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Mathe

Funktionen und analysis

Ableitungsregeln

Quotientenregel

Mathe

9. Dez. 2025

2.930

12 Seiten

Einführung in Grenzwerte und Differenzialrechnung

Allegra Hofmann @allegra.hf

Diese Klausur behandelt Grenzwerte und Differenzialrechnung- zwei der wichtigsten Themen in Mathe 11. Du lernst hier, wie... Mehr anzeigen

Name, Vorname. Allegra...Mafomann
1. Klausur Grundkurs Mathematik 11/1
Thema: Grenzwerte und Einführung in die Differenzialrechnung
Teil A (

Aufgaben ohne Hilfsmittel

Definitionsbereiche und Asymptoten sind dein Startpunkt bei gebrochen-rationalen Funktionen. Bei f(x) = $3x+4$ / $5-x$ musst du schauen, wo der Nenner null wird - das ist bei x = 5 der Fall.

Grenzwerte berechnest du, indem du schaust, was mit der Funktion passiert, wenn x gegen einen bestimmten Wert läuft. Für x → ∞ teilst du Zähler und Nenner durch die höchste x-Potenz.

Die Asymptoten findest du durch Grenzwertbetrachtung senkrechte Asymptote bei x = 5 (da wird der Nenner null), waagerechte bei y = -3 (Grenzwert für x → ∞).

Merktipp Bei 0/0-Formen kannst du oft kürzen - wie bei $3x²-48$ / $x-4$ , wo du x²-16 = $x-4$ $x+4$ ausklammern kannst!

Differenzialrechnung und praktische Anwendung

Der Differenzenquotient gibt dir den Anstieg der Sekante zwischen zwei Punkten an. In der Praxis entspricht das der Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen zwei Zeitpunkten.

Ableitungsregeln machst du dir das Leben leichter Kettenregel bei $2x-5$ ², Potenzregel bei √x = x^(1/2). Bei f(x) = 4√x + 3/x schreibst du erst als 4x^(1/2) + 3x^(-1) um.

Den Anstieg einer Tangente liest du aus einem Steigungsdreieck ab - hier war es 3/5. Das ist genau der Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle.

Praxistipp Wandle Wurzeln und Brüche immer in Potenzschreibweise um, bevor du ableitest - das spart Zeit und Fehler!

Lösungsstrategien und Rechenwege

Bei gebrochen-rationalen Funktionen gehst du systematisch vor Definitionsbereich (Nenner ≠ 0), dann Grenzwerte für verschiedene x-Werte berechnen.

Grenzwerte mit 0/0-Form löst du durch geschicktes Umformen. Bei $3x²-48$ / $x-4$ klammerst du 3 $x²-16$ = 3 $x-4$ $x+4$ aus und kannst dann $x-4$ kürzen.

Multiple-Choice-Aufgaben checkst du durch Einsetzen Bei waagerechten Asymptoten teilst du die Koeffizienten der höchsten Potenzen - hier -1/3.

Zeitmanagement In Teil A hast du nur 25 Minuten - rechne zügig und kontrolliere deine Ergebnisse durch Einsetzen!

Ableitungen berechnen und anwenden

Polynome ableiten ist straightforward f(x) = -½x⁴ + x³ - 2x² + 15 wird zu f'(x) = -2x³ + 3x² - 4x. Jede Potenz wird um eins reduziert und mit dem ursprünglichen Exponenten multipliziert.

Die Kettenregel bei $2x-5$ ² funktioniert so äußere Ableitung mal innere Ableitung = 2 $2x-5$ · 2 = 8x - 20.

Bei Wurzel- und Bruchfunktionen schreibst du 4√x + 3/x als 4x^(1/2) + 3x^(-1) um. Die Ableitung ist dann 2x^(-1/2) - 3x^(-2) = 2/√x - 3/x².

Kontrolltipp Setze deine berechnete Ableitung in einen GTR ein und vergleiche mit der numerischen Ableitung!

Grafische Interpretation

Den Anstieg aus dem Steigungsdreieck liest du ab, indem du Δy/Δx berechnest. Hier ergab sich 3/5 aus der Zeichnung.

Diese grafische Methode ist besonders hilfreich, wenn du keine Funktionsgleichung gegeben hast, aber trotzdem die Steigung bestimmen sollst.

Achtung Achte auf die Skalierung der Achsen - ein Kästchen entspricht nicht immer einer Einheit!

