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Mathe
3. Dez. 2025
1.770
2 Seiten
Jule @jule_ahyd
Die Integralrechnung ist das Gegenstück zur Ableitung und hilft dir, Flächen zu berechnen und Bestandsänderungen zu ermitteln. Du... Mehr anzeigen
Integrale zeigen dir, wie sich etwas über einen bestimmten Zeitraum verändert hat. Stell dir vor, du kennst deine Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt - das Integral verrät dir dann, welche Strecke du insgesamt zurückgelegt hast.
Die Stammfunktion F(x) erhältst du durch "rückwärts ableiten". Bei f(x) = x³ wird die Stammfunktion zu F(x) = ¼x⁴, weil wenn du F(x) ableitest, wieder f(x) herauskommt. Die allgemeine Regel lautet f(x) = xⁿ → F(x) = 1/ · x^.
Faktoren bleiben einfach stehen (genau wie beim Ableiten) aus f(x) = 5x² wird F(x) = 5/3 · x³. Bei Summen behandelst du jeden Term einzeln f(x) = x² + 2x wird zu F(x) = ⅓x³ + x².
Merke sin(x) → -cos(x), cos(x) → sin(x). Diese trigonometrischen Stammfunktionen solltest du auswendig können!
Der orientierte Flächeninhalt berücksichtigt das Vorzeichen Flächen oberhalb der x-Achse sind positiv, unterhalb negativ. Das Integral F(b) - F(a) gibt dir die Bestandsänderung zwischen den Punkten a und b an.
Integrale berechnest du schrittweise Erst stellst du das Integral auf (∫f(x)dx), dann findest du eine Stammfunktion F(x), setzt die Grenzen ein und berechnest F(b) - F(a).
Symmetrien sparen Zeit Bei punktsymmetrischen Funktionen (wie x³) ist ∫₋ₐᵃ f(x)dx = 0, weil sich die Flächen aufheben. Bei achsensymmetrischen Funktionen (wie x²) kannst du ∫₋ₐᵃ f(x)dx = 2·∫₀ᵃ f(x)dx rechnen.
Wenn nach "einer Stammfunktion" gefragt wird, gibst du F(x) an. Bei "allen Stammfunktionen" schreibst du F(x) + c, weil es unendlich viele gibt (die Konstante c kann beliebig sein).
Tipp Für absolute Flächeninhalte musst du erst die Nullstellen finden, dann jeden Bereich einzeln integrieren und die Beträge addieren!
Flächen zwischen zwei Funktionen berechnest du über die Differenzfunktion Du bildest f(x) - g(x), findest die Schnittstellen und integrierst abschnittsweise. Am Ende addierst du alle Beträge für den gesamten Flächeninhalt.
Der Taschenrechner kann dir bei komplexen Berechnungen helfen Funktion speichern, Nullstellen berechnen, Graph zeichnen und über das Menü die Integrale bestimmen.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
57
Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Entdecken Sie die Methoden zur Ermittlung von Stammfunktionen in der Differential- und Integralrechnung. Diese Zusammenfassung behandelt den Stammfunktionsnachweis, den Formansatz und die Rückschlussmethode. Ideal für Studierende, die ihre Kenntnisse in der Analysis vertiefen möchten.
MatheErfahren Sie, wie man Stammfunktionen für Potenzfunktionen und trigonometrische Funktionen bildet. Diese Zusammenfassung behandelt die Regeln der Integration, Beispiele für Ableitungen und die grafische Darstellung von Stammfunktionen. Ideal für Schüler, die sich auf Mathematikprüfungen vorbereiten.
MatheErforschen Sie die Integralrechnung anhand einer Wassertankaufgabe. Bestimmen Sie die Gesamtänderung der Wassermenge im Tank und die durch das Rohr geflossene Wassermenge unter Verwendung des Hauptsatzes der Integralrechnung. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Anleitung zur Anwendung der Integrationsregeln und zur Analyse von Graphen. Ideal für Studierende der Mathematik.
MatheEntdecke die Grundlagen der Integralrechnung und Analysis in diesem umfassenden Lernmaterial. Erlerne die Definition des Integrals, die Berechnung bestimmter Integrale, die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung sowie die Transformation von Funktionen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten. Themen: Flächeninhalte, Ableitungen, logarithmische und exponentielle Funktionen, und mehr.
MatheVertiefen Sie Ihr Wissen in der Integralrechnung mit diesen Übungsaufgaben. Behandelt werden: orientierter Flächeninhalt, Berechnung von Integralen, Stammfunktionen und das Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Ideal zur Klausurvorbereitung und für das Verständnis von Flächeninhalten zwischen Graphen.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Integralrechnung, einschließlich Herleitungen, Rechenregeln und Techniken zur Rekonstruktion von Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie das bestimmte und unbestimmte Integral, die Flächenbilanz und die partielle Integration. Ideal für Studierende der Mathematik, die ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Samantha Klich
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Jule
@jule_ahyd
Die Integralrechnung ist das Gegenstück zur Ableitung und hilft dir, Flächen zu berechnen und Bestandsänderungen zu ermitteln. Du lernst hier, wie du Stammfunktionen findest und damit konkrete Flächeninhalte bestimmst.
