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Grundlagen der Integralrechnung leicht erklärt

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janne :)

11.12.2025

Mathe

Integralrechnung

1.564

11. Dez. 2025

5 Seiten

Grundlagen der Integralrechnung leicht erklärt

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janne :)

@janne.kttnr

Die Integralrechnung ist ein mächtiges Werkzeug der Mathematik, mit dem... Mehr anzeigen

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# Integral

rechnun

g

29.11.2021 # Matheklausur Nr.1 - 17. November

Integralrechnung

Von der Änderung zum Bestand

wasser läuft zu und a

Grundlagen der Integralrechnung

Integralrechnung hilft dir dabei, von der Änderung zum Bestand zu gelangen - stell dir vor, du willst wissen, wie viel Wasser nach verschiedenen Zu- und Abflüssen im Tank ist. Wenn 4 Minuten lang 20L pro Minute zufließen, dann 1,5 Minuten lang 10L pro Minute abfließen, kannst du den Bestand schrittweise berechnen.

Die Bestandsfunktion zeigt dir zu jedem Zeitpunkt die vorhandene Menge an. Da Zufluss und Abfluss konstant sind, erhältst du eine abschnittsweise lineare Funktion - perfekt für den Einstieg ins Thema.

Der orientierte Flächeninhalt ist das Herzstück: Flächen oberhalb der x-Achse bekommen ein positives, Flächen unterhalb ein negatives Vorzeichen. Die Summe aller orientierten Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse im Intervall a,ba,b nennt man Integral.

Tipp: Denk immer daran - Integrale sind "aufgesammelte" Flächenstücke mit Vorzeichen!

# Integral

rechnun

g

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Integralrechnung

Von der Änderung zum Bestand

wasser läuft zu und a

Stammfunktionen und Hauptsatz

Eine Stammfunktion F zu einer Funktion f erfüllt die Bedingung F'(x) = f(x) - sie ist sozusagen die "Umkehrung" des Ableitens. Du findest sie durch Aufleiten mit der Potenzregel: Aus f(x) = x² wird F(x) = ⅓x³ + C.

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) ist dein wichtigstes Werkzeug: ∫abisba bis b f(x)dx = F(b) - F(a). Damit berechnest du Integrale super einfach - Stammfunktion finden, obere Grenze einsetzen, untere Grenze abziehen.

Die Integralfunktion I_a(x) gibt dir zu jeder rechten Grenze x den orientierten Flächeninhalt im Intervall a;xa;x an. Ihre Ableitung ist wieder die ursprüngliche Funktion: I'_a(x) = f(x).

Merke: Stammfunktionen sind nie eindeutig - es gibt immer unendlich viele, die sich nur um eine Konstante C unterscheiden!

# Integral

rechnun

g

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Integralrechnung

Von der Änderung zum Bestand

wasser läuft zu und a

Schnittflächen und Flächenberechnung

Bei Schnittflächen zwischen zwei Kurven integrierst du immer über die Differenz der Funktionsterme - egal wo die Fläche liegt. Zuerst bestimmst du die Schnittpunkte durch f(x) = g(x), dann berechnest du A = ∫x1bisx2x₁ bis x₂ |g(x) - f(x)|dx.

Flächeninhalte sind immer positiv - falls dein Integral negativ wird, setzt du Betragsstriche. Die obere Funktion minus untere Funktion ergibt die gesuchte Fläche.

Wichtige Rechenregeln für Stammfunktionen: Summen werden summandenweise aufgeleitet, konstante Faktoren bleiben erhalten. So wird aus h(x) = 2x² + 3x einfach H(x) = ⅔x³ + 1,5x².

Wichtig: Dokumentiere immer deinen mathematischen Ansatz und vergiss nicht die Betragsstriche bei Flächeninhalten!

# Integral

rechnun

g

29.11.2021 # Matheklausur Nr.1 - 17. November

Integralrechnung

Von der Änderung zum Bestand

wasser läuft zu und a

Übungsstrategien und Anwendungen

Klausurvorbereitung läuft am besten mit systematischen Übungen. Bei Aussagen über Stammfunktionen prüfst du: Extrempunkte entstehen bei Nullstellen der ursprünglichen Funktion, Wendepunkte bei deren Extremstellen.

Integralgleichungen löst du durch Aufstellen der Stammfunktion und Einsetzen der Grenzen. Bei der Gleichung ∫r bis 0dx = 1 erhältst du x2+2xx²+2x von r bis 0, setzt ein und löst nach r auf.

Flächenberechnungen zwischen mehreren Funktionen teilst du in Abschnitte auf. Bestimme zuerst alle Schnittpunkte, dann integriere abschnittsweise über die jeweils obere minus untere Funktion.

Strategietipp: Mach bei komplexen Aufgaben immer erst einen groben Überschlag - das hilft dir, Rechenfehler zu entdecken!

# Integral

rechnun

g

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Integralrechnung

Von der Änderung zum Bestand

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Praxisanwendungen und Modellierung

Wachstumsmodelle zeigen dir die Kraft der Integralrechnung in der Realität. Bei Pflanzenwachstum gibt die Zuwachsrate f(x) = 0,01·x·x12x-12x20x-20 an, wie schnell der Bestand wächst oder schrumpft.

