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3. Feb. 2026
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janne :)
@janne.kttnr
Die Integralrechnung ist ein mächtiges Werkzeug der Mathematik, mit dem... Mehr anzeigen
Integralrechnung hilft dir dabei, von der Änderung zum Bestand zu gelangen - stell dir vor, du willst wissen, wie viel Wasser nach verschiedenen Zu- und Abflüssen im Tank ist. Wenn 4 Minuten lang 20L pro Minute zufließen, dann 1,5 Minuten lang 10L pro Minute abfließen, kannst du den Bestand schrittweise berechnen.
Die Bestandsfunktion zeigt dir zu jedem Zeitpunkt die vorhandene Menge an. Da Zufluss und Abfluss konstant sind, erhältst du eine abschnittsweise lineare Funktion - perfekt für den Einstieg ins Thema.
Der orientierte Flächeninhalt ist das Herzstück: Flächen oberhalb der x-Achse bekommen ein positives, Flächen unterhalb ein negatives Vorzeichen. Die Summe aller orientierten Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse im Intervall [a,b] nennt man Integral.
Tipp: Denk immer daran - Integrale sind "aufgesammelte" Flächenstücke mit Vorzeichen!
Eine Stammfunktion F zu einer Funktion f erfüllt die Bedingung F'(x) = f(x) - sie ist sozusagen die "Umkehrung" des Ableitens. Du findest sie durch Aufleiten mit der Potenzregel: Aus f(x) = x² wird F(x) = ⅓x³ + C.
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) ist dein wichtigstes Werkzeug: ∫[a bis b] f(x)dx = F(b) - F(a). Damit berechnest du Integrale super einfach - Stammfunktion finden, obere Grenze einsetzen, untere Grenze abziehen.
Die Integralfunktion I_a(x) gibt dir zu jeder rechten Grenze x den orientierten Flächeninhalt im Intervall [a;x] an. Ihre Ableitung ist wieder die ursprüngliche Funktion: I'_a(x) = f(x).
Merke: Stammfunktionen sind nie eindeutig - es gibt immer unendlich viele, die sich nur um eine Konstante C unterscheiden!
Bei Schnittflächen zwischen zwei Kurven integrierst du immer über die Differenz der Funktionsterme - egal wo die Fläche liegt. Zuerst bestimmst du die Schnittpunkte durch f(x) = g(x), dann berechnest du A = ∫[x₁ bis x₂] |g(x) - f(x)|dx.
Flächeninhalte sind immer positiv - falls dein Integral negativ wird, setzt du Betragsstriche. Die obere Funktion minus untere Funktion ergibt die gesuchte Fläche.
Wichtige Rechenregeln für Stammfunktionen: Summen werden summandenweise aufgeleitet, konstante Faktoren bleiben erhalten. So wird aus h(x) = 2x² + 3x einfach H(x) = ⅔x³ + 1,5x².
Wichtig: Dokumentiere immer deinen mathematischen Ansatz und vergiss nicht die Betragsstriche bei Flächeninhalten!
Klausurvorbereitung läuft am besten mit systematischen Übungen. Bei Aussagen über Stammfunktionen prüfst du: Extrempunkte entstehen bei Nullstellen der ursprünglichen Funktion, Wendepunkte bei deren Extremstellen.
Integralgleichungen löst du durch Aufstellen der Stammfunktion und Einsetzen der Grenzen. Bei der Gleichung ∫r bis 0dx = 1 erhältst du von r bis 0, setzt ein und löst nach r auf.
Flächenberechnungen zwischen mehreren Funktionen teilst du in Abschnitte auf. Bestimme zuerst alle Schnittpunkte, dann integriere abschnittsweise über die jeweils obere minus untere Funktion.
Strategietipp: Mach bei komplexen Aufgaben immer erst einen groben Überschlag - das hilft dir, Rechenfehler zu entdecken!
Wachstumsmodelle zeigen dir die Kraft der Integralrechnung in der Realität. Bei Pflanzenwachstum gibt die Zuwachsrate f(x) = 0,01·x· an, wie schnell der Bestand wächst oder schrumpft.