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Integrale zeigen dir, wie sich etwas über einen bestimmten Zeitraum verändert hat. Stell dir vor, du kennst deine Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt - das Integral verrät dir dann, welche Strecke du insgesamt zurückgelegt hast.
Die Stammfunktion F(x) erhältst du durch "rückwärts ableiten". Bei f(x) = x³ wird die Stammfunktion zu F(x) = ¼x⁴, weil wenn du F(x) ableitest, wieder f(x) herauskommt. Die allgemeine Regel lautet: f(x) = xⁿ → F(x) = 1/ · x^.
Faktoren bleiben einfach stehen (genau wie beim Ableiten): aus f(x) = 5x² wird F(x) = 5/3 · x³. Bei Summen behandelst du jeden Term einzeln: f(x) = x² + 2x wird zu F(x) = ⅓x³ + x².
Merke: sin(x) → -cos(x), cos(x) → sin(x). Diese trigonometrischen Stammfunktionen solltest du auswendig können!
Der orientierte Flächeninhalt berücksichtigt das Vorzeichen: Flächen oberhalb der x-Achse sind positiv, unterhalb negativ. Das Integral F(b) - F(a) gibt dir die Bestandsänderung zwischen den Punkten a und b an.
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Integrale berechnest du schrittweise: Erst stellst du das Integral auf (∫f(x)dx), dann findest du eine Stammfunktion F(x), setzt die Grenzen ein und berechnest F(b) - F(a).
Symmetrien sparen Zeit: Bei punktsymmetrischen Funktionen (wie x³) ist ∫₋ₐᵃ f(x)dx = 0, weil sich die Flächen aufheben. Bei achsensymmetrischen Funktionen (wie x²) kannst du ∫₋ₐᵃ f(x)dx = 2·∫₀ᵃ f(x)dx rechnen.
Wenn nach "einer Stammfunktion" gefragt wird, gibst du F(x) an. Bei "allen Stammfunktionen" schreibst du F(x) + c, weil es unendlich viele gibt (die Konstante c kann beliebig sein).
Tipp: Für absolute Flächeninhalte musst du erst die Nullstellen finden, dann jeden Bereich einzeln integrieren und die Beträge addieren!
Flächen zwischen zwei Funktionen berechnest du über die Differenzfunktion: Du bildest f(x) - g(x), findest die Schnittstellen und integrierst abschnittsweise. Am Ende addierst du alle Beträge für den gesamten Flächeninhalt.
Der Taschenrechner kann dir bei komplexen Berechnungen helfen: Funktion speichern, Nullstellen berechnen, Graph zeichnen und über das Menü die Integrale bestimmen.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
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Entdecken Sie die Methoden zur Ermittlung von Stammfunktionen in der Differential- und Integralrechnung. Diese Zusammenfassung behandelt den Stammfunktionsnachweis, den Formansatz und die Rückschlussmethode. Ideal für Studierende, die ihre Kenntnisse in der Analysis vertiefen möchten.
MatheErfahren Sie, wie man Stammfunktionen für Potenzfunktionen und trigonometrische Funktionen bildet. Diese Zusammenfassung behandelt die Regeln der Integration, Beispiele für Ableitungen und die grafische Darstellung von Stammfunktionen. Ideal für Schüler, die sich auf Mathematikprüfungen vorbereiten.
MatheErforschen Sie die Integralrechnung anhand einer Wassertankaufgabe. Bestimmen Sie die Gesamtänderung der Wassermenge im Tank und die durch das Rohr geflossene Wassermenge unter Verwendung des Hauptsatzes der Integralrechnung. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Anleitung zur Anwendung der Integrationsregeln und zur Analyse von Graphen. Ideal für Studierende der Mathematik.
MatheEntdecke die Grundlagen der Integralrechnung und Analysis in diesem umfassenden Lernmaterial. Erlerne die Definition des Integrals, die Berechnung bestimmter Integrale, die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung sowie die Transformation von Funktionen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten. Themen: Flächeninhalte, Ableitungen, logarithmische und exponentielle Funktionen, und mehr.
MatheVertiefen Sie Ihr Wissen in der Integralrechnung mit diesen Übungsaufgaben. Behandelt werden: orientierter Flächeninhalt, Berechnung von Integralen, Stammfunktionen und das Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Ideal zur Klausurvorbereitung und für das Verständnis von Flächeninhalten zwischen Graphen.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Anna
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