Kleinstes gemeinsames Vielfaches und größter gemeinsamer Teiler erklärt

Größter gemeinsamer Teiler (ggT) - Grundlagen

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist einfach die größte Zahl, die beide gegebenen Zahlen ohne Rest teilt. Wenn du zum Beispiel 12 und 18 hast, ist 6 der ggT, weil sowohl 12 als auch 18 durch 6 teilbar sind.

Die einfachste Methode funktioniert über Teilermengen. Du schreibst alle Teiler beider Zahlen auf und suchst den größten gemeinsamen. Bei 12 und 18: Die Teiler von 12 sind {1, 2, 3, 4, 6, 12} und von 18 sind {1, 2, 3, 6, 9, 18}. Der größte gemeinsame Teiler ist also 6.

Merktipp: Der ggT ist nie größer als die kleinere der beiden Zahlen!

ggT mit Primfaktorzerlegung und Euklidischem Algorithmus

Die Primfaktorzerlegung ist besonders praktisch bei größeren Zahlen. Du zerlegst beide Zahlen in ihre Primfaktoren und nimmst dann nur die gemeinsamen Faktoren mit der niedrigsten Potenz. Bei 12 = 2² · 3 und 32 = 2⁵ ist der ggT = 2² = 4.

Der Euklidische Algorithmus ist dein bester Freund bei richtig großen Zahlen. Du teilst die größere durch die kleinere Zahl, dann die kleinere durch den Rest, und so weiter, bis der Rest null wird. Die letzte Zahl, durch die geteilt wurde, ist dein ggT.

Bei mehreren Zahlen nimmst du alle Primfaktoren, die in jeder Zahl vorkommen, mit der jeweils kleinsten Potenz.

Praxistipp: Für Klassenarbeiten ist meist die Primfaktorzerlegung am sichersten!

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) - Grundlagen

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist die kleinste Zahl, die sowohl ein Vielfaches der ersten als auch der zweiten Zahl ist. Stell dir vor, du suchst den kleinsten gemeinsamen Nenner beim Bruchrechnen - genau das ist das kgV!

Über Vielfachmengen findest du es, indem du die Vielfachen beider Zahlen aufschreibst und das kleinste gemeinsame suchst. Bei 12 und 18: Vielfache von 12 sind {12, 24, 36, 48...} und von 18 sind {18, 36, 54...}. Das kgV ist also 36.

Die Methode mit Primfaktorzerlegung funktioniert umgekehrt zum ggT: Du nimmst alle Primfaktoren, die in mindestens einer Zahl vorkommen, mit der höchsten Potenz.

Merktipp: Das kgV ist nie kleiner als die größere der beiden Zahlen!

kgV-Berechnung - Tricks und Formeln

Der coolste Trick ist die Formel mit dem ggT: ggT(a,b) · kgV(a,b) = a · b. Das bedeutet: Wenn du den ggT kennst, kannst du das kgV super schnell berechnen! Bei 18 und 24 mit ggT = 6 ist das kgV = (18 · 24) : 6 = 72.

Die Primfaktorzerlegung funktioniert genauso wie beim ggT, nur nimmst du die höchsten statt der niedrigsten Potenzen. Bei 405 = 3⁴ · 5 und 1350 = 2 · 3⁴ · 5² wird das kgV = 2 · 3⁴ · 5² = 4050.

Für mehrere Zahlen verwendest du alle Primfaktoren mit den jeweils höchsten Potenzen aus allen Zahlen.

Prüftipp: Kontrolliere dein Ergebnis: Ist dein kgV durch alle ursprünglichen Zahlen teilbar?

Mehrere Zahlen - Das Gesamtbild

Bei mehreren Zahlen funktionieren ggT und kgV nach demselben Prinzip, nur mit mehr Zahlen zum Vergleichen. Für den ggT nimmst du die Primfaktoren, die in allen Zahlen vorkommen, mit der niedrigsten Potenz. Für das kgV nimmst du alle Primfaktoren, die in mindestens einer Zahl vorkommen, mit der höchsten Potenz.

Im Beispiel mit 144, 160 und 175 ist der ggT = 1 (sie haben keine gemeinsamen Primfaktoren), aber das kgV = 50.400 (alle Primfaktoren mit höchsten Potenzen).

Praktische Anwendung: ggT brauchst du zum Kürzen von Brüchen, kgV zum Erweitern auf gemeinsame Nenner. Diese Konzepte begegnen dir in Algebra, Wahrscheinlichkeitsrechnung und sogar in der Informatik!

Erfolgsformel: Mit Primfaktorzerlegung löst du fast alle ggT- und kgV-Aufgaben sicher!