Nullstellen der Zuwachsrate markieren Wendepunkte im Bestand - hier wechselt zwischen Zu- und Abnahme. Das Maximum des Bestands findest du dort, wo die Zuwachsrate von positiv zu negativ wechselt.

Bewegungsaufgaben wie die Helikopter zeigen Geschwindigkeits-Zeit-Diagramme. Durch Integration erhältst du die zurückgelegte Höhendifferenz. Positive Bereiche bedeuten Steigen, negative Sinken.

Extrempunkte der Geschwindigkeit zeigen maximale Steig- oder Sinkgeschwindigkeit an, Nullstellen markieren Wendepunkte der Flugbahn - hier ändert sich die Flugrichtung.

Praxistipp: Bei Anwendungsaufgaben interpretiere immer die mathematischen Ergebnisse im Sachkontext - was bedeuten Nullstellen und Extremwerte real?



Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

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4.9/5

App Store

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Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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11. Dez. 2025

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janne :)

@janne.kttnr

Die Integralrechnung ist ein mächtiges Werkzeug der Mathematik, mit dem du Flächeninhalte berechnest und von Änderungsraten auf Bestände schließen kannst. Du wirst lernen, wie Stammfunktionen funktionieren und wie du sie zur Lösung praktischer Probleme einsetzt.

# Integral

rechnun

g

29.11.2021 # Matheklausur Nr.1 - 17. November

Integralrechnung

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Grundlagen der Integralrechnung

Integralrechnung hilft dir dabei, von der Änderung zum Bestand zu gelangen - stell dir vor, du willst wissen, wie viel Wasser nach verschiedenen Zu- und Abflüssen im Tank ist. Wenn 4 Minuten lang 20L pro Minute zufließen, dann 1,5 Minuten lang 10L pro Minute abfließen, kannst du den Bestand schrittweise berechnen.

Die Bestandsfunktion zeigt dir zu jedem Zeitpunkt die vorhandene Menge an. Da Zufluss und Abfluss konstant sind, erhältst du eine abschnittsweise lineare Funktion - perfekt für den Einstieg ins Thema.

Der orientierte Flächeninhalt ist das Herzstück: Flächen oberhalb der x-Achse bekommen ein positives, Flächen unterhalb ein negatives Vorzeichen. Die Summe aller orientierten Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse im Intervall a,ba,b nennt man Integral.

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Stammfunktionen und Hauptsatz

Eine Stammfunktion F zu einer Funktion f erfüllt die Bedingung F'(x) = f(x) - sie ist sozusagen die "Umkehrung" des Ableitens. Du findest sie durch Aufleiten mit der Potenzregel: Aus f(x) = x² wird F(x) = ⅓x³ + C.

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) ist dein wichtigstes Werkzeug: ∫abisba bis b f(x)dx = F(b) - F(a). Damit berechnest du Integrale super einfach - Stammfunktion finden, obere Grenze einsetzen, untere Grenze abziehen.

Die Integralfunktion I_a(x) gibt dir zu jeder rechten Grenze x den orientierten Flächeninhalt im Intervall a;xa;x an. Ihre Ableitung ist wieder die ursprüngliche Funktion: I'_a(x) = f(x).

Merke: Stammfunktionen sind nie eindeutig - es gibt immer unendlich viele, die sich nur um eine Konstante C unterscheiden!

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Bei Schnittflächen zwischen zwei Kurven integrierst du immer über die Differenz der Funktionsterme - egal wo die Fläche liegt. Zuerst bestimmst du die Schnittpunkte durch f(x) = g(x), dann berechnest du A = ∫x1bisx2x₁ bis x₂ |g(x) - f(x)|dx.

Flächeninhalte sind immer positiv - falls dein Integral negativ wird, setzt du Betragsstriche. Die obere Funktion minus untere Funktion ergibt die gesuchte Fläche.

Wichtige Rechenregeln für Stammfunktionen: Summen werden summandenweise aufgeleitet, konstante Faktoren bleiben erhalten. So wird aus h(x) = 2x² + 3x einfach H(x) = ⅔x³ + 1,5x².

Wichtig: Dokumentiere immer deinen mathematischen Ansatz und vergiss nicht die Betragsstriche bei Flächeninhalten!

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Integralgleichungen löst du durch Aufstellen der Stammfunktion und Einsetzen der Grenzen. Bei der Gleichung ∫r bis 0dx = 1 erhältst du x2+2xx²+2x von r bis 0, setzt ein und löst nach r auf.

Flächenberechnungen zwischen mehreren Funktionen teilst du in Abschnitte auf. Bestimme zuerst alle Schnittpunkte, dann integriere abschnittsweise über die jeweils obere minus untere Funktion.

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Nullstellen der Zuwachsrate markieren Wendepunkte im Bestand - hier wechselt zwischen Zu- und Abnahme. Das Maximum des Bestands findest du dort, wo die Zuwachsrate von positiv zu negativ wechselt.

Bewegungsaufgaben wie die Helikopter zeigen Geschwindigkeits-Zeit-Diagramme. Durch Integration erhältst du die zurückgelegte Höhendifferenz. Positive Bereiche bedeuten Steigen, negative Sinken.

Extrempunkte der Geschwindigkeit zeigen maximale Steig- oder Sinkgeschwindigkeit an, Nullstellen markieren Wendepunkte der Flugbahn - hier ändert sich die Flugrichtung.

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Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

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Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

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