Anwendungsaufgaben mit GTR

Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten. Bei f(x) = 2x² - 6 berechnest du lim $h→0$ $f(x₀+h) - f(x₀)$ /h.

Nullstellen findest du mit dem GTR über die ISCT-Funktion. Bei f(x) = x³ + 3x² + 9/4·x ergeben sich x₁ = -1,5 und x₂ = 0.

Für Tangentengleichungen brauchst du einen Punkt und die Steigung. Im Ursprung ist die Tangente y = f'(0)·x = 9/4·x. Der Winkel zur x-Achse α = arctan(2,25) ≈ 66°.

GTR-Tipp Nutze TRACE und ZOOM, um präzise Werte abzulesen, und kontrolliere deine Rechnungen mit TABLE!

Praxisanwendung Tunnelportals

Bei realen Anwendungen kombinierst du mehrere mathematische Konzepte. Das Tunnelportal wird durch verschiedene Funktionen beschrieben eine Potenzfunktion für die Oberseite, eine lineare Funktion für die Seitenwände.

Achsensymmetrie nutzt du clever Wenn S₂(1,80|2,40) gegeben ist, dann liegt S₁ bei (-1,80|2,40). Die linke Begrenzungslinie hat die Gleichung g(x) = -10,0x - 15,6.

Den Übergangswinkel zwischen den Funktionen berechnest du über die Steigungen f'(1,80) = -2,91 und g'(x) = 10. Der Winkel ergibt sich aus tan(α) = |m₁ - m₂|/ $1 + m₁·m₂$ .

Realitätscheck Deine Ergebnisse müssen physikalisch sinnvoll sein - negative Breiten oder Winkel über 180° sind unmöglich!

Koordinaten und Geraden bestimmen

Punkte auf Funktionsgraphen prüfen machst du durch Einsetzen. S₂(1,80|2,40) liegt auf beiden Funktionen f und g, wenn beide Gleichungen erfüllt sind.

Die Strecke F₁F₂ entspricht der Breite der Portalöffnung am Boden. Mit dem GTR findest du die Nullstellen von g(x) x = 1,56, also F₁F₂ = 2·1,56 = 3,12.

Symmetrie ausnutzen spart Rechenzeit Wenn das Portal achsensymmetrisch ist, dann ist die linke Begrenzungsgerade einfach das Spiegelbild der rechten.

Kontrollstrategie Zeichne dir eine Skizze - sie hilft dir, unrealistische Ergebnisse sofort zu erkennen!

Winkelberechnung bei Funktionsübergängen

Übergangsstellen zwischen verschiedenen Funktionen findest du durch Gleichsetzen f(x) = g(x). Der GTR liefert dir die Lösung x = 1,80.

Die Ableitungen an der Übergangsstelle geben dir die Steigungen f'(1,80) = -2,91 und g'(1,80) = 10. Diese sind unterschiedlich, daher gibt es einen Knick.

Den Winkel zwischen den Tangenten berechnest du mit tan(α) = | $m₁ - m₂$ / $1 + m₁·m₂$ |. Das ergibt etwa 25°, was einem sanften Übergang entspricht.

Wichtig Bei stumpfen Winkeln musst du 180° - berechneter Winkel rechnen, um den tatsächlichen Übergangswinkel zu erhalten!

Zusammenfassung der Lösungswege

Systematisches Vorgehen führt zum Erfolg Erst Nullstellen mit ISCT finden, dann Ableitungen berechnen, schließlich Gleichungen aufstellen.

Die Tangentensteigung f'(0) = 9/4 = 2,25 gibt dir sowohl die Geradengleichung y = 2,25x als auch den Winkel α = 66°.

Mehrere Lösungen bei f'(x) = 2,25 findest du durch Lösen der Gleichung 3x² + 6x + 9/4 = 2,25. Die Lösungen x₁ = -2 und x₂ = 0 zeigen dir, wo der Graph die gleiche Steigung wie die Tangente im Ursprung hat.

Erfolgstipp Dokumentiere deine GTR-Eingaben - so kannst du Fehler schnell finden und korrigieren!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

Android user

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Lena M

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Timo S

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Marcus B

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Einführung in Grenzwerte und Differenzialrechnung

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Diese Klausur behandelt Grenzwerte und Differenzialrechnung - zwei der wichtigsten Themen in Mathe 11. Du lernst hier, wie Funktionen sich verhalten und wie du ihre Steigung berechnen kannst.

