berechnen: ∫[a bis b] f(x)dx = F(b) - F(a). Stammfunktion an den Grenzen einsetzen und subtrahieren - fertig!
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Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist dein mächtigstes Werkzeug: ∫[a bis b] f(x)dx = F(b) - F(a). Diese Formel verbindet Ableiten und Integrieren miteinander.
Das Beispiel ∫[2 bis 4] dx = 106 zeigt dir den Standardablauf: Stammfunktion bilden, obere Grenze einsetzen, untere Grenze einsetzen und subtrahieren.
Die Schreibweise [F(x)]ᵃᵇ ist nur eine Abkürzung für F(b) - F(a) - gewöhn dir diese Notation an, sie kommt überall vor!
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Positive Funktionen ergeben positive Integralwerte - wie bei ∫[1 bis 3] (¼x²)dx = 13/6. Das entspricht der tatsächlichen Fläche zwischen Kurve und x-Achse.
Negative Funktionen liefern negative Integralwerte, wie ∫[0 bis 4] dx = -32/3. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse und wird daher negativ gewertet.
Bei Funktionen mit wechselnden Vorzeichen erhältst du die Bilanz aller Flächeninhalte. Positive und negative Bereiche können sich teilweise aufheben!
💡 Wichtig für Flächenberechnungen: Willst du den tatsächlichen Flächeninhalt (immer positiv), musst du die Bereiche getrennt berechnen und die Beträge addieren!
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Die Potenzregel funktioniert immer gleich: Exponent um 1 erhöhen, durch den neuen Exponenten teilen. Aus x⁵ wird x⁶/6, aus 3x³ wird 3x⁴/4.
Bei negativen Exponenten wie x⁻³ gehst du genauso vor: x⁻²/(-2) = -x⁻²/2. Auch Wurzeln wie √x = x^(0,5) werden zu (2/3)x^(3/2).
Unter- und Obersummen kannst du für einfache Funktionen wie f(x) = x + 1 noch von Hand rechnen. Hier siehst du: 11/8 < A < 13/8 - die wahre Fläche liegt dazwischen.
💡 Übungsstrategie: Arbeite viele verschiedene Funktionstypen durch - Potenzfunktionen, Wurzeln und Brüche. Die Routine kommt mit der Wiederholung!
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
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Anna
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Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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