Integralrechnung – Flächenberechnung eines Parabelsegments mit der Streifenmethode

lara

5.12.2025

Mathe

Integralrechnung : Streifenmethode/ Flächenberechnung eines Parabelsegments

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5. Dez. 2025

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Integralrechnung – Flächenberechnung eines Parabelsegments mit der Streifenmethode

lara

@laraa.snl

Du kennst bestimmt das Problem: Wie berechnet man die Fläche... Mehr anzeigen

# Streifenmethode
des Archimedes

Der Flächeninhalt A des abgebildeten Parabelsegments der Funktion fox)=$x^2$ soll näherungsweise bestimmt

Die Streifenmethode des Archimedes

Die Grundidee ist verblüffend einfach: Du teilst die Fläche unter einer Kurve in viele vertikale Rechteckstreifen auf und berechnest deren Gesamtfläche. Am Beispiel der Parabel f(x) = x² im Intervall $0;1$ wird das Prinzip besonders deutlich.

Zwei verschiedene Näherungen helfen dir dabei, die echte Fläche einzugrenzen. Bei der Untersumme liegen alle Rechtecke vollständig unter der Kurve - das ergibt eine untere Schätzung. Die Obersumme dagegen nutzt Rechtecke, die über die Kurve hinausragen und liefert eine obere Schätzung.

Der Trick für mehr Genauigkeit liegt in der Anzahl der Streifen. Je mehr Streifen du verwendest, desto genauer wird deine Näherung. Mit nur wenigen Streifen ist die Differenz zwischen Unter- und Obersumme noch groß, aber sie schrumpft mit jedem zusätzlichen Streifen.

Merktipp: Alle Rechteckstreifen haben die gleiche Breite 1/n, aber unterschiedliche Höhen, die sich aus den Funktionswerten ergeben.

Die konkreten Formeln für unser Parabelbeispiel lauten:

Untersumme: $U_n = \frac{1}{n} \cdot [(\frac{0}{n})^2 + (\frac{1}{n})^2 + ... + (\frac{n-1}{n})^2]$
Obersumme: $O_n = \frac{1}{n} \cdot [(\frac{1}{n})^2 + (\frac{2}{n})^2 + ... + 1^2]$

Der entscheidende Schritt kommt jetzt: Wenn n gegen unendlich läuft, konvergieren beide Summen gegen denselben Wert. Mithilfe der Summenformel $1^2 + 2^2 + ... + m^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$ kannst du zeigen, dass sowohl $\lim_{n \to \infty} U_n$ als auch $\lim_{n \to \infty} O_n$ genau $\frac{1}{3}$ ergeben.

Das Ergebnis ist beeindruckend: Die Fläche unter der Parabel f(x) = x² zwischen 0 und 1 beträgt exakt $\frac{1}{3}$ - ein Resultat, das du später in der Integralrechnung wiederfinden wirst.

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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lara

@laraa.snl

Du kennst bestimmt das Problem: Wie berechnet man die Fläche unter einer Kurve? Die Streifenmethode des Archimedes ist eine geniale Lösung, die schon die alten Griechen entwickelt haben. Durch das Aufteilen in schmale Rechteckstreifen kannst du jeden krummlinigen Bereich näherungsweise... Mehr anzeigen

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