Nullstellen der Zuwachsrate markieren Wendepunkte im Bestand - hier wechselt zwischen Zu- und Abnahme. Das Maximum des Bestands findest du dort, wo die Zuwachsrate von positiv zu negativ wechselt.
Bewegungsaufgaben wie die Helikopter zeigen Geschwindigkeits-Zeit-Diagramme. Durch Integration erhältst du die zurückgelegte Höhendifferenz. Positive Bereiche bedeuten Steigen, negative Sinken.
Extrempunkte der Geschwindigkeit zeigen maximale Steig- oder Sinkgeschwindigkeit an, Nullstellen markieren Wendepunkte der Flugbahn - hier ändert sich die Flugrichtung.
Praxistipp: Bei Anwendungsaufgaben interpretiere immer die mathematischen Ergebnisse im Sachkontext - was bedeuten Nullstellen und Extremwerte real?
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
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Anna
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Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
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David K
iOS-Nutzer
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
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Elisha
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Paul T
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janne :)
@janne.kttnr
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Der orientierte Flächeninhalt ist das Herzstück: Flächen oberhalb der x-Achse bekommen ein positives, Flächen unterhalb ein negatives Vorzeichen. Die Summe aller orientierten Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse im Intervall [a,b] nennt man Integral.
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Eine Stammfunktion F zu einer Funktion f erfüllt die Bedingung F'(x) = f(x) - sie ist sozusagen die "Umkehrung" des Ableitens. Du findest sie durch Aufleiten mit der Potenzregel: Aus f(x) = x² wird F(x) = ⅓x³ + C.
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Die Integralfunktion I_a(x) gibt dir zu jeder rechten Grenze x den orientierten Flächeninhalt im Intervall [a;x] an. Ihre Ableitung ist wieder die ursprüngliche Funktion: I'_a(x) = f(x).
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Bei Schnittflächen zwischen zwei Kurven integrierst du immer über die Differenz der Funktionsterme - egal wo die Fläche liegt. Zuerst bestimmst du die Schnittpunkte durch f(x) = g(x), dann berechnest du A = ∫[x₁ bis x₂] |g(x) - f(x)|dx.
Flächeninhalte sind immer positiv - falls dein Integral negativ wird, setzt du Betragsstriche. Die obere Funktion minus untere Funktion ergibt die gesuchte Fläche.
Wichtige Rechenregeln für Stammfunktionen: Summen werden summandenweise aufgeleitet, konstante Faktoren bleiben erhalten. So wird aus h(x) = 2x² + 3x einfach H(x) = ⅔x³ + 1,5x².
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Wachstumsmodelle zeigen dir die Kraft der Integralrechnung in der Realität. Bei Pflanzenwachstum gibt die Zuwachsrate f(x) = 0,01·x· an, wie schnell der Bestand wächst oder schrumpft.
Nullstellen der Zuwachsrate markieren Wendepunkte im Bestand - hier wechselt zwischen Zu- und Abnahme. Das Maximum des Bestands findest du dort, wo die Zuwachsrate von positiv zu negativ wechselt.
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Erforschen Sie die Grundlagen der Integralrechnung, einschließlich des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung, der Definition von Stammfunktionen, unbestimmten und bestimmten Integralen sowie praktischen Beispielen zur Veranschaulichung. Ideal für Studierende, die ein tieferes Verständnis der Integralrechnung entwickeln möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Integralrechnung, einschließlich Herleitungen, Rechenregeln und Techniken zur Rekonstruktion von Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie das bestimmte und unbestimmte Integral, die Flächenbilanz und die partielle Integration. Ideal für Studierende der Mathematik, die ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.
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MatheErforschen Sie die Grundlagen der Integralrechnung, einschließlich der Beziehung zwischen Funktionen und Integralen, Ableitungsregeln, Stammfunktionen und der Berechnung von Flächeninhalten. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über die wichtigsten Konzepte der Differential- und Integralrechnung, ideal für Studierende der Mathematik.
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Stefan S
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Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Thomas R
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Basil
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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Elisha
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Paul T
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
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