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Definitionsbereiche und Asymptoten sind dein Startpunkt bei gebrochen-rationalen Funktionen. Bei f(x) = $3x+4$ / $5-x$ musst du schauen, wo der Nenner null wird - das ist bei x = 5 der Fall.

Grenzwerte berechnest du, indem du schaust, was mit der Funktion passiert, wenn x gegen einen bestimmten Wert läuft. Für x → ∞ teilst du Zähler und Nenner durch die höchste x-Potenz.

Die Asymptoten findest du durch Grenzwertbetrachtung: senkrechte Asymptote bei x = 5 (da wird der Nenner null), waagerechte bei y = -3 (Grenzwert für x → ∞).

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Der Differenzenquotient gibt dir den Anstieg der Sekante zwischen zwei Punkten an. In der Praxis entspricht das der Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen zwei Zeitpunkten.

Ableitungsregeln machst du dir das Leben leichter: Kettenregel bei $2x-5$ ², Potenzregel bei √x = x^(1/2). Bei f(x) = 4√x + 3/x schreibst du erst als 4x^(1/2) + 3x^(-1) um.

Den Anstieg einer Tangente liest du aus einem Steigungsdreieck ab - hier war es 3/5. Das ist genau der Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle.

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Bei gebrochen-rationalen Funktionen gehst du systematisch vor: Definitionsbereich (Nenner ≠ 0), dann Grenzwerte für verschiedene x-Werte berechnen.

Grenzwerte mit 0/0-Form löst du durch geschicktes Umformen. Bei $3x²-48$ / $x-4$ klammerst du 3 $x²-16$ = 3 $x-4$ $x+4$ aus und kannst dann $x-4$ kürzen.

Multiple-Choice-Aufgaben checkst du durch Einsetzen: Bei waagerechten Asymptoten teilst du die Koeffizienten der höchsten Potenzen - hier -1/3.

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Polynome ableiten ist straightforward: f(x) = -½x⁴ + x³ - 2x² + 15 wird zu f'(x) = -2x³ + 3x² - 4x. Jede Potenz wird um eins reduziert und mit dem ursprünglichen Exponenten multipliziert.

Die Kettenregel bei $2x-5$ ² funktioniert so: äußere Ableitung mal innere Ableitung = 2 $2x-5$ · 2 = 8x - 20.

Bei Wurzel- und Bruchfunktionen schreibst du 4√x + 3/x als 4x^(1/2) + 3x^(-1) um. Die Ableitung ist dann 2x^(-1/2) - 3x^(-2) = 2/√x - 3/x².

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Den Anstieg aus dem Steigungsdreieck liest du ab, indem du Δy/Δx berechnest. Hier ergab sich 3/5 aus der Zeichnung.

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Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten. Bei f(x) = 2x² - 6 berechnest du: lim $h→0$ $f(x₀+h) - f(x₀)$ /h.

Nullstellen findest du mit dem GTR über die ISCT-Funktion. Bei f(x) = x³ + 3x² + 9/4·x ergeben sich x₁ = -1,5 und x₂ = 0.

Für Tangentengleichungen brauchst du einen Punkt und die Steigung. Im Ursprung ist die Tangente y = f'(0)·x = 9/4·x. Der Winkel zur x-Achse: α = arctan(2,25) ≈ 66°.

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Achsensymmetrie nutzt du clever: Wenn S₂(1,80|2,40) gegeben ist, dann liegt S₁ bei (-1,80|2,40). Die linke Begrenzungslinie hat die Gleichung g(x) = -10,0x - 15,6.

Den Übergangswinkel zwischen den Funktionen berechnest du über die Steigungen: f'(1,80) = -2,91 und g'(x) = 10. Der Winkel ergibt sich aus tan(α) = |m₁ - m₂|/ $1 + m₁·m₂$ .

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Die Strecke F₁F₂ entspricht der Breite der Portalöffnung am Boden. Mit dem GTR findest du die Nullstellen von g(x): x = 1,56, also F₁F₂ = 2·1,56 = 3,12.

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Den Winkel zwischen den Tangenten berechnest du mit: tan(α) = | $m₁ - m₂$ / $1 + m₁·m₂$ |. Das ergibt etwa 25°, was einem sanften Übergang entspricht.

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Systematisches Vorgehen führt zum Erfolg: Erst Nullstellen mit ISCT finden, dann Ableitungen berechnen, schließlich Gleichungen aufstellen.

Die Tangentensteigung f'(0) = 9/4 = 2,25 gibt dir sowohl die Geradengleichung y = 2,25x als auch den Winkel α = 66°.

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